函數(shù)迭代中的”穿脫”技巧

1、函數(shù)迭代中的”穿脫”技巧設(shè)函數(shù)y=f(x),并記fn(x)=f(f(f(fx),其中n是正整數(shù), fn(x)叫做函數(shù)f(x)的n次迭代,函數(shù)迭代是一種特殊的函數(shù)復合形式,在現(xiàn)代數(shù)學中占有很重要的地位,尤其是近年來在國內(nèi)外數(shù)學競賽屢次出現(xiàn),成為熱點問題之一,以引起廣在數(shù)學愛好者的關(guān)注.由f(x)(或fn(x)的表達式”穿上”或”脫去”n-1個函數(shù)符號得出fn(x)(或f(x)的函數(shù)迭代問題,這里我們對數(shù)學競賽中穿脫問題的解題技巧作簡單介紹和粗淺的探索.1程序化穿脫“穿”,”脫”函數(shù)符號是一種有序的過程,由內(nèi)至外一層層穿上f,或從外至內(nèi)一層層脫去f,往往是一種程序化的模式,例 已知f(x)= ,求

2、fn(x).2實驗法穿脫許多情況下,求解穿脫問題并非只是一種程序化的操作,還需要用敏銳的思維和眼光去發(fā)現(xiàn)穿脫過程所蘊含的規(guī)律性,實驗是發(fā)現(xiàn)的源泉,是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的金鑰匙.例函數(shù)定義在整數(shù)集上,且滿足f(n)=n-3 (n1000)ff(n+5)(n1000求f(84)例21 對任意的正整數(shù)k,令f1(k)定義為k的各位數(shù)字和的平方.對于n2令fn(k)=f1(fn-1(k),求f1988(11).3周期性穿脫 在求解函數(shù)迭代問題時我們經(jīng)常要借助于函數(shù)的周期性,利用周期性穿脫要能達到進退自如,做到需穿插則穿,需脫則脫,從而優(yōu)化解題過程.例定義域為正整數(shù)的函數(shù),滿足:f(n)=n-3 (n1000)f

3、f(n+7)(n1000.試求f(90)練習1.設(shè)n是自然數(shù),f(n)為n2+1(十進制)的數(shù)字之和,f1(n)=f(n),求的f100(1990)值.2.已知f(x)=.設(shè)f35(x)=f5(x),求f28(x).例4求函數(shù)的值域。兩邊平方得，從而且。由或y2。任取y2，由，易知x2，于是。任取，同樣由，易知x1。于是。因此，所求函數(shù)的值域為。例5（1）設(shè)x,y是實數(shù)，且滿足，求x+y的值若方程有唯一解，求a例6：解方程、不等式：（1） （2）(x8)2007x20072x80 （3）Ex1.求的圖象與軸交點坐標。 解： 令，可知是奇函數(shù)，且嚴格單調(diào)，所以 ，當時，所以，故，即圖象和軸交點坐

4、標為若函數(shù)為單調(diào)的奇函數(shù)，且，則。若遇兩個式子結(jié)構(gòu)相同，不妨依此構(gòu)造函數(shù)，若剛好函數(shù)能滿足上述性質(zhì)，則可解之。Ex2. 設(shè)函數(shù)，則對任意實數(shù)a,b,是的（ ）A充分必要條件 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D既不充分又不必要條件探求討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，歷年來都是數(shù)學競賽的命題熱點之一，例如探求函數(shù)的周期性，函數(shù)的不等式證明，以及解反函數(shù)的不等式等問題。而解決這類問題的辦法就是要“穿脫”函數(shù)符號“f”，下面我們從具體的例子談一談“穿脫”的技巧與方法.1.單調(diào)性穿脫法對于特殊函數(shù)的單調(diào)性,我們可以根據(jù)函數(shù)值相等或函數(shù)的單調(diào)性對函數(shù)“f”進行“穿脫”,進而達到化簡的目的,由此使問題獲得解答.已知

5、函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,+)上是增函數(shù),a和b是實數(shù).試證:證明命題:如果a+b0那么f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).判斷中的逆命題是否正確,并證明你的結(jié)論.2 反函數(shù)穿脫法靈活自如地處理原函數(shù)f(x)與反函數(shù)f-1(x),并能熟練地運用f-1 (f(x)=x,f(f-1(x)=x進行穿脫函數(shù)符號“f”，這是極為常用而又重要的方法.引理 若f(x),g(x)互為反函數(shù),且f(a+b)=f(a) f(b),則g(mn)=g(m)+g(n)例 已知函數(shù)f(x)滿足:f()=1;函數(shù)的值域為-1,1;嚴格遞減; f(xy)= f(x)+f(y).試求:求證: 不在f(x)的定義域內(nèi)求不等式

6、f-1(x)f-1()的解集3定義探求法在求解有關(guān)函數(shù)方程的問題時,我們經(jīng)常會遇到要證明某函數(shù)為周期性函數(shù),此時我們一般采用周期函數(shù)的定義來求解,探求函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).例 設(shè)a>0, f(x)是定義在實數(shù)集上的一個實值函數(shù),且對每一實數(shù)x,有f(x+a)=+證明: f(x)是周期函數(shù);對a=1,具體給出一個這樣的非常數(shù)的函數(shù)f(x)例7設(shè)，均為實數(shù)，試求當變化時，函數(shù)的最小值。例8設(shè)是定義在Z上的一個實值函數(shù)，滿足，求證：是周期為4的周期函數(shù)。 例9已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(xm),求證f(x)是周期函數(shù)三、練習1集合由滿足如下條件的函數(shù)組成：當時，有 ，對于兩個函數(shù)，以下關(guān)系

7、中成立的是（ ） 2設(shè)，記，若 則（）、-、3若(log23)x-(log53)x(log23)-(log53)，則( )(A)x-y0 (B)x+y0 (C)x-y0 (D)x+y04定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對一切實數(shù)x都有f(x1)f(2x)成立，若f(x)0僅有101個不同的實數(shù)根，那么所有實數(shù)根的和為( ) A.150 B. C.152 D.5已知（a、b；實數(shù)）且，則的值是 （ ）（A） （B） （C） 3 （D） 隨a、b取不同值而取不同值6函數(shù)的奇偶性是:A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C. 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)7已知函數(shù)在1,2上恒正，則實數(shù)a的取值范

8、圍是 ( )（A）（B） （C）（D）8函數(shù)的值域為（ ）9給定實數(shù)，定義為不大于x的最大整數(shù)，則下列結(jié)論中不正確的序號是 （ ）10函數(shù)，則 11。實數(shù)x，y滿足x22xsin(xy)1，則x20066sin5y_12方程ln(x)ln(2x)3x0的解集是 13.已知,且，則= 14下列說法正確的是 （1）函數(shù)與關(guān)于直線對稱；（2）函數(shù)與關(guān)于y軸對稱；（3）若函數(shù)滿足=，則關(guān)于直線對稱；（4）若函數(shù)滿足=，則關(guān)于y軸對稱15若函數(shù)的定義域為R，且對于的任意值都有，則函數(shù)的周期為_。16設(shè)方程的根為,方程的根為,則 = 17函數(shù)，則 18設(shè)則S的最大值為 19設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的圖象與軸所圍成的封閉部分的面積20為何實數(shù)時，方程有四個互不相等的實數(shù)根21(1)若函數(shù)滿足，求證的圖像就關(guān)于直線對稱(2)函數(shù)的圖像關(guān)于某條垂直于x軸的直線對稱，求實數(shù)c的值22已知，定義（）