高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)專題含答案,教師版

1、弘知教育內(nèi)部資料 中小學(xué)課外輔導(dǎo)專家抽象函數(shù)周期性的探究（教師版） 抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式,只給出它的一些特征、性質(zhì)或一些特殊關(guān)系式的函數(shù)，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運(yùn)用的能力.而在教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對于抽象函數(shù)周期性的判定和運(yùn)用比較困難,所以特探究一下抽象函數(shù)的周期性問題.利用周期函數(shù)的周期求解函數(shù)問題是基本的方法.此類問題的解決應(yīng)注意到周期函數(shù)定義、緊扣函數(shù)圖象特征，尋找函數(shù)的周期，從而解決問題.以下給出幾個命題：命題1：若a是非零常數(shù)，對于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).（1）

2、函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個周期.（2） 函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個周期.（3） 函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)+f(x)=1，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個周期. 命題2：若a、b()是非零常數(shù)，對于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù). (1) 函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=f(x+b)，則f(x)是周期函數(shù)，且|a-b|是它的一個周期.(2)函數(shù)圖象關(guān)于兩條直線x=a，x=b對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a-b|是它的一

3、個周期.(3) 函數(shù)圖象關(guān)于點M(a,0)和點N(b,0)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a-b|是它的一個周期.(4)函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a，及點M(b,0)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且4|a-b|是它的一個周期.命題3：若a是非零常數(shù)，對于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).（1） 若f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個周期.（2） 若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且4a是它的一個周期. 我們也可以把命題3看成命題2的特例

4、,命題3中函數(shù)奇偶性、對稱性與周期性中已知其中的任兩個條件可推出剩余一個.下面證明命題3（1），其他命題的證明基本類似.設(shè)條件A: 定義在R上的函數(shù)f(x)是一個偶函數(shù). 條件B: f(x)關(guān)于x=a對稱 條件C: f(x)是周期函數(shù),且2a是其一個周期. 結(jié)論: 已知其中的任兩個條件可推出剩余一個. 證明: 已知A、B C （2001年全國高考第22題第二問） f(x)是R上的偶函數(shù)f(-x)=f(x) 又f(x)關(guān)于x=a對稱f(-x)=f(x+2a) f(x)=f(x+2a)f(x)是周期函數(shù),且2a是它的一個周期 已知A、CB 定義在R上的函數(shù)f(x)是一個偶函數(shù)f(-x)=f(x)

5、又2a是f(x)一個周期f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x+2a) f(x)關(guān)于x=a對稱 已知C、BA f(x)關(guān)于x=a對稱f(-x)=f(x+2a) 又2a是f(x)一個周期f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x) f(x)是R上的偶函數(shù) 由命題3(2)，我們還可以得到結(jié)論:f(x)是周期為T的奇函數(shù)，則f()=0基于上述命題闡述，可以發(fā)現(xiàn)，抽象函數(shù)具有某些關(guān)系.根據(jù)上述命題，我們易得函數(shù)周期，從而解決問題，以下探究上述命題在解決抽象函數(shù)問題中的運(yùn)用.1.求函數(shù)值例1：f(x) 是R上的奇函數(shù)f(x)= f(x+4) ，x0，2時f(x)=x，求f(2007) 的值 解：

6、方法一 f(x)=f(x+4) f(x+8) =f(x+4) =f(x) 8是f(x)的一個周期 f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=f(1)=1 方法二f(x)=f(x+4)，f(x)是奇函數(shù) f(-x)=f(x+4) f(x)關(guān)于x=2對稱 又f(x)是奇函數(shù) 8是f(x)的一個周期，以下與方法一相同. 例2：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 解：由條件知f(x)1，故類比命題1可知，函數(shù)f(x)的周期為8，故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=22. 求函數(shù)解

7、析式例3：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，且當(dāng)時，f(x)=2x+1，則當(dāng)時求f(x)的解析式解：當(dāng)時f(x)=2x+1f(x)是偶函數(shù)f(x)=f(x) f(x)=2x+1當(dāng)時f(4+x)=2(4+x)+1=2x7又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，類比命題3（1）知函數(shù)f(x)的周期為4故f(-4+x)=f(x) 當(dāng)時求f(x)=2x73.判斷函數(shù)的奇偶性例4：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+999)=，f(999+x)=f(999x)， 試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.解：由f(x+999)=，類比命題1可知，函數(shù)f(x)的

8、周期為1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999x)知f(x)關(guān)于x=999對稱，即f(x)=f(1998+x)故f(x)=f(x) f(x)是偶函數(shù)4.判斷函數(shù)的單調(diào)性例5：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，且當(dāng)時，f(x)是減函數(shù)，求證當(dāng)時f(x)為增函數(shù)解：設(shè)則 f(x)在-2，0上是減函數(shù) 又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，類比命題3（1）知函數(shù)f(x)的周期為4故f(x+4)=f(x) f(-x)=f(x) 故當(dāng)時f(x)為增函數(shù) 例6：f(x)滿足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，

9、若f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上單調(diào).求a的值. 解： f(x)=-f(6-x) f(x)關(guān)于（3，0）對稱 f(x)= f(2-x) f(x)關(guān)于x=1對稱 根據(jù)命題2（4）得8是f(x)的一個周期 f(2000)= f(0) 又f(a) =-f(2000) f(a)=-f(0) 又f(x) =-f(6-x) f(0)=-f(6) f(a)=f(6)a5，9且f(x)在5，9上單調(diào)a =6 5. 確定方程根的個數(shù)例7：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)= f(4x)，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在區(qū)間1000，1000上f(x)=0至少有幾個

10、根？ 解：依題意f(x)關(guān)于x=2，x=7對稱，類比命題2（2）可知f(x)的一個周期是10 故f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在區(qū)間(0，10上，方程f(x)=0至少兩個根 又f(x)是周期為10的函數(shù)，每個周期上至少有兩個根， 因此方程f(x)=0在區(qū)間1000，1000上至少有1+2=401個根.兩類易混淆的函數(shù)問題：對稱性與周期性劉云漢例1. 已知函數(shù)y= f（x）（xR）滿足f（5+x）= f（5x），問：y= f（x）是周期函數(shù)嗎？它的圖像是不是軸對稱圖形？例2. 已知函數(shù)y= f（x）（xR）滿足f（5+x）= f（5x），問：y=

11、 f（x）是周期函數(shù)嗎？它的圖像是不是軸對稱圖形？這兩個問題的已知條件形似而質(zhì)異。有的同學(xué)往往把它們混為一談，從而得出錯誤的結(jié)論。為了準(zhǔn)確地回答上述問題，必須掌握以下基本定理。定理1：如果函數(shù)y= f（x）（xR）滿足f（5+x）= f（5x），那么y= f（x）的圖像關(guān)于直線對稱。證明：設(shè)點是y= f（x）的圖像上任一點，點P關(guān)于直線x=a的對稱點為Q，易知，點Q的坐標(biāo)為。因為點在y= f（x）的圖像上，所以于是所以點也在y= f（x）的圖像上。由P點的任意性知，y= f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱。定理2：如果函數(shù)y= f（x）（xR）滿足f（a+x）= f（bx），那么y= f（x）的

12、圖像關(guān)于直線的對稱。證明：（略）（證明同定理1）定理3：如果函數(shù)y= f（x）（xR）滿足f（x+a）= f（xa），那么y= f（x）是以2a為周期的周期函數(shù)。證明：令，則代入已知條件得：根據(jù)周期函數(shù)的定義知，y= f（x）是以2a為周期的周期函數(shù)。定理4：如果函數(shù)y= f（x）（xR）滿足，那么y= f（x）是以為周期的周期函數(shù)。證明：（略）（證法同定理3）由以上的定理可知，在已知條件或中，等式兩端的兩自變量部分相加得常數(shù)，如，說明的圖像具有對稱性，其對稱軸為。等式兩端的兩自變量部分相減得常數(shù)，如，說明 f（x）是周期函數(shù)，其周期T=a+b。容易證明：定理1、2、3、4的逆命題也是成立的。

13、牢牢掌握以上規(guī)律，則例1、例2迎刃而解。例1中，因此f（x）的圖像關(guān)于直線x=5對稱。由這個已知條件我們不能判定f（x）是周期函數(shù)。例2中，因此f（x）是周期函數(shù)，其周期T=10。由這個已知條件我們不能判定它是軸對稱圖形。例3. 若函數(shù)f（x）=x2+bx+c對于任意實數(shù)t均有f（3+t）= f（1t），那么（ ）A. f（2）< f（1）< f（4）B. f（1）< f（2）< f（4）C.f（2）< f（4）< f（1）D. f（4）< f（2）< f（1）解析：在f（3+t）= f（1t）中（3+t）+f（1t）=4所以拋物線f（x）=x2

14、+bx+c的對稱軸為x=2作示意圖如圖1，可見，應(yīng)選A。圖1例4. 設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x2）= f（x），給出下列四個結(jié)論：f（2）=0；f（x）是以4為周期的函數(shù)；f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對稱；f（x+2）=f（ x）其中所有正確命題的序號是_。解析1：（1）因為y= f（x）（xR）是奇函數(shù)，所以f（x）= f（x）令x=0，得f（0）=f（0）所以f（0）=0又已知f（x2）= f（x）令x=2，得f（0）= f（2）所以f（2）= f（0）=0故成立。（2）因為f（x2）= f（x），所以由x（x4）=4（兩自變量相減得常數(shù)）所以f（x）是以4為周期的周期函數(shù)。故成立。（3）由f（x+2）= f（x）得：（x+2）+（x）=2（兩自變量相加得常數(shù)）所以f（x）的圖像關(guān)于直線x=1對稱。而不是關(guān)于直線x=2對稱。故是錯誤的。（4）由（2）知，f（x）應(yīng)滿足f（x+2）= f（x2）而f（x2）=f（x）所以f（x+2）= f（x）= f（x）故成立。綜上所述，應(yīng)填。解析2：根據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)造出函數(shù)的圖像如圖2。圖2由圖可見，正確，而不正確。例5. 函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，則a=_。解析：因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對稱所以有（定理1的逆定理）（與題設(shè)矛盾，舍去）或所以。例6. 設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，又f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱