冪級數求和函數的類型與解法

1、北京電力高等?？茖W校學報Beijing Electnc Power College教育研究回No.9.2010137北京電力高等?？茖W校學報Beijing Electnc Power College教育研究回137北京電力高等?？茖W校學報Beijing Electnc Power College教育研究回幕級數求和函數的類型與解法鄧俊蘭李鑫（南陽師范學院數學與統(tǒng)計學院，河南南陽473061）摘 要：尊級救求和胡戟是級戟這一章的重點和難點。帳播多年放學經臉，對尿級數求和函數總館出四種常用臭型及其解法。 關鍵詞：專圾救；和函數；幾何圾教中圖分類號：01-0文獻標識碼:A文章編號：1009-0118

2、（2010）.094）1374）2137北京電力高等?？茖W校學報Beijing Electnc Power College教育研究回吊級數是微枳分中十分咆耍的內容之一 而求吊級數的 和說數是一類雜度較高、技巧性校強的問題，對r學生來說 是一個雄點，岡此有必耍対呆級數求和臥數這類問題進行研 究探討求解用級數的和函數時常通過帛級數的仃關運算因可直接利用的結論求得,卜面僅給出的求解過程。解（法一）收斂域為（1.1） 對級數逐項枳分再逐項求137北京電力高等?？茖W校學報Beijing Electnc Power College教育研究回（恒等變形或分析運算）把待求級數化為易求和的級數（即常 用級數特別

3、是兒何級數（乂叫等比級數求出轉化后 的”級數和詼數后.再利用上述運算的逆運算，求出待求屜 級數的和函數.木文總結了泵級數求和函數問題的四種常 見類熨，并給出了乞種類空下的解法。一、類型一：通過恒等變形化為常用級數的幕級數求和fsg述加譏垃宀在。«-1-41 A（法二）將級數化為兒何級數的和函數的&數而求Z：旨心應心（弟h在（如）（法一）收斂域為（1.1） 在收斂域內對級數先逐項枳137北京電力高等?？茖W校學報Beijing Electnc Power College教育研究回<小襯£（T）（2”+1）!例噸鼻夠:容嘶得收斂域為（-8+8）則和慚數弘旋義域函數$

4、（"計算呆級數的和慚數.首先耍牢記常用級數的和函數.在此基礎上借助四則運算、變邑代換、拆項、分解、標號代換 等恒等變形段將待求級數化為常川級數的標準形式來求 和說數.其中.常用級數的利函數為：£宀十龍斗y iI”！=sin v （-1 丫= cos.r,（-l）B 1 十=In （1 + x）.I®的和慚數su）°為（一8+a0）o啲哦和需討EP）"” （-oo<r<+ao）.二、類型二求的和函數久小其中p（”）為殍的多W-I項式（一）解法：1、用先逐項積分，再逐項求導的方法求英和函數枳分總是從收斂中心（£p（”）F收斂中

5、心為0.W-1£p（”）a-訂收斂中心為皿）到*枳分：2、也町化為兒何級數 的和函數的導數而求之這時不必再積分。（二）基本題住：求級數弘宀立曲£曲“IwlI£“刀+1”7的和函數s（x）.分兩次再逐項求導兩次求Z：（丹 +1）屮加=£（刃十 IX 竺/（X）IT”a）必-£j；（”+»"必-£才“-在iH1則如冷門町（總卜競（< V）所以s（x）=J；s（mH瀟卜右（1«1）（法二）更簡便的是將級數化為兒何級數的和旳數的導 數而求Z：（三）結論：£肚二兀打(1)= s (x) = xnxe

6、 1 = x I41(l-X)(-l<t<l)<2)卽."）*卽譏爲2(-l<r<l)<3)$時(l<r<l)(4)例2求£件（卄1）F的和旳數皿）。解：由式得：用）=£打（丹+1）嚴二違W+1)宀i2x(1-xf（-1<1<|）.例3求的和函數$（*）W-1解：收斂域（1 1） 可先逐項積分兩次再逐項求導兩次137北京電力高等?？茖W校學報Beijing Electnc Power College教育研究回137北京電力高等?？茖W校學報Beijing Electnc Power College教育研究回作

7、者間介：鄧位蘭（1981），女，陜西人，學士，河南省南陽市南陽師葩學院4攵學與統(tǒng)計學院助教；李衣（1979譏叭河南南陽 人，助救,碩士，從亭敕學我育、圖像處理等研丸。137北京電力高等專科學校學報Beijing Electnc Power College教育研究回No.9.2010138北京電力高等?？茖W校學報Beijing Electnc Power College教育研究回求之.過程略：也町化為兒何級數和甌數的導數求之:=-£(h)n-lR«l.1僖卜民)-任卜骨三、類型三:求£才帚"的和函數.*),其中幺“)為“的多 項式山$(x)在收斂域內連續(xù)得

8、:2刃(+1)S(Q 屮 Fln(S)+x»1一 1Ux = l四.類型四：求含階乘因子的壽級數的和函數S(x)(一分解法:將於級數-般項進行分解為也等變形利用小Six及cosX的茶級數展開式求典和函數。-般分M的階乘為“ 的呆級數常用疋的展開式來求其和函數：分母的(一)解法：1、對級數先逐項求導再逐項枳分求其和陶 數&X)，枳分時，不耍漏掉00)(或S(&)>的值，即 S(x) = ；S”(xMr+S(0)：2、也町化為兒何級數的和怖數的枳分 求Z。()基本題空:求它蘭£丄的和旳數加)。 -I 幾 «-!I H因、町直接利用的結論求得,卜-

9、面僅給出的求 解過程階乘為(2卄1)!或(2W>!的泵級數常用sinX及cosX的展開 式來求梵和慚數.求和過程中耍注意利用標號變換，將待求 級數化為e«. sin r及cos x的吊級數展開式的標準形式。(:)逐項求導、逐項枳分法解:(法一)收斂域為1-M).對級數在收斂IxM(-Ll) 內先逐項求導.再逐項枳分的方法求和函數SU)：(三)微分方程法：介階乘岡了的廉級數(特別是形如)的和函數常用解5(溯足的常微分 方程的初值問題而求之.為此先求收斂域求出和旳數的乞 階導數以及在點0處的值.建立sic的常微分方程的初值問則 S(x)訂:$0"(0)二+0二111(17

10、)(1<&1)由和慚故弘)在收斂域內連續(xù)：Z-=S'W=-ln(l-x)7 n(-1<v<1)趣求解即得所求和旳數。例5求乞斗3的和旳數5(x)-U辦！解：(法一八 F2/I + 1 心己廠丘 2x*22rV +e" (-ac<x<+oo)(法)化為兒何級數的和函數的枳分求Z：(-1<1<1)(法三)化為常用級數的標準形式求之:E 繆(£ =-£(-xy = -ln(l-x)(法二)收斂域為(-00.+0C).肌莎-剳;響皿咗弓述W 則$0)=卩：8(/)岔卜(討')="%，+/(-<

11、;x<t<+<x>)(法三)轉化為S(x)的常微分方程的初值問建:S'(x)-2xS(x) = 4xe?.5(0)= 1.解微分方程，得5心)=2*乂+/(-x<r<+ao)(三)結 ：X-(x)-ln(l-x)(-1<<<1)H n£F5x)=x£+ = -xln(l_x)i "a-1 力 I n(-1 <x<l)-ln(l-x)/x. 一1 "<0,0<xvl1x = 0(5)(7)耍學擁呆級數求和函數需要記住常用級數的和函數以 及木文所總結的四種威木類空及英解法很

12、多題都町以化為 木文中的旱本類熨。此外，很多題還可以一題多解，耍注意 枳累總結。138北京電力高等?？茖W校學報Beijing Electnc Power College教育研究回例4求£孟刁的和函數9x)解：收斂域為卜1，1，町以對級數先逐項求導兩次，再逐 項積分兩次的方法求和惰數S(x)，方法與I：類似，過程略也 可直接利用上Ifil的結論(5).(6),則當( 1 * 1)時,t?w(n+l) tf n tfn+1參考文獻：11來來義觸積分【M|北京:商等教育出版社.2004.|2|門濟大學教學系髙尋敕學|M 北京:離等敖育出版2007.138需級數求和函數的類型與解法作者：鄧俊

13、蘭.李鑫作者單險南用師范探碩學打統(tǒng)計7院河南，南陽.473061利名：北京電力高等?？茖W校學報(社會科學版)英文刊名；BEIJING DIAXLI GAODEXG 2HUAXKE XUEklAO XVEBAO年，卷(期):2010. 27(9)被引用次數：0次1.同濟人學教営系尚尊數學20072朱來義微積分20011.期刊論文解烈軍求算級數和旳數的微分方程方法高零數學研究2009.12(3)掩煦通亦求第級敢和廉故的出滋.3 啟祜汝M；施餐農件嚴此侑況可以別入茨耳次歆和噴It的微分方W/U. H I 思踣址通過m和伏散的滋分方円將第級故求和臥 ttwe化為金分方wwtftMW*求解.2期刊論文徐

14、風林悵秀麗XU Feng-luuZHANG Xiu-li慕級數和慚數的解法塚述-山東輕1"學B6學報仃I然科學版)2006,20(1)本丈總箔求m級數和備數的呻種方法.種方法整將待求級敘分解成己知和低數的級數的込皿 収足加謝農達形式，料匸;理 求和斷的級啟；弟 種方法it先求比附機分或 先枳分再求丁;第比方法址把待求H數川吐木爐?甬效的幕細»展開式衣示出來血網斡方法足列與出和満數満足的W分方W.Wftft 川和甫數.3.期刊論文 閥止遷 關j求聊級數的和函數-科技信息2010(154負數或級教中,#級數占仃蟲安的地億向求M級汝的和葡阪就中不對或缺的內冷.本文遜過 空負T2的

15、例建介蚪r求劃級救和朮垃的 儀方法4期刊論 < 將lil來.ZHANG Jm-lai >1 -<Ln=lx2n (2n)kfllFR數的遞描公式及其應用延邊大學學報(自然科學< 2008,34(2)HUK收敘級數的分析性噴審丸HMMK8£2bdii dk(k=)的和希數樹也川救供訂舘法址期rK和#數的M :；、山此褂UDU, S, I,"*勵則K%衣達九A ifij孚出兒個jZftlXW II 曲枳分的值或近ftlffi.5.期刊論文績烈T.XIE Lie Jun 啖廉級數求和西敵的代數方稈方法-高等故學硏究2010.13- ； '- P0a

16、mm(H；中an為以n為變幾的釦1氏)的IM梱*0的 種”濟6期刊論文張玉靈由通項公式求一類邢級數的和幣數奇等數學研究2009,12(3)利卅和#數的定義對形血們毎級故.吒中»址 尋幷數列，«(宴”址 等比弟救刊抑導出r求誦類毎視散和阿前的 個通項公式.7期刊論文張省梅時功能求幣數極FU方法研究科技信息2009(27)求極卑墜扃等立學中蜀堆本的迄燈乞，由屯巾乞氏斫以法靈汎技旳件臥木文給令我學實踐，討論r求用®(様限的兒種亦用方法郴不汀極閱丹論廣泛而深列的內戒.8期刊論文日曙光.GUI Shu-guang利用差分法求 類廉級數的和函數安慶師也學院學報(fl然科學版)2001,7(4)WH1心分冰d戍M級牧和頂牧旳 木迫攻公式，川它能求出系玫為島附第刀上列和u階等9期刊論文周宏安 ZHOU Hong-an算級數和函數分析性質的種證明-陜兩工學院7報2000,16(2)«需住文1麗甬了<5575收儀“內連綾竹的 忡1卜嘰木交肚按利WO的較紋竹麗嵐而麗而P敘1“町上們