西郵通原課件第10章 最佳接收

1、1通信原理第第10章章 數(shù)字信號最佳接收數(shù)字信號最佳接收2數(shù)字通信系統(tǒng)信源譯碼信源信源編碼加密信道調(diào)制信道編碼解調(diào)解密信道譯碼信宿數(shù)字頻帶傳輸系統(tǒng)數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)Ch9Ch9Ch11Ch11Ch7、Ch10Ch6數(shù)字傳輸系統(tǒng)模數(shù)變換數(shù)模變換數(shù)字基帶處理數(shù)字基帶處理3第10章 數(shù)字信號最佳接收l10.1數(shù)字信號的統(tǒng)計特性：數(shù)字信號的統(tǒng)計特性：n以二進制為例研究接收電壓的統(tǒng)計特性。以二進制為例研究接收電壓的統(tǒng)計特性。n假設假設：通信系統(tǒng)中的噪聲是均值為：通信系統(tǒng)中的噪聲是均值為0的帶限高斯白噪聲，其的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為單邊功率譜密度為n0；并設發(fā)送的二進制碼元為；并設發(fā)送的二進制碼

2、元為“0”和和“1”，其發(fā)送概率分別為，其發(fā)送概率分別為P(0)和和P(1)，且有，且有P(0) + P(1) = 1n若此通信系統(tǒng)的信號的基帶截止頻率小于若此通信系統(tǒng)的信號的基帶截止頻率小于fH，則根據(jù)低通，則根據(jù)低通信號抽樣定理，接收噪聲電壓可以用其抽樣值表示。信號抽樣定理，接收噪聲電壓可以用其抽樣值表示。抽樣抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH抽樣間隔為抽樣間隔為1/ 2fH 。n設在一個碼元持續(xù)時間設在一個碼元持續(xù)時間Ts內(nèi)以內(nèi)以2fH的速率抽樣，共得到的速率抽樣，共得到k個個抽樣值：，則有抽樣值：，則有k Ts/（1/2fH）= 2fH Ts 。4第10

3、章 數(shù)字信號最佳接收n由于每個噪聲電壓抽樣值都是正態(tài)分布的隨機變量，故其一維由于每個噪聲電壓抽樣值都是正態(tài)分布的隨機變量，故其一維概率密度可以寫為概率密度可以寫為式中，式中， n 噪聲的標準偏差；噪聲的標準偏差； n2 噪聲的方差，即噪聲平均功率；噪聲的方差，即噪聲平均功率； i 1，2，k。n設接收噪聲電壓設接收噪聲電壓n(t)的的k個抽樣值的個抽樣值的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 222exp21)(nininnf),(21kknnnf5第10章 數(shù)字信號最佳接收n由高斯噪聲的性質可知，高斯噪聲的概率分布通過帶限線性由高斯噪聲的性質可知，高斯噪聲的概率分布通過帶限線性系統(tǒng)后仍

4、為高斯分布。所以，系統(tǒng)后仍為高斯分布。所以，帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之間是互不相關、互相獨立的率抽樣得到的抽樣值之間是互不相關、互相獨立的。這樣，。這樣，此此k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為n當當k 很大時，在很大時，在一個碼元持續(xù)時間一個碼元持續(xù)時間Ts內(nèi)接收的噪聲平均功率內(nèi)接收的噪聲平均功率可以表示為：可以表示為： 注：注：k 2fH Ts 或者將上式左端的求和式寫成積分式，則上式變成或者將上式左端的求和式寫成積分式，則上式變成kiinknkkknnfnfnfnnnf122212121exp21)()()(),(ki

5、isHkiinTfnk1212211kiisHTsnTfdttnTs120221)(16第10章 數(shù)字信號最佳接收n利用上式關系，并注意到利用上式關系，并注意到 式中式中 n0 噪聲單邊功率譜密度噪聲單邊功率譜密度則前式的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以改寫為：則前式的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以改寫為：式中式中 n = (n1, n2, , nk) k 維矢量，表示一個碼元內(nèi)噪聲的維矢量，表示一個碼元內(nèi)噪聲的k個抽樣值。個抽樣值。n需要注意，需要注意，f(n)不是時間函數(shù)，雖然式中有時間函數(shù)不是時間函數(shù)，雖然式中有時間函數(shù)n(t)，但，但是后者在定積分內(nèi)，積分后已經(jīng)與時間變量是后者在定積分內(nèi)，積分后已經(jīng)與時間變

6、量t無關。無關。n是一個是一個k維矢量，維矢量，它可以看作是它可以看作是k 維空間中的一個點。維空間中的一個點。 Hnfn022220101111( )expexp( )222skTikkinnnfnnt dtnn)()()(),()(2121kkknfnfnfnnnffn nkiisHTsnTfdttnTs120221)(1ssTTHkiHiHdttnndttnffnnfn020021020)(1)(221217第10章 數(shù)字信號最佳接收n在碼元持續(xù)時間在碼元持續(xù)時間Ts、噪聲單邊功率譜密度、噪聲單邊功率譜密度n0和抽樣數(shù)和抽樣數(shù)k（它和（它和系統(tǒng)帶寬有關）給定后，系統(tǒng)帶寬有關）給定后，f(

7、n)僅決定于該碼元期間內(nèi)噪聲的僅決定于該碼元期間內(nèi)噪聲的能量：能量：n由于噪聲的隨機性，每個碼元持續(xù)時間內(nèi)噪聲的波形和能量由于噪聲的隨機性，每個碼元持續(xù)時間內(nèi)噪聲的波形和能量都是不同的，這就使被傳輸?shù)拇a元中有一些會發(fā)生錯誤，而都是不同的，這就使被傳輸?shù)拇a元中有一些會發(fā)生錯誤，而另一些則無錯。另一些則無錯。20( )sTnt dt20011( )exp( )2sTknfnt dtnn20011( )exp( )2sTknfnt dtnn8第10章 數(shù)字信號最佳接收n設接收電壓設接收電壓r(t)為信號電壓為信號電壓s(t)和噪聲電壓和噪聲電壓n(t)之和之和:r(t) = s(t) + n(t)則

8、在發(fā)送碼元確定之后，接收電壓則在發(fā)送碼元確定之后，接收電壓r(t)的隨機性將完全的隨機性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為由噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為 n2，但是均值變?yōu)榈蔷底優(yōu)閟(t)。所以，當發(fā)送碼元。所以，當發(fā)送碼元“0”的信號波形的信號波形為為s0(t)時，接收電壓時，接收電壓r(t)的的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為維聯(lián)合概率密度函數(shù)為式中式中 r = s + n k 維矢量，表示一個碼元內(nèi)接收電壓維矢量，表示一個碼元內(nèi)接收電壓的的k個抽個抽 樣值；樣值； s k 維矢量，表示一個碼元內(nèi)信號電壓的維矢量，表示一個碼元內(nèi)信號電壓的k個抽個抽樣值。樣值。20000

9、11( )exp( )( )2sTknfrr ts tdtn20011( )exp( )2sTknfnt dtnn9第10章 數(shù)字信號最佳接收n同理，當發(fā)送碼元同理，當發(fā)送碼元“1“的信號波形為的信號波形為s1(t)時，接收電壓時，接收電壓r(t)的的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為維聯(lián)合概率密度函數(shù)為n順便指出，若通信系統(tǒng)傳輸?shù)氖琼槺阒赋?，若通信系統(tǒng)傳輸?shù)氖荕 進制碼元，即可能發(fā)送進制碼元，即可能發(fā)送s1，s2，si，sM之一，則按上述原理不難寫出當發(fā)送碼元之一，則按上述原理不難寫出當發(fā)送碼元是是si時，接收電壓的時，接收電壓的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)為維聯(lián)合概率密度函數(shù)為仍需記住，以上三式中的仍需記住

10、，以上三式中的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)不是時間維聯(lián)合概率密度函數(shù)不是時間t的的函數(shù)，并且是一個標量，而函數(shù)，并且是一個標量，而r 仍是仍是k維空間中的一個點，是一維空間中的一個點，是一個矢量。個矢量。2110011( )exp( )( )2sTknf rr ts tdtn20011( )exp( )( )2sTiiknf rr ts tdtn10第10章 數(shù)字信號最佳接收l10.2 數(shù)字信號的最佳接收數(shù)字信號的最佳接收n“最佳最佳”的準則：的準則：錯誤概率最小錯誤概率最小n產(chǎn)生錯誤的原因：暫不考慮信道失真的影響，主要討產(chǎn)生錯誤的原因：暫不考慮信道失真的影響，主要討論在二進制數(shù)字通信系統(tǒng)中如何使噪

11、聲引起的錯誤概論在二進制數(shù)字通信系統(tǒng)中如何使噪聲引起的錯誤概率最小。率最小。n判決規(guī)則判決規(guī)則設在一個二進制通信系統(tǒng)中發(fā)送碼元設在一個二進制通信系統(tǒng)中發(fā)送碼元“1”的概率為的概率為P(1)，發(fā)送碼元發(fā)送碼元“0”的概率為的概率為P(0)，則總誤碼率，則總誤碼率Pe等于等于式中式中Pe1 = P(0/1) 發(fā)送發(fā)送“1”時，收到時，收到“0”的條件概率；的條件概率； Pe0 = P(1/0) 發(fā)送發(fā)送“0”時，收到時，收到“1”的條件概率；的條件概率；上面這兩個條件概率稱為錯誤轉移概率。上面這兩個條件概率稱為錯誤轉移概率。01)0() 1 (eeePPPPP11第10章 數(shù)字信號最佳接收按照上述

12、分析，接收端收到的每個碼元持續(xù)時間內(nèi)的電壓可按照上述分析，接收端收到的每個碼元持續(xù)時間內(nèi)的電壓可以用一個以用一個k 維矢量維矢量(一個碼元中抽的一個碼元中抽的k個樣個樣)表示。接收設備需表示。接收設備需要對每個接收矢量作判決，判定它是發(fā)送碼元要對每個接收矢量作判決，判定它是發(fā)送碼元“0”，還是，還是“1”。由接收矢量決定的兩個聯(lián)合概率密度函數(shù)由接收矢量決定的兩個聯(lián)合概率密度函數(shù)f0(r)和和f1(r)的曲線的曲線畫在下圖中（在圖中把畫在下圖中（在圖中把r 當作當作1維矢量畫出。）：維矢量畫出。）：可以將此空間劃分為兩個區(qū)域可以將此空間劃分為兩個區(qū)域A0和和A1，其邊界是，其邊界是r0 ，并將判

13、，并將判決規(guī)則規(guī)定為：決規(guī)則規(guī)定為： 若接收矢量落在區(qū)域若接收矢量落在區(qū)域A0內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“0”；若接收矢量落在區(qū)域若接收矢量落在區(qū)域A1內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“1”。A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)12第10章 數(shù)字信號最佳接收顯然，區(qū)域顯然，區(qū)域A0和區(qū)域和區(qū)域A1是兩個是兩個互不相容的區(qū)域。當這兩個區(qū)互不相容的區(qū)域。當這兩個區(qū)域的邊界域的邊界r0 確定后，錯誤概率確定后，錯誤概率也隨之確定了。也隨之確定了。這樣，總誤碼率可以寫為這樣，總誤碼率可以寫為式中，式中，P(A0/1)表示發(fā)送表示發(fā)送“1”時，矢量時，矢

14、量r落在區(qū)域落在區(qū)域A0的條件概的條件概率率 P(A1/0)表示發(fā)送表示發(fā)送“0”時，時， 矢量矢量r落在區(qū)域落在區(qū)域A1的的條件概率條件概率這兩個條件概率可以寫為：這兩個條件概率可以寫為：這兩個概率在圖中分別由兩塊陰影面積表示。這兩個概率在圖中分別由兩塊陰影面積表示。 A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe0)() 1/(10AdfAPr rr r1)()0/(01AdfAPr rr r13第10章 數(shù)字信號最佳接收將上兩式代入將上兩式代入得到得到參考上圖可知，上式可以寫為參考上圖可知，上式可以寫為上式表示上式表示

15、Pe是是r0 的函數(shù)。為了求出使的函數(shù)。為了求出使Pe最小的判決分界點最小的判決分界點r0 ，將上式對，將上式對r0 求導求導 并令導函數(shù)等于并令導函數(shù)等于0，求出最佳分界點求出最佳分界點r0的條件：的條件：)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe10)()0()() 1 (01AAedfPdfPPr rr rr rr r00)()0()() 1 (01rredfPdfPPr rr rr rr rA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)()0()() 1 (00010r rr rr rfPfPPe0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP14第

16、10章 數(shù)字信號最佳接收即即當先驗概率相等時，即當先驗概率相等時，即P(1) = P(0)時，時，f0(r0) = f1(r0)，所以最，所以最佳分界點位于圖中兩條曲線交點處的佳分界點位于圖中兩條曲線交點處的r 值上。值上。在判決邊界確定之后，按照在判決邊界確定之后，按照接收矢量接收矢量r 落在區(qū)域落在區(qū)域A0應判為收應判為收到的是到的是“0”的判決準則的判決準則，這時有：，這時有：若若 則判為則判為“0” ；反之，反之，若若則判為則判為“1” 。在發(fā)送在發(fā)送“0”和發(fā)送和發(fā)送“1”的先驗概率相等時，上兩式的條件簡的先驗概率相等時，上兩式的條件簡化為：化為：0)()0()() 1 (0001r

17、 rr rfPfP)()()0() 1 (0100r rr rffPP)()()0() 1 (10r rr rffPP)()()0() 1 (10r rr rffPPA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0) 若f0(r) f1(r)，則判為“0” 若f0(r) f1(r)，則判為“1”似然比準則15第10章 數(shù)字信號最佳接收這個判決準則常稱為這個判決準則常稱為最大似然準則最大似然準則。按照這個準則判決就可。按照這個準則判決就可以得到理論上最佳的誤碼率，即達到理論上的誤碼率最小值。以得到理論上最佳的誤碼率，即達到理論上的誤碼率最小值。p以上對于二進制最佳接收準則的分析，可

18、以推廣到多進制信以上對于二進制最佳接收準則的分析，可以推廣到多進制信號的場合。設在一個號的場合。設在一個M 進制數(shù)字通信系統(tǒng)中，可能的發(fā)送碼進制數(shù)字通信系統(tǒng)中，可能的發(fā)送碼元是元是s1，s2，si，sM之一，它們的先驗概率相等，能之一，它們的先驗概率相等，能量相等。當發(fā)送碼元是量相等。當發(fā)送碼元是si時，接收電壓的時，接收電壓的k 維聯(lián)合概率密度函維聯(lián)合概率密度函數(shù)為數(shù)為于是，若于是，若 則判為則判為si(t)，其中，其中，20011( )exp( )( )2sTiiknf rr ts tdtn( )( ),ijf rfr1, 2,jijM16第10章 數(shù)字信號最佳接收l10.3 確知數(shù)字信號

19、的最佳接收機確知數(shù)字信號的最佳接收機n確知信號：指其取值在任何時間都是確定的、可以預知的信號。確知信號：指其取值在任何時間都是確定的、可以預知的信號。n判決準則判決準則當發(fā)送碼元為當發(fā)送碼元為“0”，波形為，波形為so(t)時，接收電壓的概率密度為時，接收電壓的概率密度為當發(fā)送碼元為當發(fā)送碼元為“1”，波形為，波形為s1(t)時，接收電壓的概率密度為時，接收電壓的概率密度為且兩碼元能量相等且兩碼元能量相等E因此，將上兩式代入判決準則式，經(jīng)過簡化，得到：因此，將上兩式代入判決準則式，經(jīng)過簡化，得到：若：若：則判為則判為“0”2000011( )exp( )( )2sTknfrr tstdtn21

20、10011( )exp( )( )2sTknf rr ts tdtn)()()0() 1 (10r rr rffPP17第10章 數(shù)字信號最佳接收若若則判為發(fā)送碼元是則判為發(fā)送碼元是s0(t)；若；若 則判為發(fā)送碼元是則判為發(fā)送碼元是s1(t)。 將上兩式的兩端分別取對數(shù)，得到，若將上兩式的兩端分別取對數(shù)，得到，若則判為發(fā)送碼元是則判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之則判為發(fā)送碼元是；反之則判為發(fā)送碼元是s1(t)。由于。由于已經(jīng)假設兩個碼元的能量相同，即已經(jīng)假設兩個碼元的能量相同，即所以上式還可以進一步簡化。所以上式還可以進一步簡化。 2210000011(1)exp( )( )(0)exp( )

21、( )ssTTPr ts tdtPr tstdtnn2210000011(1)exp( )( )(0)exp( )( )ssTTPr ts tdtPr tstdtnn2201000011ln( )( )ln( )( )(1)(0)ssTTnr ts tdtnr ts tdtPP220100( )( )ssTTst dtst dt)()()0() 1 (10r rr rffPP18第10章 數(shù)字信號最佳接收若若式中式中則判為發(fā)送碼元是則判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之，則判為發(fā)送碼元是；反之，則判為發(fā)送碼元是s1(t)。W0和和W1可以看作是由先驗概率決定的加權因子?？梢钥醋魇怯上闰灨怕蕸Q定的加權

22、因子。n最佳相干接收機最佳相干接收機u按照上式畫出的最佳接收機原理方框圖如下：按照上式畫出的最佳接收機原理方框圖如下：11000( )( )( )( )ssTToWr t s t dtWr t st dt) 0(ln200PnW ) 1 (ln201PnW 00100011ln( )( )ln( )( )2(1)2(0)ssTTnnr t s t dtr t st dtPP19第10章 數(shù)字信號最佳接收W1r(t)S1(t)S0(t)W0t = Ts比較判決積分器積分器11000( )( )( )( )ssTToWr t s t dtWr t st dt20r(t)S0(t)S1(t)積分器積

23、分器比較判決t = Ts第10章 數(shù)字信號最佳接收若此二進制信號的先驗概率相等，則上式若此二進制信號的先驗概率相等，則上式簡化為簡化為最佳接相干收機的原理方框圖也可以簡化成最佳接相干收機的原理方框圖也可以簡化成 ssTTdttstrdttstr0001()()()(）ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()(21第10章 數(shù)字信號最佳接收由上述討論不難推出由上述討論不難推出M 進制通信系統(tǒng)的最佳接收機結構進制通信系統(tǒng)的最佳接收機結構 u上面的最佳接收機的核心是由相乘和積分構成的相關運算，上面的最佳接收機的核心是由相乘和積分構成的相關運算，所以常稱這種算法為相關接收法。所以

24、常稱這種算法為相關接收法。u由最佳接收機得到的誤碼率是理論上可能達到的最小值。由最佳接收機得到的誤碼率是理論上可能達到的最小值。 積分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比較判決積分器積分器22第10章 數(shù)字信號最佳接收l10.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率n總誤碼率總誤碼率在最佳接收機中，若在最佳接收機中，若則判為發(fā)送碼元是則判為發(fā)送碼元是s0(t)。因此，在發(fā)送碼元為。因此，在發(fā)送碼元為s1(t)時，若時，若上式成立，則將發(fā)生錯誤判決。所以若將上式成立，則將發(fā)生錯誤判決。所以若將r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，代入上式，則上式成立的概率就是

25、在發(fā)送碼元則上式成立的概率就是在發(fā)送碼元“1”的條件下收到的條件下收到“0”的概率，即發(fā)生錯誤的條件概率的概率，即發(fā)生錯誤的條件概率P(0 / 1)。此條件概率的。此條件概率的計算結果如下計算結果如下 ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnaxdxeaPP22221)() 1/0(23將將y(t)=sy(t)=s1 1(t)+n(t)(t)+n(t)代入判決式中可得錯誤判代入判決式中可得錯誤判決條件為決條件為化簡得到化簡得到 2021212001( )1( )( )( )ln( )( )2( )2TTnP sn ts ts tdts

26、 ts tdtP s令：令：Tdttststn021)()()(TdttstssPsPna0221120)()(21)()(ln2dtsnsPndtsnsPnssToTo0221002111)(1ln)(1ln24第10章 數(shù)字信號最佳接收式中式中同理，可以求出發(fā)送同理，可以求出發(fā)送s0(t)時，判決為收到時，判決為收到s1(t)的的條件錯誤概率條件錯誤概率式中式中axdxeaPP22221)() 1/0(sTdttstsPPna02010)()(21) 1 ()0(ln2sTdttstsnD020102)()(2)(bxdxebPP22221)()0/1 (STdttstsPPnb02100

27、)()(21)0() 1 (ln2Tdttststn021)()()(2525的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為: : 120 ( ) ( )( )0TEE n ts ts t dt的方差為的方差為: : 式中式中E En(t)n()n(t)n()為高斯白噪聲為高斯白噪聲n(t)n(t)的自相關函數(shù)，由的自相關函數(shù)，由第第 2 2 章隨機信號分析可知章隨機信號分析可知: : 2121222122221112110012112112221200 lim( )( )( )( )( )( )lim ( ) ( ) ( )( ) ( )( )TTttTTttDEEEn tS ts tdtn tS ts tdtE

28、 n t n ts ts ts ts tdt dt 01212 ( ) ( )()2nE n t n ttt21210012120lim ( ) ( )lim()lim( )22ttttnnE n t n ttt 2121212112112221200212112112221211211000 lim ( ) ( ) ( )( ) ( )( )lim() ( )( ) ( )( ) ( )( )22TTttTTToottDE n t n ts ts ts ts tdt dtnntts ts ts ts tdt dts ts tdt 26第10章 數(shù)字信號最佳接收因此，總誤碼率為因此，總誤碼率為

29、n先驗概率對誤碼率的影響先驗概率對誤碼率的影響當先驗概率當先驗概率P(0) = 0及及P(1) = 1時，時，a = - 及及b = ，因此由上式計算出總誤碼率，因此由上式計算出總誤碼率Pe = 0。在物理。在物理意義上，這時由于發(fā)送碼元只有一種可能性，意義上，這時由于發(fā)送碼元只有一種可能性，即是確定的即是確定的“1”。因此，不會發(fā)生錯誤。同理，。因此，不會發(fā)生錯誤。同理，若若P(0) = 1及及P(1) = 0 ，總誤碼率也為零。，總誤碼率也為零。sTdttstsPPna02010)()(21) 1 ()0(ln2 21)0(21) 1 ()0/1 ()0() 1/0() 1 (222222

30、dxePdxePPPPPPbxaxeSTdttstsPPnb02100)()(21)0() 1 (ln227第10章 數(shù)字信號最佳接收u當先驗概率相等時：當先驗概率相等時：P(0) = P(1) = 1/2，a = b。這樣，上式可以化簡為。這樣，上式可以化簡為式中式中上式表明，當先驗概率相等時，對于給定的噪聲功率上式表明，當先驗概率相等時，對于給定的噪聲功率 2，誤碼率僅和兩種碼元波形之差誤碼率僅和兩種碼元波形之差s0(t) s1(t)的能量有關，的能量有關，而與波形本身無關。差別越大，碼率而與波形本身無關。差別越大，碼率Pe也越小。也越小。 u當先驗概率不等時：當先驗概率不等時：由計算表明

31、，先驗概率不等時的誤碼率將略小于先驗概由計算表明，先驗概率不等時的誤碼率將略小于先驗概率相等時的誤碼率。就誤碼率而言，先驗概率相等是最率相等時的誤碼率。就誤碼率而言，先驗概率相等是最壞的情況。壞的情況。dxePcxe22221sTdttstsc0210)()(21sTdttstsPPna02010)()(21) 1 ()0(ln2STdttstsPPnb02100)()(21)0() 1 (ln228第10章 數(shù)字信號最佳接收n先驗概率相等時誤碼率的計算先驗概率相等時誤碼率的計算在噪聲強度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號碼在噪聲強度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號碼元的區(qū)別?，F(xiàn)在給出元的區(qū)

32、別?，F(xiàn)在給出定量地描述碼元區(qū)別的一個參量定量地描述碼元區(qū)別的一個參量，即碼元的相關系數(shù)即碼元的相關系數(shù) ，其定義如下：，其定義如下：式中式中E0、E1為信號碼元的能量。為信號碼元的能量。當當s0(t) = s1(t)時，時， 1，為最大值；當，為最大值；當s0(t) = -s1(t)時，時， 1，為最小值。所以，為最小值。所以 的取值范圍在的取值范圍在-1 +1。 sTdttstsc0210)()(2110010021020010)()()()()()(EEdttstsdttsdttsdttstsssssTTTTsTdttsE0200)(sTdttsE0211)(dxePcxe22221sTd

33、ttstsnD020102)()(2)(29第10章 數(shù)字信號最佳接收當兩碼元的能量相等時，令當兩碼元的能量相等時，令E0 = E1 = Eb，則上式可以寫成，則上式可以寫成并且并且將上式代入誤碼率公式，得到將上式代入誤碼率公式，得到為了將上式變成實用的形式，作如下的代數(shù)變換：為了將上式變成實用的形式，作如下的代數(shù)變換：令令則有則有bTEdttstsS010)()()1 (t)t)s(s 2)()(21)()(2101012020210bTTEdttstsdttstscSSdxedxePbExcxe)1(22222221212/xz 2222/xz 2/dxdz 30第10章 數(shù)字信號最佳接收

34、于是上式變?yōu)橛谑巧鲜阶優(yōu)槭街惺街?利用下式中利用下式中 2和和n0關系關系代入上式，得到誤碼率最終表示式：代入上式，得到誤碼率最終表示式：2222(1)/ 2(1)/ 2(1)/ 2(1)/ 21122(1)1121()222bbbbEEzzzzebEEedzedzEedzePdzerfc22022(),()xzzxerf xedzerfc xedz)1 ()()(2)(0020102bTEndttstsnDs002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbe22222(1)(1)22(1)bbobEEn E31第10章 數(shù)字信號最佳接收式中式中 誤差函數(shù)誤差函數(shù) 補誤差函數(shù)補誤

35、差函數(shù) Eb 碼元能量；碼元能量； 碼元相關系數(shù)；碼元相關系數(shù)； n0 噪聲功率譜密度。噪聲功率譜密度。上式是一個非常重要的理論公式，它給出了上式是一個非常重要的理論公式，它給出了理論上二進制等理論上二進制等能量數(shù)字信號誤碼率的最佳（最小可能）值能量數(shù)字信號誤碼率的最佳（最小可能）值。在下圖中畫出。在下圖中畫出了它的曲線。實際通信系統(tǒng)中得到的誤碼率只可能比它差，了它的曲線。實際通信系統(tǒng)中得到的誤碼率只可能比它差，但是絕對不可能超過它。但是絕對不可能超過它。002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbexzdzexerf022)()(1)(xerfxerfc32第10章 數(shù)字信

36、號最佳接收n誤碼率曲線誤碼率曲線dB02)1 (21nEerfcPbe33第10章 數(shù)字信號最佳接收n最佳接收性能特點最佳接收性能特點u誤碼率僅和誤碼率僅和Eb / n0以及相關系數(shù)以及相關系數(shù) 有關，與信號波形及噪聲有關，與信號波形及噪聲功率無直接關系。功率無直接關系。 u碼元能量碼元能量Eb與噪聲功率譜密度與噪聲功率譜密度n0之比，實際上相當于信號之比，實際上相當于信號噪聲功率比噪聲功率比Ps/Pn。因為若系統(tǒng)帶寬。因為若系統(tǒng)帶寬B等于等于1/Ts，則有則有按照能消除碼間串擾的奈奎斯特速率傳輸基帶信號時，所按照能消除碼間串擾的奈奎斯特速率傳輸基帶信號時，所需的最小帶寬為需的最小帶寬為(1/

37、2Ts) Hz。對于已調(diào)信號，若采用的是。對于已調(diào)信號，若采用的是2PSK或或2ASK信號，則其占用帶寬應當是基帶信號帶寬的信號，則其占用帶寬應當是基帶信號帶寬的兩倍，即恰好是兩倍，即恰好是(1/(2Ts)=1/Ts (Hz) ) Hz。所以，在工程上，。所以，在工程上，通常把通常把(Eb/n0)當作信號噪聲功率比看待。當作信號噪聲功率比看待。nssssssbPPBnPTnPnTPnE0000)/1 (0(1)122beEPerfcn34第10章 數(shù)字信號最佳接收u相關系數(shù)相關系數(shù) 對于誤碼率的影響很大。當兩種碼元的波形相同，對于誤碼率的影響很大。當兩種碼元的波形相同，相關系數(shù)最大，即相關系數(shù)

38、最大，即 = 1時，誤碼率最大。這時的誤碼率時，誤碼率最大。這時的誤碼率Pe = 1/2。因為這時兩種碼元波形沒有區(qū)別，接收端是在沒有根據(jù)。因為這時兩種碼元波形沒有區(qū)別，接收端是在沒有根據(jù)的亂猜。當兩種碼元的波形相反，相關系數(shù)最小，即的亂猜。當兩種碼元的波形相反，相關系數(shù)最小，即 = -1時，誤碼率最小。這時的最小誤碼率等于時，誤碼率最小。這時的最小誤碼率等于 例如，例如，2PSK信號的相關系數(shù)就等于信號的相關系數(shù)就等于 -1。u當兩種碼元正交，即相關系數(shù)當兩種碼元正交，即相關系數(shù) 等于等于0時，誤碼率等于時，誤碼率等于u例如，例如，2FSK信號的相關系數(shù)就等于或近似等于零。信號的相關系數(shù)就等

39、于或近似等于零。010212121nEerfcnEerfcPbbe）（0002212)1 (21nEerfcnEerfcPbbe0(1)122beEPerfcn35第10章 數(shù)字信號最佳接收u若兩種碼元中有一種的能量等于零，例如若兩種碼元中有一種的能量等于零，例如2ASK信號，則信號，則誤碼率為誤碼率為u比較以上比較以上3式可見，它們之間的性能差式可見，它們之間的性能差3dB，即，即2ASK信號的信號的性能比性能比2FSK信號的性能差信號的性能差3dB，而，而2FSK信號的性能又比信號的性能又比2PSK信號的性能差信號的性能差3dB。21101( )22sTEcs tdt 010204212)

40、1 (211nEerfcnEerfcPEEbeb22212/2 2220110000112221(),( )( )2422sexzxcEzTbedzedzEnEerfcs ts tdtnPn0(1)122beEPerfcn36第10章 數(shù)字信號最佳接收n多進制通信系統(tǒng)多進制通信系統(tǒng)u若不同碼元的信號正交，且先驗概率相等，能量也相等，若不同碼元的信號正交，且先驗概率相等，能量也相等，則其最佳誤碼率計算結果如下：則其最佳誤碼率計算結果如下：式中，式中，M 進制數(shù)；進制數(shù)； E M 進制碼元能量；進制碼元能量； n0 單邊噪聲功率譜密度。單邊噪聲功率譜密度。由于一個由于一個M 進制碼元中含有的比特數(shù)

41、進制碼元中含有的比特數(shù)k 等于等于log2M，故每個，故每個比特的能量等于比特的能量等于并且每比特的信噪比為并且每比特的信噪比為下圖畫出了誤碼率下圖畫出了誤碼率Pe與與Eb/n0關系曲線。關系曲線。 dyedxePyMnEyxe212222/10221211MEEb2log/knEMnEnEb0200log37第10章 數(shù)字信號最佳接收u誤碼率曲線誤碼率曲線由此曲線看出，對于由此曲線看出，對于給定的誤碼率，當給定的誤碼率，當k增大時，需要的信噪增大時，需要的信噪比比Eb/n0減小。當減小。當k 增增大到大到 時，誤碼率曲時，誤碼率曲線變成一條垂直線；線變成一條垂直線；這時只要這時只要Eb/n0

42、等于等于0.693(即即-1.6 dB)，就能，就能得到無誤碼的傳輸。得到無誤碼的傳輸。Pe0.693Eb/n038相干相干2ASK信號信號非相干非相干2ASK信號信號相干相干2FSK信號信號非相干非相干2FSK信號信號相干相干2PSK信號信號差分相干差分相干2DPSK信號信號同步檢測同步檢測2DPSK信號信號第10章 數(shù)字信號最佳接收l10.7 實際接收機和最佳接收機的性能比較實際接收機和最佳接收機的性能比較4/21rerfc04/21nEerfcb4/exp21r04/exp21nEb2/21rerfc02/21nEerfcb2/exp21r02/exp21nEbrerfc210/21nE

43、erfcbrexp210/exp21nEbrerfcrerfc21100211nEerfcnEerfcbb實際接收機的實際接收機的Pe最佳接收機的最佳接收機的Pe39第10章 數(shù)字信號最佳接收 在接收機輸入端信號功率和信道相同時比較兩種結構接在接收機輸入端信號功率和信道相同時比較兩種結構接收機的誤碼性能。由上表可以看出，在相同的條件下：收機的誤碼性能。由上表可以看出，在相同的條件下：若若 ，則實際接收機誤碼率小于最佳接收機誤碼率；，則實際接收機誤碼率小于最佳接收機誤碼率； 若若 ，則實際接收機誤碼率大于最佳接收機誤碼率；，則實際接收機誤碼率大于最佳接收機誤碼率；若若 ，則實際接收機誤碼率等于最

44、佳接收機誤碼率。，則實際接收機誤碼率等于最佳接收機誤碼率。 前面已經(jīng)分析，只有當實際系統(tǒng)帶寬等于奈氏準則時，有前面已經(jīng)分析，只有當實際系統(tǒng)帶寬等于奈氏準則時，有基帶信號帶寬為基帶信號帶寬為Bm=1/(2Ts)Bm=1/(2Ts)，雙邊帶已調(diào)波帶寬為，雙邊帶已調(diào)波帶寬為: : B=2Bm= B=2Bm= 2 2* *1/(2Ts)=1/Ts,1/(2Ts)=1/Ts,這樣的話：這樣的話：Eb/n0=PTs/=PTs/n0=P/=P/n0(1/Ts)=P/(1/Ts)=P/n0B= P/B= P/N=r 實際接收機誤碼率等于最佳接收機誤碼率，而奈氏帶寬實際接收機誤碼率等于最佳接收機誤碼率，而奈氏帶

45、寬式理論極限，實際達不到。因此，實際接收機質量總是低于式理論極限，實際達不到。因此，實際接收機質量總是低于最佳接收機。最佳接收機。0/brEn0/brEn0/brEn40第10章 數(shù)字信號最佳接收l10.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法數(shù)字信號的匹配濾波接收法n什么是匹配濾波器？什么是匹配濾波器？ 用線性濾波器對接收信號濾波時，使抽樣時刻上輸用線性濾波器對接收信號濾波時，使抽樣時刻上輸出信噪比最大的線性濾波器稱為匹配濾波器出信噪比最大的線性濾波器稱為匹配濾波器。n假設條件：假設條件：u接收濾波器的傳輸函數(shù)為接收濾波器的傳輸函數(shù)為H(f)，沖激響應為，沖激響應為h(t)，濾，濾波器輸入碼元波器輸入碼

46、元s(t)的持續(xù)時間為的持續(xù)時間為Ts，信號和噪聲之和，信號和噪聲之和r(t)為為式中，式中，s(t) 信號碼元，信號碼元， n(t) 高斯白噪聲；高斯白噪聲；sTttntstr0),()()(41第10章 數(shù)字信號最佳接收u并設信號碼元并設信號碼元s(t)的頻譜密度函數(shù)為的頻譜密度函數(shù)為S(f)，噪聲，噪聲n(t)的雙的雙邊功率譜密度為邊功率譜密度為PR(f) = n0/2，n0為噪聲單邊功率譜密度。為噪聲單邊功率譜密度。 n輸出電壓輸出電壓u假定濾波器是線性的，根據(jù)線性電路疊加定理，當濾假定濾波器是線性的，根據(jù)線性電路疊加定理，當濾波器輸入電壓波器輸入電壓r(t)中包括信號和噪聲兩部分時，

47、濾波器中包括信號和噪聲兩部分時，濾波器的輸出電壓的輸出電壓y(t)中也包含相應的輸出信號中也包含相應的輸出信號so(t)和輸出噪和輸出噪聲聲no(t)兩部分，即兩部分，即式中式中)()()(tntstyoodfefSfHtsftjo2)()()( )H f( )s t( )n t( )r t( )y t()oy t判決0()S tN42第10章 數(shù)字信號最佳接收n輸出噪聲功率：輸出噪聲功率：由由得輸出噪聲功率得輸出噪聲功率No等于等于n輸出信噪比輸出信噪比在抽樣時刻在抽樣時刻t0上，輸出信號瞬時功率與噪聲平均功率之比為上，輸出信號瞬時功率與噪聲平均功率之比為220( )*( )( )( )(

48、)( )( )2YRRnPfHf H f PfH fPfH fdffHndfnfHNo2002)(22)(02220020( ) ( )( )( )2jftooH f S f edfs trnNH fdf43第10章 數(shù)字信號最佳接收n匹配濾波器的傳輸特性：匹配濾波器的傳輸特性：利用施瓦茲不等式求利用施瓦茲不等式求 r0的最大值的最大值若若其中其中k為任意常數(shù)，則上式的等號成立。為任意常數(shù)，則上式的等號成立。將上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令將上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令則有則有式中式中 是信號能量是信號能量dxxfdxxfdxxfxf2221221)()()()()(

49、)(*21xkfxf0221)()(),()(ftjefSxffHxf20( )H fdfr 220( )( )2S fdfnH fdf200( )22S fdfEnndffSE2)(022020( ) ( )( )2jftH f S f edfrnH fdf44第10章 數(shù)字信號最佳接收而且當而且當時，上式的等號成立，即得到最大輸出信噪比時，上式的等號成立，即得到最大輸出信噪比2E/n0。上式表明：上式表明： 就是我們要找的最佳接就是我們要找的最佳接收濾波器傳輸特性。收濾波器傳輸特性。 它等于信號碼元頻譜的復共軛（除了常數(shù)因子外）。它等于信號碼元頻譜的復共軛（除了常數(shù)因子外）。故稱此濾波器為

50、匹配濾波器。故稱此濾波器為匹配濾波器。 02)(*)(ftjefkSfH02)(*)(ftjefkSfH45第10章 數(shù)字信號最佳接收n匹配濾波器的沖激響應函數(shù)：匹配濾波器的沖激響應函數(shù)：由上式可見，匹配濾波器的由上式可見，匹配濾波器的沖激響應沖激響應h(t)就是：就是：信號信號s(t)的鏡像的鏡像s(-t)，再在時間軸上（向右）平移，再在時間軸上（向右）平移t0。 000222*2()2( )2()00( )( )*( )( )( )( ) ()()jftjftjftjf ttjfsjftth tH f edfkSf eedfksededfkedfsdkstt dks tt 是實信號46匹配

51、濾波器的單位沖激響應為：匹配濾波器的單位沖激響應為：1t 2t ()st t( )s t1t2tt1ott2t ()os ttott 匹配濾波器單位匹配濾波器單位沖激響應原理沖激響應原理( )()oh tKs tt第10章 數(shù)字信號最佳接收47000tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a)(b)(c)第10章 數(shù)字信號最佳接收n圖解 48第10章 數(shù)字信號最佳接收n實際的匹配濾波器實際的匹配濾波器 一個實際的匹配濾波器應該是物理可實現(xiàn)的，其沖激響一個實際的匹配濾波器應該是物理可實現(xiàn)的，其沖激響應必須符合因果關系，在輸入沖激脈沖加入前不應該有沖激應必須符合因果關系

52、，在輸入沖激脈沖加入前不應該有沖激響應出現(xiàn)，即必須有：響應出現(xiàn)，即必須有：即要求滿足條件即要求滿足條件或滿足條件或滿足條件 上式的條件說明，接收濾波器輸入端的信號碼元上式的條件說明，接收濾波器輸入端的信號碼元s(t)在在抽樣時刻抽樣時刻t0之后必須為零。一般不希望在碼元結束之后很久之后必須為零。一般不希望在碼元結束之后很久才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選t0 = Ts。故匹配。故匹配濾波器的沖激響應可以寫為濾波器的沖激響應可以寫為0, 0)(tth當0( )()0,0h tks ttt當00( )0,0s ttttt當時，即)()(tTksths49

53、第10章 數(shù)字信號最佳接收這時這時，若匹配濾波器的輸入電壓為，若匹配濾波器的輸入電壓為s(t)，則輸出信號碼元的，則輸出信號碼元的波形為：波形為：上式表明：匹配濾波器輸出信號碼元波形是輸入信號碼元波上式表明：匹配濾波器輸出信號碼元波形是輸入信號碼元波形的自相關函數(shù)的形的自相關函數(shù)的k倍。倍。k是一個任意常數(shù)，通常取是一個任意常數(shù)，通常取k 1。( )() ( )() ()()osssts thdks ts TdkR tT50第10章 數(shù)字信號最佳接收n【例例10.1】設接收信號碼元設接收信號碼元s(t)的表示式為的表示式為試求其匹配濾波器的特性和輸出信號碼元的波形。試求其匹配濾波器的特性和輸出

54、信號碼元的波形。【解解】上式所示的信號波形是一個矩形脈沖，如上圖所示。上式所示的信號波形是一個矩形脈沖，如上圖所示。其頻譜為其頻譜為由由令令k = 1，可得其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為，可得其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為t0=Ts由由令令k = 1，還可以得到此匹配濾波器的沖激響應為，還可以得到此匹配濾波器的沖激響應為tTttss其他, 00, 1)(221( )( )1()2ssjfTj fTjftssS fs t edteT SaT f ejftTss(t)102)(*)(ftjefkSfH2211( )1,( )12ssssjfTjfTj Tj TH feeHeejfj)()(0ttksth51第

55、10章 數(shù)字信號最佳接收此沖激響應示于右圖。此沖激響應示于右圖。表面上看來，表面上看來，h(t)的形狀和信號的形狀和信號s(t)的形狀一樣。實際上，的形狀一樣。實際上，h(t)的形狀是的形狀是s(t)的波形以的波形以t = Ts / 2為軸線反轉而來為軸線反轉而來。由于。由于s(t)的波的波形對稱于形對稱于t = Ts / 2，所以反轉后，波形不變。，所以反轉后，波形不變。由式由式可以求出此匹配濾波器的可以求出此匹配濾波器的輸出信號波形如下：輸出信號波形如下： tTsh(t)1ssTttTsth0),()()()(soTtkRtstTsso(t)52第10章 數(shù)字信號最佳接收由其傳輸函數(shù)由其傳

56、輸函數(shù)可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下：可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下：因為上式中的因為上式中的(1/j2 f)是理想積分器的傳輸函數(shù)，而是理想積分器的傳輸函數(shù)，而exp(-j2 fTs)是延遲時間為是延遲時間為Ts的延遲電路的傳輸函數(shù)。的延遲電路的傳輸函數(shù)。 2211( )1,( )12ssssjfTjfTj Tj TH feeHeejfj1( )1sj THej53(a)s(t)0Tt2T1例：(b)2Th(t)0Tt1單位沖擊響應otT信號時間波形so(t)OTt(c)2T2T23TotT第10章 數(shù)字信號最佳接收54(a)s(t)0Tt2T11例：( )h tt2TT( )bT2T3

57、2T2Tt( )os t00T2T第10章 數(shù)字信號最佳接收55l匹配濾波器的性質匹配濾波器的性質(1)(1)其幅頻特性與輸入信號的幅頻特性一致，至多其幅頻特性與輸入信號的幅頻特性一致，至多差一個常數(shù)因子差一個常數(shù)因子K K；其相頻特性與輸入信號的反相；其相頻特性與輸入信號的反相，并有一個附加的相位，并有一個附加的相位 。（2 2）匹配濾波器在輸出端可以給出最大的瞬時信）匹配濾波器在輸出端可以給出最大的瞬時信噪比：噪比： *( )( )jtoHKSe 0HSHK St 0max2oErn第10章 數(shù)字信號最佳接收0t56 iS0KRosttti0SKR0ost（4）關于關于r r0max0ma

58、x=2E/n=2E/n0 0：只要：只要s(t)s(t)能量相同，不能量相同，不論論s(t)s(t)的形狀、噪聲分布如何、相應的匹配濾的形狀、噪聲分布如何、相應的匹配濾波器不同，但波器不同，但r r0max0max相同相同(5)(5)觀測時刻觀測時刻t t0 0選擇在信號持續(xù)時間的末尾，一選擇在信號持續(xù)時間的末尾，一般取碼元周期般取碼元周期T Ts s；（3 3）輸出信號）輸出信號s s0 0(t)(t)：是：是s(t)s(t)的自相關函數(shù)的的自相關函數(shù)的k k倍倍第10章 數(shù)字信號最佳接收且57第10章 數(shù)字信號最佳接收n【例例10.210.2】 設信號的表示式為設信號的表示式為求匹配濾波器

59、的特性和濾波器輸出波形。求匹配濾波器的特性和濾波器輸出波形。【解解】：上式給出的信號波形是一段余弦振：上式給出的信號波形是一段余弦振蕩，如右圖所示：蕩，如右圖所示：其頻譜為其頻譜為tTttftss其他, 00,2cos)(00022002 ()2 ()00( )( )cos2114 ()4 ()sssTjftjftjffTjffTS fs t edtf tedteejffjffTs)( 21)( 21| )()(21)(21cos)()()()(0)()(0000oTjoTjTotjotjTtjtjtjTtjotjjejejejedteeedttedtetsfSsososooss58第10章

60、數(shù)字信號最佳接收因此，其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為：因此，其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為：上式中已令上式中已令t t0 0 = = T Ts s。此匹配濾波器的沖激響應為：此匹配濾波器的沖激響應為：為了便于畫出波形簡圖，令：為了便于畫出波形簡圖，令： ( (一個碼元周期中有一個碼元周期中有n n個載波周期個載波周期) )式中，式中，n n = = 正整數(shù)。這樣，上式可以化簡為正整數(shù)。這樣，上式可以化簡為h h( (t t) )的曲線示于下圖：的曲線示于下圖： )(41)(41)(*)(*)(02)(202)(222000ffjeeffjeeefSefSfHsssssfTjTffjfTjTffjfTjft