2013年北海市高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)理試題

1、12013 年北海市高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量檢測 理科數(shù)學(xué)本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。考試時間 120 分鐘，滿分 150 分，考生應(yīng)首先閱讀答題卷上的文字信息，然后在答題卷上作答，在試題卷上作答無效。第卷（選擇題 共 60 分）參考公式：如果事件互斥，那么 球的表面積公式AB， ()( )( )P ABP AP B24SR如果事件相互獨(dú)立，那么 其中表示球的半徑AB，R 球的體積公式)()()(BPAPBAP如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么 AP343VR次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑nkR( )(1)(01,2)kkn knnP kC PPkn，

2、一、選擇題：（本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)正確。 ）1計算復(fù)數(shù)的結(jié)果是（ ）21izii(A) (B) (C) (D) 1322i1322i3122i3122i2設(shè)集合，則（ ）(1,),ln(4)MNx yx()RMC N (A) (B) (C) (D) (4,)(,1(1,4(2,4)3已知雙曲線的離心率為，若它的一條準(zhǔn)線方程為，則該雙曲線的漸近22221xyab-=(0,0)ab31x=線方程為（ ）（A） （B） （C） （D）2yx= 3yx= 22yx= 33yx= 4平面與球相交于周長為的，為上的兩點(diǎn)，若，且兩點(diǎn)的球面

3、距O2/O,A B/O4AOB=,A B離為，則球心與圓心的距離 （ ）24O/O/OO =(A) (B) (C) (D) 221225在等差數(shù)列中，則數(shù)列 的前 48 項(xiàng)和為（ ）na38a =526aa=+11nna a+（A）2013（B）2012 （C） （D） 32575026已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，且，則（ ）O(4,6),(3,5)OAOB =,/ /OCOA ACOB 3 OC=(A) (B) (C) (D) 3 1252 1375 27 37已知函數(shù)，則以下判斷中正確的是（ ）2( )2cossin21f xxx（A）函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移而得到( )f x2cos2

4、yx=8（B）函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移而得到( )f x2cos2yx=4（C）函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向右平移而得到( )f x2sin2yx=38（D）函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移而得到 ( )f x2sin2yx=348已知為兩條不同直線，為兩個不同平面，則下列選項(xiàng)中能使成立的充分而不必要條件是,m n, / /mn(A) (B) / / ,/ / ,/ /mn ,mn (C) (D) / / ,/ /mn,mn9設(shè)，則（ ）3223,log 4,aebce（A） （B） (C) (D) cabacbabcbca10已知函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ 323,0

5、,)( )(3 )1,(,0)xxf xxaa xa x a）（A） （B） (C) (D) 4,)3,)0,3(,13,)11有黑、白、紅三種顏色的小球各 5 個，都分別標(biāo)有數(shù)字 1，2，3，4，5，現(xiàn)取出 5 個，要求這 5 個球的數(shù)字不相同但三種顏色齊備，則不同的取法種數(shù)有（ ）(A) 120 種 (B) 150 種 (C) 240 種 (D) 260 種 12已知點(diǎn)在橢圓上且位于第三象限內(nèi)一點(diǎn)，且它與兩焦點(diǎn)連線互相垂直，若點(diǎn)到直線P2214520 xy+=P的距離不大于 3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）43210 xym-+=m(A) (B) (C) (D) 9 11,2 2(, 7)8,

6、) 7,8 2,2第第卷卷二、填空題二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分. 把答案填在題中橫線上13設(shè)實(shí)數(shù)滿足不等式,則的最小值是 . , x y,yxyxy 11yx314函數(shù)的值域?yàn)?( )sincos()6f xxx=-+15如果的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 128，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)為 321(3)nxx2x16如圖所示，已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面111ABCABC-1A上的射影為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為 ABCDBCAB1CC三三. 解答題：本大題共解答題：本大題共 6 小題，共小題，共 70 分。解答應(yīng)給出文字說明、證明進(jìn)程或演算步驟分

7、。解答應(yīng)給出文字說明、證明進(jìn)程或演算步驟.17在中，內(nèi)角的對邊分別是，已知，若，ABCD, ,A B C, ,a b c1c 3C=，求的面積.sinsin()3sin2CABB+-=ABCD18如圖所示，平面，點(diǎn)在以為直徑的上，PA ABCCABO，點(diǎn)在上，且030CBA2PAABMAB/ /OMAC（）求證：平面平面；PAC PCB（）設(shè)二面角的大小為，求的值MBPCcos19已知從地去地有或兩條路可走，并且汽車走路堵車的概率為14；汽車走路堵車的概率AB為p若現(xiàn)在有兩輛汽車走路，有一輛汽車走路，且這三輛車是否堵車相互之間沒有影響。（）若這三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為716，求走公路

8、堵車的概率；（）在（）的條件下，求這三輛汽車中被堵車輛的輛數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望420已知函數(shù)在上為增函數(shù)，且，1( )lnsing xxx1,)(0, )12( )lnmef xmxxx mR（）求的值；（）若在上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍1, e0 x00()()f xg xm21在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，xOyF2:2(0)C xpy pMC2過三點(diǎn)的圓的圓心為，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為34。,M F OQQC（）求拋物線和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；CQ（）若直線與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)， 與圓有兩個不同的交點(diǎn)，求當(dāng)1:4l ykxC,A BlQ,D E時，

9、的最小值122k22ABDE22已知數(shù)列滿足，是數(shù)列的前n項(xiàng)和na212(2)1(*)1nnnnnanananNanSna（）若，求，并推證數(shù)列的通項(xiàng)公式；11a 234,a a ana（）若，求證：11 3 , 2 2a (1)1(*)2nn nSnN52013 年北海市高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1本參考答案提供一至兩種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則；2解答題右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分；3只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分?jǐn)?shù)。一、選擇題一、選擇題題號（1）（2）（3）（4）

10、（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）答案DCABCBADCABC二、填空題二、填空題:（13） （14） （15） （16）123, 3283574三、解答題三、解答題:(17) 解，可得ABCsinsin()CAB由，得，sinsin()3sin2CABB+-=sin()sin()3sin2ABABB+-=即，可得2sincos6sincosABBBcos(sin3sin)0BAB或 分cos0B sin3sinAB或 5 分2B3ab若， 得 3C2B6A32 3,33ab的面積 8 分ABCD13sin26SabC若，由余弦定理，得3C3ab2222coscababC2

11、21106cos3bb即，解之得 ，從而271b 77b 3 77a 的面積 10 分ABCD13 3sin228SabC(18) 解（）證明：點(diǎn)C在以AB為直徑的O上，即. 2 分 90ACB=BCAC而平面，平面，所以 . 4 分 PAABCBC ABCPABC平面，平面， AC PACPAPACPAACA=平面.BC PAC而平面， 平面PAC平面. 6 分BC PBCPCB6（）法一： AB為直徑，為圓周角，ACB90ACB=在中，ABC0030 ,90 ,2BCAB3,1BCAC在中，PAC090 ,2,1APAAC5PC 在中，PAB090 ,2APAAB2 2PB 三邊長，PBC

12、2 2PB 5PC 3BC 90PCB=設(shè)斜邊上的高為，則， 8 分PB1h11122PB hPC BC =1304h =，/ /OMAC030CBA90ACB=60CABAOM= =30ABM=連接，易求AM3,5MBMP=三邊長，PMB2 2PB 5PM 3MB 90PMB=設(shè)斜邊上的高為，則， 10 分PB2h11122PB hPM MB =2304h =過點(diǎn)作邊上的垂線，垂足為，連接，CPBEME，則，3BEBECBEMBECBMB= = ()CBEMBE SASDDCEBMEB= MEPB為二面角的平面角，MECMBPC在中，MCBD060 ,3,3BBCBMMC=在中，MECD12

13、30,34CEhMEhMC=，即 12 分3030311616cos53030244MEC+-=1cos5=法二：如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，CCAxCBy建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?，Cxyz30CBA=2PAAB=所以 ，. 延長交于點(diǎn).2cos303CB =1AC =MOCBD因?yàn)?，所以 .OMAC1313, 1,2222MDCB MDCDCB=+=DzyxMEBOCAP7所以 ，.(1,0,2)P(0,0,0)C(0, 3,0)B33( ,0)22M所以 ，. 8 分(1,0,2)CP = (0, 3,0)CB = 設(shè)平面的法向量.因?yàn)?PCB( , , )= x y

14、 zm0,0.CPCB= mm所以 即( , , ) (1,0,2)0,( , , ) (0, 3,0)0,x y zx y z= 20,30.xzy+= 令，則.1z =2,0 xy= -=所以 . 同理可求平面的一個法向量 n. 10 分( 2,0,1)= -mPMB1, 3,1所以 .所以 . 12 分1cos,5 m nm nmn1cos5=(19) 解：（）由已知條件得 2121 337(1)4 4416Cpp 即31p ，則13p 答：的值為 6 分p13（）的可能取值為0,1,2,3，3 3 23(0)4 4 38p7(1)16p， 10 分121 1 21 3 11(2)4 4

15、 34 4 36pC1 1 11(3)4 4 348p0123P3871616148 12 分3711501238166486E (20) 解()由已知得在上恒成立，即，/211( )0singxxx 1,)2sin10sinxx (0, ) 故在上恒成立，sin0sin10 x 1,)只需即，由知 6 分sin1 10 sin1sin1(0, )2（）令，2( )( )( )2lnmeF xf xg xmxxx當(dāng)時，由有，且，0m 1, xe0mmxx22ln0exx此時不存在，使得成立 8 分01, xe00()()f xg x當(dāng)時，0m 2/22222( )memxxmeFxmxxx，又

16、1, xe220ex20mxm在上恒成立，故在在上單調(diào)遞增，/( )0Fx 1, e( )F x1, emax( )( )4mF xF emee8令，則，故所求的的取值范圍是 12 分40mmee241emem24(,)1ee(21) 解()由題意知,圓心在線段的中垂線上，拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以(0,)2pFQOF4py 2py ,得,拋物線方程為. 3 分. 314p 1pyx22代得,，設(shè)，2x 1y ( 2,1)M1( , )4Q a2219,(2)1616QFQMaa，5 28a 2732QF 圓的方程為 6 分Q225 2127()()8432xy().設(shè),由，整理得,. ),()

17、,(2211yxByxA4122kxyyx22410 xkx 21680k . 8 分4)(1 (2122122xxxxkAB)24)(1 (22kk設(shè),由由，整理得,3344(,),(,)D xyE xy225 2127()()843214xyykx225 21(1)0416kxx. 10 分222222222727225184(1)(1)8(1)8(1)4kkDEkkkk于是,令 22222251(1)(42)8(1)4ABDEkkk2151,2,524tkkt 則,222251251(42)428484ABDEtttttt554t 設(shè), 2251( )4284f tttt282528)(tttg554t 當(dāng)時, 在上遞增5 ,45t/2255( )82( )6084fttft( )g t5 ,54當(dāng)時，. 54t min25525113( )4251644284g t 故當(dāng)，即時,. 12 分54t 21k22min13()2ABDE(22) 解：()由題意可得，猜想，下面給出證明：2342,3,4aaa(*)nan nN當(dāng)時，成立1n 11a 假設(shè)時，成立，那么，當(dāng)時，nkkak1nk9222122(2)1(2)1111kkkkkakakkkkkakak