第二次課、Fourier級(jí)數(shù)的收斂性判別ppt課件

1、1.Dirichlet積分011( )cossin,mmmnnnnSxaanxbnx我們先來(lái)分析Fourier級(jí)數(shù)的部分和,( )Fouriernna bf x其中 是函數(shù) 的系數(shù)。1111( )( )( )coscos21 ( )sinsin,mmnmnSxf t dtf tntdtnxf tntdtnx 111( )coscossinsin2mnf tntnxntnxdt111( )cos (),2mnf tn txdtcoscos2cos2sincos2sincos22sincos2222sin2mm3532121sinsinsinsinsinsin2222222sin2mm2121si

2、nsinsin122222sin2sin22mm21sin()12( )( )()2sin2mmtxSxf tdttx因此 21sin12()2sin2xx uxtmuf uxduu 21sin12(), ()2sin2muf uxduu周期性Dirichlet我們稱(chēng)上面的積分為積分。0021sin12( )()2sin2mmuSxf uxduu021sin12()()2sin2muf xuf xuduulim( ) ( )mmSxx如果 存在，設(shè)為 ，則0( )( )21sin12()()2 ( )2sin2mSxxmuf xuf xuxduu121sin12 cos22sin2mnmnu回

3、憶0m 當(dāng)時(shí)，上式應(yīng)趨于 。為了證明這一點(diǎn)，我們先證明一個(gè)引理。( ) , lim( )sin0, lim( )cos0.bbaappxa bxpxdxxpxdx 設(shè)函數(shù)在 上可積（作為黎曼積分）或絕對(duì)可積(作定理2.1(Riemann-Lebesgue引理)為廣義積分)，則( ) , 0 xa b我們先考慮在 上黎曼可積的情形。由定理7.1.3，對(duì)任意給定的，存證明：在一種劃分012naxxxxb112niiiiiixxxx使得 ，其中 ，1,inf( ),iiixxxmx1,sup( ),iiixxxMx.iiiMm14niiPmpP記 ，則當(dāng) 時(shí)12,2niimp11( )sin( )s

4、iniinbxaxixpxdxxpxdx于是 =1111( ( )sinsiniiiinnxxiixxiixmpxdxmpxdx=1111( )sinsiniiiinnxxiixxiixmpx dxmpxdx112nniiiiixmp,22 由 的任意性，命題得證。( ) , ( ) 00 xa bbx如果 是無(wú)界函數(shù)且在 上絕對(duì)可積，不妨設(shè) 是 的唯一奇點(diǎn)，則對(duì)任意，存在 ，使得( ),2bbx dx( ) ,0 xa bPpP由于 在 上不再有奇點(diǎn)，因此黎曼可積，利用前面的結(jié)論，存在 使得當(dāng) 時(shí)( )sin,2baxpxdx( )sin=( )sin( )sinbbbaabxpxdxxpx

5、dxxpxdx于是 ( )sin( )sinbbabxpxdxxpxdx( )sin( )bbabxpxdxx dx,22 由 的任意性，命題得證。( ) Fourier( )(,)f xxf xxxx 可積或絕對(duì)可積的函數(shù) 的級(jí)數(shù)在 點(diǎn)是否收斂只與 在 的一個(gè)任意小的推論2.1(局部性原理理)鄰域 內(nèi)的性質(zhì)有關(guān)。021sin12( )()()2sin2mmuSxf xuf xuduu證明：01()()21sin22sin21()()21 +sin=,22sin2f xuf xumuduuf xuf xumudu IIIu0( )( )(,)mmIISxIf xxx 由，當(dāng) 時(shí)，第二項(xiàng) 趨于

6、，因此 是否收斂取決于第一項(xiàng) 是否收斂，換言之，取決于Riemann-L ebesgue引理 在鄰域 內(nèi)的性質(zhì)。00( )0, 2121sinsin22lim( )lim( ).2sin2mmummuuuduuduuu 設(shè) 在 上可積或絕對(duì)可，推積論2則2.11, 02sin( )( )0, 20, 0 uuug ug uum 證明：Riemann-Lebesgue引理令 則 在 上連續(xù)，由，當(dāng) 時(shí)，021( ) ( ) sin0,2mu g uudu現(xiàn)在將要證明的等式左右兩邊相減，立刻得證。2.Fourier級(jí)數(shù)的收斂判別0()()21 ( )sin22sin2lim( )( )mmmf x

7、uf xumIxuduuIxx由局部性原理，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)的收斂性取決于的收斂性，若 ，則應(yīng)有0()()2 ( )21limsin0,22sin2mf xuf xuxmuduu( , )()()2 ( ),u xf xuf xux為了簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，令 00( , )21limsin22sin2( , )21limsin,2mmu xmuduuu xmuduu推論2.2由，0( , )21limsin0 2mu xmuduu何時(shí) 呢？( , )0, u xuRiema由，只需 在 nn-Lebes 上可積或絕gue引理對(duì)可積。, 0010()(0),()(0), 0,( ) Lf xuf xLu

8、f xuf xLuuf xx對(duì)于充分小的 ，如果存在 及 使得則 在局部Hold點(diǎn) 處滿(mǎn)足er條件。( ) (0)(0)( )2f xxf xf xx如果 在點(diǎn) 處滿(mǎn)足局部Holder條件，取，則( , )()()2 ( )u xf xuf xuxuu ()(0)()(0)f xuf xf xuf xu()(0)()(0)f xuf xf xuf xu12,LuLuLuu1( )20, ( , ) ( ) (0)(0)Fourier( )2g uLuu xf xuf xf xxx但 在 上絕對(duì)可積，因此由比較判別法， 絕對(duì)可積，從而 的級(jí)數(shù)在 點(diǎn)收斂于，這樣我們就得到了下列定理：( ) , 0

9、1 older( )1(0)(0)2f xa bxf xxf xf x 如果函數(shù) 在 上可積（作為黎曼積分）或絕對(duì)可積(作為廣義積分)，且在點(diǎn) 處滿(mǎn)足指數(shù)為 的局部H條件，則 的Fourier級(jí)數(shù)在點(diǎn) 處收斂定理2.2(Dini-Lipschitz于判 別法).( ) , f xa bx 如果函數(shù) 在 上可積（作為黎曼積分）或絕對(duì)可積(作為廣義積分推論)，且在點(diǎn) 處的兩個(gè)2.3擬單邊導(dǎo)數(shù)0()(0)limhf xhf xh( )1(0)(0)2f xxf xf x存在，則 的Fourier級(jí)數(shù)在點(diǎn) 處收斂于 .( )2(,0, 0,( )0,0,( )f xxxf xxf x 設(shè) 是周期為 的

10、函數(shù)，它在上定義為試求 的Fourier級(jí)數(shù)并討論其例2.1收斂性。先求其Fourie解：r系數(shù)。0011( ),2af x dxxdx011( )coscosnaf xnxdxxnxdx2000111sinsincos|xnxnxdxnxnnn2221(cos 1)nnnnn，當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),0， 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),011( )sinsinnbf xnxdxxnxdx1( 1),nn1,2,n +121121( 1) ( )cos(21)sin;4(21)nknf xkxnxkn所以( )2.1 ( )1 (0)(0),22f xxf xff接下來(lái)討論收斂性。注意到 是分段線(xiàn)性函數(shù)，滿(mǎn)足推論的條件

11、，所以當(dāng) 時(shí) 的Fourier級(jí)數(shù)收斂于( ) ( )f xf x在其余的點(diǎn)處 的Fourier級(jí)數(shù)收斂于 .+121121( 1) cos(21)sin4(21)0, 0, 0, .2nknkxnxknxxxx綜上所述( ) f x 與其Fourier級(jí)數(shù)在哪些地方思考：有差異？( ) 5,5)0, 50,( )3, 05,( )f xxf xxf x 設(shè) 是周期為 10 的函數(shù)，它在上定義為試求 的Fourier級(jí)數(shù)并討論其練習(xí)2.1收斂性。5505011( )33,55af x dxdx解 ：0550110 cos3cos5555nn xn xadxdx5035sin0,1,2,55n

12、xnn5013sin55nn xbdx503 1 ( 1)35cos55nn xnn 136(21)( )sin;2(21)5kkxf xk( ) 0( )Fourier13 (00)(00),22f xxf xff顯然 滿(mǎn)足推論的條件，因此當(dāng) 時(shí) 的級(jí)數(shù)收斂于5( )Fourier13 (50)(50),22xf xff當(dāng) 時(shí) 的級(jí)數(shù)收斂于( )Fourier( )f xf x在其余的點(diǎn)處 的級(jí)數(shù)收斂于 .0( )0, ( )(00) limsin0.puupuduu定理2.3 設(shè)函數(shù) 在 上單調(diào)，(Dirichlet引)則理( )0(0, )(0, uu不妨設(shè)函數(shù) 單調(diào)增加，則對(duì)任意，證存

13、在 使當(dāng) 明： 時(shí)恒有0( )(00).u0( )(00)sinupuduu于是 0( )(0 )sin,upuduIIIu0, sin=( )(0 )puIduu 對(duì)于第一部分，由積分第二中值定理，存在使得sin puduusin,ppuduusin0Abel AuAduu對(duì)任意，由判別法，收斂；1001sinsinsin,uuudududuuuu10sinuduu 本質(zhì)上是定積分，0sinuduu因此 收斂；0sin 1;pppuduu如果 ，則由cauchy收斂原理，當(dāng) 充分大時(shí)sin0,00;ppuduu如果 ，則 00,0sinsinlimpppuududuCuu如果 ，則 有限數(shù)

14、，sin1;ppupduCu因此當(dāng) 充分大時(shí) 110sin1,ppPpPuduCu綜上所述，存在 使當(dāng) 時(shí) (1) ;IC從而 220 ( )(0 )=sin;PpPuIIpuduu對(duì)于第二部分，由，存在 使Riemann-Lebesgue時(shí)引理當(dāng) 120max,( )(00)sin(2) ,pP PupuduIIICu因此當(dāng) 時(shí)命題得證。( ) , ( )1(0)(0)2f xa bxf xxf xf x 如果函數(shù) 在 上可積（作為黎曼積分）或絕對(duì)可積(作為廣義積分)，且在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)是分段單調(diào)有界函數(shù)，則 的定理2.4(Dirichlet-JFourier級(jí)數(shù)在點(diǎn)ordan判別法) 處

15、收斂于 .由Dirichle證明：t引理，0()(0)limsin0,pf xuf xpuduu0()(0)limsin0,pf xuf xpuduu0( , )limsin0,pu xpuduu1( , )()()(0)(0) .2u xf xuf xuf xf x其中 22, 0,( )0 ,2 .xxf xxxx 將函數(shù) 展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)并討論其例2.2收斂性。2222000111( )()af x dxx dxx dx： 解22272,33 201( )cosdnaf xnx x222011cos()cosxnxdxxnxdx2320122sincosxxnxnxnnn2232122sincosxxnxnxnnn24( 1)1,nn22230122( )sin1 ( 1),nnbf xnxdxnnn 221223 4( )( 1)1cos221 ( 1)sinnnnf xnxn