二次函數(shù)七大綜合專題

1、二次函數(shù)七大綜合專題二次函數(shù)與三角形的綜合題函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題一般有三個(gè)解題途徑 求相似三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對(duì)應(yīng)邊分類討論。 或利用已知三角形中對(duì)應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來(lái)推導(dǎo)邊的大小。 若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來(lái)表示各邊的長(zhǎng)度，之后利用相似來(lái)列方程求解。如圖，已知拋物線與交于A(1，0)、E(3，0)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)B(0，3)。（1） 求拋物線的解析式；（2） 設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D，求四邊形AE

2、DB的面積；（3） AOB與DBE是否相似？如果相似，請(qǐng)給以證明；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由。（2016益陽(yáng)第21題）如圖，頂點(diǎn)為的拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，與軸交于點(diǎn)B（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）過(guò)B作OA的平行線交軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)，求證：OCDOAB；（3）在軸上找一點(diǎn)，使得PCD的周長(zhǎng)最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)考點(diǎn)：考查二次函數(shù)，三角形的全等、三角形的相似。解析：（1）拋物線頂點(diǎn)為， 設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式為， 將原點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）代入表達(dá)式，得 拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式為： （2）將 代入中，得B點(diǎn)坐標(biāo)為：， 設(shè)直線OA對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為， 將代入表達(dá)式中，得

3、， 直線OA對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為BDAO，設(shè)直線BD對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為，將B代入中，得 ，直線BD對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為由得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為，將代入中，得C點(diǎn)的坐標(biāo)為，由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD, 在OAB與OCD中， OABOCD（3）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，它使得PCD的周長(zhǎng)最小過(guò)點(diǎn)D作DQ，垂足為Q，則PODQ,即， 點(diǎn)的坐標(biāo)為二次函數(shù)與平行四邊形的綜合題例1：如圖，對(duì)稱軸為直線x=的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）和B（0，4）（1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角

4、線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？是否存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【專題】壓軸題【分析】（1）已知了拋物線的對(duì)稱軸解析式，可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)拋物線，然后將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可（2）平行四邊形的面積為三角形OEA面積的2倍，因此可根據(jù)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，用拋物線的解析式求出E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，那么E點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即為OAE的高，由此可根據(jù)三角形的面積公式得出AOE的面積與x的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)

5、而可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式將S=24代入S，x的函數(shù)關(guān)系式中求出x的值，即可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)和OE，OA的長(zhǎng)；如果平行四邊形OEAF是菱形，則需滿足平行四邊形相鄰兩邊的長(zhǎng)相等，據(jù)此可判斷出四邊形OEAF是否為菱形如果四邊形OEAF是正方形，那么三角形OEA應(yīng)該是等腰直角三角形，即E點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3）將其代入拋物線的解析式中即可判斷出是否存在符合條件的E點(diǎn)【解答】解：（1）因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是x=，設(shè)解析式為y=a（x）2+k把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得，解得a=，k=故拋物線解析式為y=（x）2，頂點(diǎn)為（，）（2）點(diǎn)E（x，y）在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合y=（x）2，y0，即y0，y

6、表示點(diǎn)E到OA的距離OA是OEAF的對(duì)角線，S=2SOAE=2××OA|y|=6y=4（x）2+25因?yàn)閽佄锞€與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（1，0）和（6，0），所以自變量x的取值范圍是1x6根據(jù)題意，當(dāng)S=24時(shí)，即4（x）2+25=24化簡(jiǎn)，得（x）2=解得x1=3，x2=4故所求的點(diǎn)E有兩個(gè)，分別為E1（3，4），E2（4，4），點(diǎn)E1（3，4）滿足OE=AE，所以平行四邊形OEAF是菱形；點(diǎn)E2（4，4）不滿足OE=AE，所以平行四邊形OEAF不是菱形；當(dāng)OAEF，且OA=EF時(shí)，平行四邊形OEAF是正方形，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)只能是（3，3），而坐標(biāo)為（3，3）的點(diǎn)不在拋物線上，

7、故不存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、平行四邊形的性質(zhì)、菱形和正方形的判定等知識(shí)綜合性強(qiáng)，難度適中（2016泰安第28題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9），與y軸交于點(diǎn)A（0，5），與x軸交于點(diǎn)E、B（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)A作AC平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)P在AC上方），作PD平行與y軸交AB于點(diǎn)D，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積；（3）若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在其對(duì)稱軸上，使得以A、E、N、M為

8、頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且AE為其一邊，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)【考點(diǎn)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)極值額確定方法，平行四邊形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式求極值【分析】（1）設(shè)出拋物線解析式，用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線AB解析式，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)（x，x2+4x+5），建立函數(shù)關(guān)系式S四邊形APCD=2x2+10x，根據(jù)二次函數(shù)求出極值；（3）先判斷出HMNAOE，求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x2）2+9，拋物線與y軸交于點(diǎn)A（0，5），4a+9=5，a=1，y=（x2）2+9=x2+4x+5

9、，（2）當(dāng)y=0時(shí)，x2+4x+5=0，x1=1，x2=5，E（1，0），B（5，0），設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，A（0，5），B（5，0），m=1，n=5，直線AB的解析式為y=x+5；設(shè)P（x，x2+4x+5），D（x，x+5），PD=x2+4x+5+x5=x2+5x，AC=4，S四邊形APCD=×AC×PD=2（x2+5x）=2x2+10x，當(dāng)x=時(shí)，S四邊形APCD最大=，（3）如圖，過(guò)M作MH垂直于對(duì)稱軸，垂足為H，MNAE，MN=AE，HMNAOE，HM=OE=1，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=3或x=1，當(dāng)x=1時(shí)，M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8，當(dāng)x=3時(shí)，M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8，M點(diǎn)

10、的坐標(biāo)為M1（1，8）或M2（3，8），A（0，5），E（1，0），直線AE解析式為y=5x+5，MNAE，MN的解析式為y=5x+b，點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸x=2上，N（2，10+b），AE2=OA2+0E2=26 MN=AE MN2=AE2，MN2=（21）2+8（10+b）2=1+（b+2）2 M點(diǎn)的坐標(biāo)為M1（1，8）或M2（3，8），點(diǎn)M1，M2關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上，M1N=M2N，1+（b+2）2=26，b=3，或b=7，10+b=13或10+b=3當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，8）時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，13），當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，8）時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），【點(diǎn)評(píng)】

11、此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)極值額確定方法，平行四邊形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式求極值與圖形的平移與旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)有關(guān)的綜合題（2016重慶第26題）如圖1，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=kx+b(k0)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,1），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)C是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M是一次函數(shù)y=kx+b(k0)的圖象與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為N，且SAMOS四邊形AONB=148。（1）求直線AB和直線BC的解析式；（2）點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn)，PD/x軸，射線PD與拋物線交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作PEx軸于

12、點(diǎn)E，PFBC于點(diǎn)F，當(dāng)PF與PE的乘積最大時(shí)，在線段AB上找一點(diǎn)H（不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合），使GH+BH的值最小，求點(diǎn)H的坐標(biāo)和GH+BH的最小值；（3）如圖2，直線AB上有一點(diǎn)K（3,4），將二次函數(shù)沿直線BC平移，平移的距離是t(t0)，平移后拋物線上點(diǎn)A，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A/，點(diǎn)C/；當(dāng)A/C/K是直角三角形時(shí)，求t的值。參考答案：（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)，AO=1。SAMOS四邊形AONB=148，SAMOSBMN=149。由AMOBMN可知，AOBN=17。BN=7。令y=7，則，解得x1=6，x2=-2。點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,7)。 （1分）將點(diǎn)A(0,1)，B

13、(6,7)代入y=kx+b中得，解得直線AB的解析式為y=x+1。（2分）點(diǎn)C是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,-1)。 （3分）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n(m0)，將點(diǎn)B(6,7)，C(2,-1)代入得，解得。直線BC的解析式為y=2x-5。（4分）（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a+1)。則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,a+1)。PE=a+1，PD=()-a=。設(shè)直線BC與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)Q，由PDFBQN可知，PF=。（5分）PE·PF=(a+1)·=。0<a<6，當(dāng)x=時(shí)，PE·PF有最大值。此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)。把y=代入二次函數(shù)中得，解得x1=-1

14、，x2=5。點(diǎn)G的坐標(biāo)為(5, )。 （6分）過(guò)點(diǎn)B作BRx軸交y軸于R，點(diǎn)H是線段AB上一點(diǎn)，作HJBR于點(diǎn)J，連接GH。JBH=AMO=45°，JH=BH，GH+BH=GH+HJ。當(dāng)點(diǎn)G，H，J三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，GH+BH的值最小。此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(5,6)， （7分）GH+BH的值最小為。 （8分）（3）過(guò)點(diǎn)A作ATBC，平移過(guò)程中AC=A/C/=，CC/=AA/=t。設(shè)點(diǎn)C/的坐標(biāo)為(,)則點(diǎn)A/的坐標(biāo)為(,)點(diǎn)K的坐標(biāo)為(3,4)A/K2=，C/K2=，(A/C/)2=8。當(dāng)A/C/為斜邊時(shí)，8=()+()解得t1=或t2=。 （10分）當(dāng)A/K為斜邊時(shí)，=8+()解得

15、t=。 （11分）當(dāng)C/K為斜邊時(shí)，=8+()解得t=0。 （12分）綜上所述，當(dāng)A/C/K是直角三角形時(shí)，t=或或或0。與直角三角形性質(zhì)有關(guān)的綜合題 （2016棗莊第25題）如圖，已知拋物線yax2bxc(a0)的對(duì)稱軸為直線x1，且經(jīng)過(guò)A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B.若直線ymxn經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；在拋物線的對(duì)稱軸x1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)第25題圖參考答案：解：（1）依題意，得解之，得拋物線解析式為 2分第25題圖 對(duì)稱

16、軸為x1，且拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），B（3，0）把B（3，0）、C（0，3）分別直線ymxn，得 解之，得 直線BC的解析式為 3分（2）MA=MB，MA+MC=MB+MC.使MA+MC最小的點(diǎn)M應(yīng)為直線BC與對(duì)稱軸x1的交點(diǎn). 設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x1的交點(diǎn)為M，把x1代入直線，得y2. M（1，2）6分 （3）設(shè)P（1，t），結(jié)合B（3，0），C（0， 3），得BC218， PB2(13)2t24t2， PC2(1)2(t3)2t26t10.若B為直角頂點(diǎn)，則BC2PB2PC2，即 184t2t26t10. 解之,得t2. 若C為直角頂點(diǎn)，則BC2PC2PB2，即 18t26t104t2解之

17、，得t4 若P為直角頂點(diǎn)，則PB2PC2BC2，即 4t2t26t1018解之，得t1，t2 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有四個(gè),分別為 (1，2), (1，4), (1，) ,(1，)10分與相似三角形性質(zhì)有關(guān)的綜合題（2016湖州）如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，1），點(diǎn)C（0，4），頂點(diǎn)為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作ABx軸，交y軸于點(diǎn)D，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，連結(jié)BC（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移m（m0）個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在ABC的內(nèi)部（不包括ABC的邊界），求m的取值范圍；（3）點(diǎn)P是直線A

18、C上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P，點(diǎn)C，點(diǎn)M所構(gòu)成的三角形與BCD相似，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過(guò)程）【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)【分析】（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出b、c的值，通過(guò)配方法得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M是沿著對(duì)稱軸直線x=1向下平移的，可先求出直線AC的解析式，將x=1代入求出點(diǎn)M在向下平移時(shí)與AC、AB相交時(shí)y的值，即可得到m的取值范圍；（3）由題意分析可得MCP=90°，則若PCM與BCD相似，則要進(jìn)行分類討論，分成PCMBDC或PCMCDB兩種，然后利用邊的對(duì)應(yīng)比值求出點(diǎn)坐標(biāo)【解答】解：（1）把點(diǎn)A（3，1），點(diǎn)

19、C（0，4）代入二次函數(shù)y=x2+bx+c得， 解得二次函數(shù)解析式為y=x2+2x+4，配方得y=（x1）2+5，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，5）；（2）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A（3，1），C（0，4）代入得， 解得直線AC的解析式為y=x+4，如圖所示，對(duì)稱軸直線x=1與ABC兩邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F把x=1代入直線AC解析式y(tǒng)=x+4解得y=3，則點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，1）15m3，解得2m4；（3）連接MC，作MGy軸并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N，則點(diǎn)G坐標(biāo)為（0，5）MG=1，GC=54=1MC=，把y=5代入y=x+4解得x=1，則點(diǎn)N坐標(biāo)為（1，5），NG=GC，GM=GC

20、，NCG=GCM=45°，NCM=90°，由此可知，若點(diǎn)P在AC上，則MCP=90°，則點(diǎn)D與點(diǎn)C必為相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)若有PCMBDC，則有BD=1，CD=3，CP=，CD=DA=3，DCA=45°，若點(diǎn)P在y軸右側(cè)，作PHy軸，PCH=45°，CP=PH=把x=代入y=x+4，解得y=，P1（）；同理可得，若點(diǎn)P在y軸左側(cè)，則把x=代入y=x+4，解得y=P2（）；若有PCMCDB，則有CP=3PH=3÷=3，若點(diǎn)P在y軸右側(cè)，把x=3代入y=x+4，解得y=1；若點(diǎn)P在y軸左側(cè)，把x=3代入y=x+4，解得y=7P3（3，1）；P

21、4（3，7）所有符合題意得點(diǎn)P坐標(biāo)有4個(gè)，分別為P1（），P2（），P3（3，1），P4（3，7）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)解析式及相似三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論三角形相似的不同情況，結(jié)合特殊角的使用來(lái)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)二次函數(shù)與圓的性質(zhì)有關(guān)的綜合題（2016巴中第31題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=mx2+4mx5m（m0）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），該拋物線的對(duì)稱軸與直線y=x相交于點(diǎn)E，與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)P在直線y=x上（不與原點(diǎn)重合），連接PD，過(guò)點(diǎn)P作PFPD交y軸于點(diǎn)F，連接DF（1）如圖所示，若拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，求拋物線的解析式；（2）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖所示，小紅在探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，PDF的大小為定值，進(jìn)而猜想：對(duì)于直線y=x上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)重合），PDF的大小為定值請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說(shuō)明理由【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）先提取公式因式將原式變形為y=m（x2+4x5），然后令y=0可求得函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后依據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得到拋物線的對(duì)稱軸為x=2，故此可知當(dāng)x=2時(shí)，y=6，于是可求得m的值；（2）由（1）的可知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（3）先由一次函數(shù)的解析式得到PBF的度數(shù)，然后再