《 圓的極坐標(biāo)方程》

1、1.3.1 圓的極坐標(biāo)方程 本文在學(xué)習(xí)極坐標(biāo)的基礎(chǔ)上來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，具體為教材：P12-P13。先學(xué)習(xí)體會(huì)極坐標(biāo)方程的定義（任意一點(diǎn)）；不同圓心的圓的極坐標(biāo)方程的求法和方程的表示；感受課本的遞進(jìn)研究方法。最后鞏固并復(fù)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中圓的方程的求法。 本節(jié)課的關(guān)鍵在于讓學(xué)生體會(huì)到極坐標(biāo)方程是涉及長(zhǎng)度與角度的問(wèn)題，列方程實(shí)質(zhì)是解直角或斜三角形問(wèn)題，要使用舊的三角知識(shí)。1.會(huì)求圓心不同的圓的極坐標(biāo)方程。2.體會(huì)圓的極坐標(biāo)方程的推出過(guò)程。3.類比直角坐標(biāo)系中求圓心不同的圓的方程，感受 極坐標(biāo)系中求曲線方程的方法。1.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C和方程f(x,y)=0滿足(1)曲線C

2、上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解(2)以方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C是方程 f(x,y)=0 的曲線。 3.圓的一般式方程：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 022(DE4F0)2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (x-a)2 + (y-b)2 =r24.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式:設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是 (x, y)，極坐標(biāo)是 (,)x=cos, y=sin222,tan(0)xyyxx5、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（其中：（其中：R為為ABC的外接圓半徑）的外接圓半徑）2222cosabcbcA6.余弦定理：222cos2

3、bcaAbc如圖，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為C(a,0)(a 0)你能用一個(gè)等式表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(, )滿足的條件嗎？xC(a,0)OA2 ,( , )cos2 cos .(1)(0,), (2 ,0)(1)2OAOAaMOAOMAMRt AMOOMOAMOAaOAa 圓經(jīng)過(guò)極點(diǎn) 。設(shè)圓與極軸的另一個(gè)交點(diǎn)是 ，那么設(shè)為圓上除點(diǎn) ， 以外的任意一點(diǎn)，那么。在中即 可以驗(yàn)證，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足等式解：的點(diǎn)都在這個(gè)圓上。等式，可以驗(yàn)證，坐標(biāo)適合滿足的條件，另一方面坐標(biāo)就是圓上任意一點(diǎn)的極所以，等式) 1 (),() 1 (的極坐標(biāo)方程。叫做曲線那么方程上，的點(diǎn)都在曲線并且坐標(biāo)適合方程一個(gè)滿足方程一點(diǎn)

4、的極坐標(biāo)中至少有上任意，如果平面曲線一般地，在極坐標(biāo)系中CfCffC0),(0),(0),(的圓的極坐標(biāo)方程。為半徑就是圓心在所以，aaaCa),0)(0 ,(cos2極坐標(biāo)方程：極坐標(biāo)方程：一、定義：一、定義：如果曲線上的點(diǎn)與方程如果曲線上的點(diǎn)與方程f( , )=0有如下關(guān)系有如下關(guān)系（）曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)（所有坐標(biāo)中至少有一個(gè)）（）曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)（所有坐標(biāo)中至少有一個(gè)） 符合方程符合方程f( , )=0;（）方程（）方程f( , )=0的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。則稱曲線的方程是則稱曲線的方程是f( , )=0 。二、求曲線的極坐標(biāo)方程到底是求什么？與直

5、角坐標(biāo)系里的情況一樣，求曲線的極坐標(biāo)方程就是找與直角坐標(biāo)系里的情況一樣，求曲線的極坐標(biāo)方程就是找出曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)出曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo) 與與 之間的關(guān)系，然后列出方程之間的關(guān)系，然后列出方程f( , )=0 ，再化簡(jiǎn)并說(shuō)明。，再化簡(jiǎn)并說(shuō)明。1.1.建極坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)建極坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M M ( ( , , ) )；2.2.找曲線上任一點(diǎn)滿足的幾何條件；找曲線上任一點(diǎn)滿足的幾何條件；3.3.把上面的幾何條件轉(zhuǎn)化為把上面的幾何條件轉(zhuǎn)化為 與與 關(guān)系關(guān)系4.4.化簡(jiǎn)，說(shuō)明化簡(jiǎn)，說(shuō)明三三. .求曲線極坐標(biāo)方程步驟：求曲線極坐標(biāo)方程步驟：5.5.極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程可以相互轉(zhuǎn)化極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程

6、可以相互轉(zhuǎn)化某些時(shí)候，用極坐標(biāo)方程解決比較方便，這是一個(gè)重要的解題某些時(shí)候，用極坐標(biāo)方程解決比較方便，這是一個(gè)重要的解題技巧技巧. .在極坐標(biāo)系中，當(dāng)研究的問(wèn)題用極坐標(biāo)方程難以決時(shí)，在極坐標(biāo)系中，當(dāng)研究的問(wèn)題用極坐標(biāo)方程難以決時(shí)，可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程求解可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程求解. .例1、已知圓O的半徑為r，建立怎樣的極坐標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)方程簡(jiǎn)單？xO rM簡(jiǎn)單。上比式合時(shí)的極坐標(biāo)方程在形顯然，使極點(diǎn)與圓心重即為圓上任意一點(diǎn)，則設(shè)都等于半徑何特征就是它們的極徑幾圖），那么圓上各點(diǎn)的為極軸建立坐標(biāo)系（如出發(fā)的一條射線為極點(diǎn)，從解：如果以圓心) 1 (,),(.rrOMMrOOOxMr=rO

7、xMa=2asinOAMC（a,0）=2acosr2asin (0) 2acos 例2.求圓心在(0，0)，半徑為r的圓的方程思路點(diǎn)撥結(jié)合圓的定義求其極坐標(biāo)方程OxMaOxMa=2asin( ) =-2asin=2acos( ) =-2acos 1.以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(1,1)為圓心，為圓心，1為半徑的圓的方程為半徑的圓的方程是（是（ ） .2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC2.求下列圓的極坐標(biāo)方程求下列圓的極坐標(biāo)方程()中心在極點(diǎn)，半徑為中心在極點(diǎn)，半徑為2；()中心在中心在(a,0)，半徑為，半徑為a；()中心在中心在(a, /2)，半徑為，半徑為a；(

8、)中心在中心在( 0, )，半徑為，半徑為r。 2 2acos 2asin 2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2已知一個(gè)圓的方程是5 3cos-5sin求圓心坐例3.標(biāo)和半徑。222225 3cos5sin5 3 cos5 sin5 355 35()()25225 35(,),522xyxyxy兩邊同乘以 得即化為直角坐標(biāo)為即所以圓心為解半徑是：3110(cossin)10cos(),226(5,),5,6解：原式可化為所以圓心為半徑為Oaaaa此圓過(guò)極點(diǎn)圓的極坐標(biāo)方程為半徑為圓心為)cos(2)0)(,(你可以用極坐標(biāo)方程直接來(lái)求嗎？你可以用極坐標(biāo)方程直接來(lái)求嗎？已知一個(gè)圓的方程

9、是5 3cos-5sin求圓心坐例3.標(biāo)和半徑。方程是什么？化為直角坐標(biāo)、曲線的極坐標(biāo)方程sin414)2(22 yx圓的圓心距是多少？的兩個(gè)和、極坐標(biāo)方程分別是sincos21cos( ,0)2sincos()cos()2212sin( ,),2 22解：圓 圓心的坐標(biāo)是圓圓 的圓心坐標(biāo)是所以圓心距是3cos()4、極坐標(biāo)方程所表示的曲線是( )A、雙曲線、雙曲線 B、橢圓、橢圓 C、拋物線、拋物線 D、圓、圓D為半徑的圓。為圓心，以解：該方程可以化為21)4,21()4cos(法一：法一：41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即

10、解：法二：法二：410cos()3、圓 的圓心坐標(biāo)是( )0 , 5( 、A)3, 5(、B)3, 5(、C)32, 5(、DC5(2,)2A、寫出圓心在點(diǎn)處且過(guò)極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程，并把它化成直角坐標(biāo)方程。222224cos()4sin ,24 sin ,4(2)4.xyyxy解： 化為直角坐標(biāo)系為即2126:2cos ,:2 3 sin20,CC、已知圓圓 試判斷兩圓的位置關(guān)系。所以兩圓相外切。半徑為，圓心半徑為圓心坐標(biāo)方程為解：將兩圓都化為直角21)3, 0(1)3(:1)0 , 1 (, 1) 1( :2122221221OOOyxCOyxC78cosOCONON、從極點(diǎn) 作圓 ： 的弦，求的中點(diǎn)的軌跡方程。ONMC(4,0)(4,0),4,4cos .CrOCCMMONCMONM如圖，圓 的圓心半徑連結(jié)，是弦的中點(diǎn), 所以，動(dòng)點(diǎn)