2013年高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題離散型隨機變量的期望與方差理

1、用心 愛心 專心 開鎖次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差 例有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能把大門上的鎖打開.用它們?nèi)ピ囬_門上 的鎖.設(shè)抽取鑰匙是相互獨立且等可能的. 每把鑰匙試開后不能放回. 求試開次數(shù) 的數(shù)學(xué)期 望和方差. 分析：求P（二k）時，由題知前k-1次沒打開，恰第 地方入手，如 =1,2,3，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，推廣到一般. 解：的可能取值為1 , 2, 3， 1 1 (1二 2 廠(1=k 2 n-k 1 n 所以的分布列為: 1 2 k n P 1 n 1 n 1 n 1 n E* =1 丄 2 1 3 n n n n 2 2 2 n +12 2 3 n ) -(n 1)(1 2 3 n

2、)( -) 2 說明：復(fù)雜問題的簡化處理，即從個數(shù)較小的看起，找出規(guī)律所在，進而推廣到一般， 方差的公式正確使用后，涉及一個數(shù)列求和問題，合理拆項，轉(zhuǎn)化成熟悉的公式，是解決的 關(guān)鍵. 次品個數(shù)的期望 例 某批數(shù)量較大的商品的次品率是 5%,從中任意地連續(xù)取出 10件，為所含次品的個數(shù), k次打開.不過，一般我們應(yīng)從簡單的 事 P(), P( =2)1 1 . n -1 n 1 n _1 丿 - o = n -1 n 2 n n -2 n -1 n 2 n3. n k 1 n -1 n2 n k 亠 2 1 1 n -k 1 (2 n 1)2 2 ) 丄（3_口）2丄亠 亠（k n 2 n 2

3、n1)2 (n n n 1)2 2 ) n(n 1)2 1n(n 1)(2n 1)- n6 2 n(n +1)2 l - = 4 n2 -1 12 用心 愛心 專心 求E . 分析：數(shù)量較大，意味著每次抽取時出現(xiàn)次品的概率都是 0.05, 可能取值是：0, 1 , 2， 10. 10次抽取看成10次獨立重復(fù)試驗，所以抽到次品數(shù) 服從二項分布，由公式E = np可 得解. 解：由題， B 10，0-05，所以 E =10 0.05 =0.5. 說明：隨機變量 的概率分布，是求其數(shù)學(xué)期望的關(guān)鍵因此 ，入手時，決定 取哪些值及 其相應(yīng)的概率，是重要的突破點此題 P（ =k）七；0（0.05（1 -0

4、.05）13,應(yīng)覺察到這是 B 10,0.05 . 根據(jù)分布列求期望和方差 例 設(shè)是一個離散型隨機變量，其分布列如下表，求 q值，并求E、D -1 0 1 P 1 2 1-2q 2 q 分析：根據(jù)分布列的兩個 性質(zhì)，先確定q的值，當分布列確定時， E、D 只須按定義代公 式即可. 解：離散型隨機變量的分布滿足 （）P -0,i 72,3, （2）P +P2+P3 +=1. 1 2 _+1_2q +q =1, 2 *0 蘭12q 1, 所以有 q2 /2 2 2 .E =（1） - 0 C- 2 -1） 1 - - . 2 2 12 丿 一-? 一2 =1 .2 2 2 D 可 _1 一（1 一

5、 . 2）2 1 （1 - ：2）2 （、2 一1） 1 一（1 一 .、2）2 - . 2 2 12 丿 =（、2 -2）2 1 （、2 -1）3 2 - . 2 2 12 丿 =3 -2、2 2、2 -6 32 -1 3 -2.2 = . 2 -1. 小結(jié)：解題時不能忽視條件P（ =ki） = P時，0 -p-1, i，2，否則取了 q J 的值后，辛辛苦苦計算得到的是兩個毫無用處的計算. 產(chǎn)品中次品數(shù)分布列與期望值 例 一批產(chǎn)品共100件，其中 有10件是次品，為了檢驗其質(zhì)量，從中以隨機的方式選取 5 件，求在抽取的這 5件產(chǎn)品中次品數(shù)分布列與期望值，并說明 5件中有3件以上（包括3件）

6、 為次品的概率.（精確到0. 001） 分析：根據(jù)題意確定隨機變量及其取值，對于次品在 3件以上的概率是 3, 4, 5三種情況的 和. 解：抽取的次品數(shù)是一個隨機變量，設(shè)為 ，顯然 可以取從0到5的6個整數(shù). 抽樣中，如果恰巧有k個（k二。，1,2,3,4,5 ）次品，則其概率為 按照這個公式計算，并要求精確到 0 . 001，則有 P( =0)=0.583, P( =1)=0.340, P( =3) =0.07, P ( =4)=0, 故的分布列為 0 1 2 3 4 5 P 0.583 0.340 0.070 0.007 0 0 P （二k） 5丄 90 5 100 P( =2)=0.0

7、70, P ( =5)=0. 用心 愛心 專心 E =0 0.583 1 0.340 2 0.070 3 0.007 4 0 5 0 =0.501. 由分布列可知, P ( _ 3) =0.007 0 0, P ( _3) =0.007. 這就是說，所抽取的 5件品中3件以上為次品的可能性很小，只有 7%. 評定兩保護區(qū)的管理水平 例 甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境， 且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等. 兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別為： 甲保護區(qū)： 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 乙保護區(qū): 匕 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4

8、 試評定這兩個 保護區(qū)的管理水平. 分析：一是要比較一下甲、乙兩個保護區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)事件的次數(shù)的均值，即數(shù)學(xué)期 望；二是要看發(fā)生違規(guī)事件次數(shù)的波動情況，即方差值的大小. (當然，亦可計算其標準差, 同樣說明道理.) 解：甲保護區(qū)的違規(guī)次數(shù) 1的數(shù)學(xué)期望和方差為： E 0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2 =1.3; . Q Q Q Q D i=(01.3) 0.3 (11.3) 0.3 (2 -1.3) 0.2 (3 1.3) 0.2 = 1.21; 產(chǎn) 乙保護區(qū)的違規(guī)次數(shù) 2的數(shù)學(xué)期望和方差為： E 2 =0 0.1 1 0.5 2 0.4 =1.3; v 2 2 2 D2=

9、(01.3) 0.1 (11.3) 0.5 (2 -1.3) 0.4=0.41 ； 因為E 1 = E 2,D 1 D 2，所以兩個保護區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)平均次數(shù)是相同的，但乙 保護區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動. (標準差匚1D 1二1.1 2 = D 2 ”0.64這兩個值在科學(xué)計算器上容易獲得，顯然， 說明：數(shù)學(xué)期望僅體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小，但有時僅知道均值大小還是不夠的，比 如：兩個隨機變量的均值相等了(即數(shù)學(xué)期望值相等 ),這就還需要知道隨機變量的取值如何 在均值周期變化，即計算其方差(或是標準差) 方差大說明隨機變量取值分散性大；方差

10、小 說明取值分散性小或者說取值比較集中、穩(wěn)定. 用心 愛心 專心 射擊練習(xí)中耗用子彈數(shù)的分布列、期望及方差 例 某射手進行射擊練習(xí)，每射擊 5發(fā)子彈算一組，一旦命中就停止射擊，并進入下一組的 練習(xí)，否則一直打完 5發(fā)子彈后才能進入下一組練習(xí)，若該射手在某組練習(xí)中射擊命中一次， 蘆 產(chǎn) 并且已知他射擊一次的命中率為 0.8，求在這一組練習(xí)中耗用子彈數(shù) 的分布列，并求出 的 期望E與方差D (保留兩位小數(shù)). 分析：根據(jù)隨機變量不同的取值確定對應(yīng)的概率，在利用期望和方差的定義求解. 解： 該組練習(xí)耗用的子彈數(shù) 為隨機變量， 可以取值為1, 2, 3, 4 , 5. =1，表示一發(fā)即中，故概率為 P

11、 ( =1)=0.8; 產(chǎn) 一 =2，表示第一發(fā)未中，第二發(fā)命中，故 P(2) =(1-0.8) 0.8 =0.2 0.8=0.16; =3，表示第一、二發(fā)未中，第三發(fā)命中，故 P( =3)=(1 -0.8)2 0.8 =0.22 0.8 =0.032; =4，表示第一、二、三發(fā)未中，第四發(fā)命中，故 P( =4)=(1 -0.8)3 0.8 =0.23 0.8 =0.0064 =5，表示第五發(fā)命中，故 4 4 P(二5)=(1-0.8) 1=0.2 -0.0016. 因此，的分布列為 匕 1 2 3 4 5 P 0.8 0.16 0.032 0.0064 0.0016 E =1 0.8 2 0

12、.16 3 0.032 4 0.0064 5 0.0016 = 0.8 0.32 0.096 0.0256 0.008 =1.25, D =(1 -1.25)2 0.8 - (2 -1.25)2 0.16 (3 -1.25)2 0.032 (4 -1.25)2 0.0064 (5 -1.25)2 0.0016 -0.05 0.09 0.098 0.0484 0.0225 = 0.31. 說明：解決這類問題首先要確定隨機變量的所有可能取值，然后再根據(jù)概率的知識求解對應(yīng) 的概率. 用心 愛心 專心 準備禮品的個數(shù)用心 愛心 專心 例 某尋呼臺共有客戶 3000人，若尋呼臺準備了 100份小禮品，邀請客戶在指定時間來領(lǐng) 取假設(shè)任一客戶去領(lǐng)獎的概率為 4%問：尋呼臺能否向每一位顧客都發(fā)出獎邀請？若能使 每一位領(lǐng)獎人都得到禮品，尋呼臺至少應(yīng)準備多少禮品？ 產(chǎn) 上 分析：可能來多少人，是一個隨機變量 而 顯然是服從二項分布的，用數(shù)學(xué)期望來反映平 均來領(lǐng)獎人數(shù)，即能說明是否可行. P（二k） 乂爲如（1 -0.04）30000丄 E =300