利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值習(xí)題

1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例求下列函數(shù)的極值:1.f(x)x312x；2.f(x)x2ex；3.f(x)-x-2.x1分析：按照求極值的基本方法，首先從方程f(x)0求出在函數(shù)f(x)定義域內(nèi)所有可能的極值點(diǎn)，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點(diǎn)處是否取得極值.解：1.函數(shù)定義域?yàn)镽.f(x)3x2123(x2)(x2).令f(x)0,得x2.當(dāng)x2或x2時(shí)，f(x)0,函數(shù)在，2和2,上是增函數(shù)；當(dāng)2x2時(shí)，f(x)0,函數(shù)在(一2,2)上是減函數(shù).，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)有極大值f(2)16,當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)有極小值f(2)16.2 .函數(shù)定義域?yàn)镽.f(x)2xexx2exx(2x)ex令f(x)0,得x

2、0或x2.當(dāng)x0或x2時(shí)，f(x)0, 函數(shù)f(x)在，0和2,上是減函數(shù)；當(dāng)0x2時(shí)，f(x)0, 函數(shù)f(x)在(0,2)上是增函數(shù). 當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)取得極小值f(0)0,當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)取得極大值f(2)4e2.3 .函數(shù)的定義域?yàn)镽.令f(x)0,得x1.當(dāng)x1或x1時(shí)，f(x)0,函數(shù)f(x)在，1和1,上是減函數(shù);當(dāng)1x1時(shí)，f(x)0,，函數(shù)f(x)在(1,1)上是增函數(shù).，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)3,當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(1)1.說(shuō)明：思維的周密性是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，在解題過(guò)程中，要全面、系統(tǒng)地考慮問(wèn)題，注意各種條件綜合運(yùn)用，方可實(shí)現(xiàn)解題的正確性.解答本題時(shí)應(yīng)注意f(

3、x0)0只是函數(shù)f(x)在x(o處有極值的必要條件，如果再加之x0附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，才能斷定函數(shù)在x0處取得極值.反映在解題上，錯(cuò)誤判斷極值點(diǎn)或漏掉極值點(diǎn)是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤.復(fù)雜函數(shù)的極值例求下列函數(shù)的極值：1.f(x)Vx2(x5)；2.f(x)x2x6.分析：利用求導(dǎo)的方法，先確定可能取到極值的點(diǎn)，然后依據(jù)極值的定義判定.在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)尋求可能取到極值的“可疑點(diǎn)”，除了確定其導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)外，還必須確定函數(shù)定義域內(nèi)所有不可導(dǎo)的點(diǎn).這兩類(lèi)5(x 2)33 x點(diǎn)就是函數(shù)f(x)在定義內(nèi)可能取到極值的全部“可疑點(diǎn)”.解：1.f(x);(x5)3x22(x?3x33x33x令f(x)0

4、,解得x2,但x0也可能是極值點(diǎn).當(dāng)x0或x2時(shí)，f(x)0, 函數(shù)f(x)在,0和2,上是增函數(shù);當(dāng)0x2時(shí)，f(x)0, 函數(shù)f(x)在(0,2)上是減函數(shù). 當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)取得極大值f(0)0,當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)取得極小值f(2)3V4.2x2. f(x) 2xx 6, (x2或x3),x 6,( 2 x 3),.2x1,(x2或x3),.f(x)2x1,(2x3),不存在，(x2或x3).人，L1令f(x)0,得x1.2一1人當(dāng)x2或萬(wàn)x3時(shí)，f(x)0,1 函數(shù)f(x)在，2和3上是減函數(shù)；2 一一1當(dāng)x3或2x萬(wàn)時(shí)，f(x)0,1 函數(shù)f(x)在3,和2,-上是增函數(shù).2 當(dāng)x2和x3

5、時(shí)，函數(shù)f(x)有極小值0,1 25當(dāng)x時(shí)，函數(shù)有極大值24說(shuō)明：在確定極值時(shí)，只討論滿(mǎn)足f(x0)0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化情況，確定極值是不全面的.在函數(shù)定義域內(nèi)不可導(dǎo)的點(diǎn)處也可能存在極值.本題1中x0處，2中x2及x3處函數(shù)都不可導(dǎo)，但f(x)在這些點(diǎn)處左右兩側(cè)異號(hào)，根據(jù)極值的判定方法，函數(shù)f(x)在這些點(diǎn)處仍取得極值.從定義分析，極值與可導(dǎo)無(wú)關(guān).根據(jù)函數(shù)的極值確定參數(shù)的值例已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1時(shí)取得極值，且f(1)1.1 .試求常數(shù)a、b、c的值；2 .試判斷x1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說(shuō)明理由.分析：考察函數(shù)f(x)是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極

6、值點(diǎn)，再通過(guò)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點(diǎn)必為f(x)0的根建立起由極值點(diǎn)x1所確定的相關(guān)等式，運(yùn)用待定系數(shù)法求出參數(shù)a、b、c的值.解：1.解法一：f(x)3ax22bxc.x1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，x1是方程f(x)0,即3ax22bxc0的兩根，1,(3)由根與系數(shù)的關(guān)系，得又f(1)1,abc,13由(1)、(2)、(3)解得a，b0,c3.22解法二：由f(1)f(1)0得3a 2b c 0, 3a 2b c 0又 f (1)1 , a(1)(2)b c 1,(3).一,一 13解(1)、(2)、(3)得 a -,b 0,c .221 333 2332. f (x)-x-x, . f

7、 (x)-x一一(x 1)(x 1).22222當(dāng) x 1或 x 1 時(shí)，f (x) 0,當(dāng) 1 x 1時(shí)，f (x) 0. 函數(shù)f (x)在1和1, 上是增函數(shù)，在(1,1)上是減函數(shù).當(dāng)x 1時(shí)，函數(shù)取得極大值 f ( 1) 1 ,當(dāng)x 1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)1 .說(shuō)明：解題的成功要靠正確思路的選擇.實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化， 使抽象的問(wèn)題具體化，本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向聯(lián)想,在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中充分運(yùn)用了已知條件確定了解題的大方向.合理地 可見(jiàn)出路在于“思想認(rèn)識(shí)” .在求導(dǎo)之后，不會(huì)應(yīng)用f ( 1) 0的隱含條件，因而造成了解決問(wèn)題的最大思維障礙.高三第三章導(dǎo)數(shù)-函數(shù)的極值

8、練習(xí)題一、選擇題(本大題共 6小題，每小題3分，共18分)1.下列說(shuō)法正確的是A.當(dāng)f (x0)=0時(shí)，則f(xO)為f(x)的極大值B.當(dāng)f (x0)=0時(shí),則f(xO)為f(x)的極小值C.當(dāng)f (x0)=0時(shí),則f(x。)為f(x)的極值D.當(dāng)f(x0)為函數(shù)f(x)的極值且f1 (x0)存在時(shí),則有f (x0)=02.下列四個(gè)函數(shù)，在 x=0處取得極值的函數(shù)是 y=x3 y=x2+1 y=|x| y=2xA.B.C.D.3.函數(shù)6xy= 6xy的極大值為1 x2A.3B.4C.2D.54.函數(shù)y=x3 3x的極大值為m,極小值為n,則m+n為A.0B.1C.2D.45.y=ln2x+2

9、lnx+2的極小值為A.e 1B.0C.-1D.16.y=2x3-3x2+a的極大值為6,那么a等于A(yíng).6B.0C.5D.1二、填空題(本大題共 5小題，每小題3分，共15分)7.函數(shù)f(x)=x33x2+7的極大值為.8 .曲線(xiàn)y=3x55x3共有個(gè)極值.9 .函數(shù)y=-x3+48x-3的極大值為;極小值為.10 .函數(shù)f(x)=x3X3的極大值是，極小值是211 .若函數(shù)y=x3+ax2+bx+27在x=-1時(shí)有極大值，在x=3時(shí)有極小值，則a=,b=.三、解答題(本大題共3小題，每小題9分，共27分)12 .已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,當(dāng)x=1時(shí)，取得極大值7;當(dāng)x=3時(shí)，

10、取得極小值.求這個(gè)極小值及a、b、c的值.13 .函數(shù)f(x)=x+亙+b有極小值2,求a、b應(yīng)滿(mǎn)足的條件.x14 .設(shè)y=f(x)為三次函數(shù)，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)的極小值為一1,求函數(shù)的解析式.2函數(shù)的極值,.1.D2.B3.A4.A5.D6.A11.-3 - 97.78.兩9.125-13110.012.解:f(x)=3x2+2ax+b.據(jù)題意，一1,3是方程3x2+2ax+b=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得2a31.a=3,b=9,1.f(x)=x33x29x+cb3,.f(-1)=7,.,.c=2,極小值f(3)=333X329X3+2=25，極小值為一25,a=-3,b=-9,c=2.13 .解:f (x)=2x a2-x由題意可知f(x)=0有實(shí)