第十九講一階微分方程、可降階微分方程的練習(xí)題答案

1、第十二講：空間解析幾何的訓(xùn)練題答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共24分）1平面與平面相互垂直，則K= （C）A1 B2 C-1 D-2解： ， ， =0 2過軸和點(diǎn)的平面方程是（B）A B C D解：過軸又即3過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是 （D）ABCD解： 4空間直線與平面的位置關(guān)系是 （B）A 相互垂直 B 相互平行，但直線不在平面上 C 既不平行，也不垂直 D 直線在平面上解：（1） 故或，即(2)上點(diǎn)代入:,直線不在平面上5方程表示的二次曲線是（B）A 球面 B 旋轉(zhuǎn)拋物線C 圓錐面 D 圓柱面解：這是面上，拋物線繞Z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)拋物面即6在空間直角坐標(biāo)系中，方程組代表的圖形是 （A）

2、A圓 B圓柱面 C拋物線 D直線解：這是旋轉(zhuǎn)拋物面與平行于面的平面的交線是一個(gè)圓二、 填空題（每小題4分，共24分）7平面的截距式方程是 解：即8直線與直線的夾角是 解：9已知兩平面相互平行，則 ， 解：10過點(diǎn)且垂直與平面的直線方程為 解：點(diǎn)10平面與平面之間的距離d= 解：12在空間直角坐標(biāo)系中 ，方程表示的曲面是 解：.兩個(gè)相交平面三、計(jì)算題（每小題8分，共64分）13求過點(diǎn)且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)及的線段垂直的平面方程解：（1）法向量（2）平面的點(diǎn)法式方程點(diǎn)，法向量即14過點(diǎn)和且與向量平行的平面方程解：（1）依叉乘的定義知且故?。?）點(diǎn)法式平面方程：即15 求過點(diǎn)且垂直于平面和的平面方程解：（

3、1）?。?）點(diǎn)法式平面方程即16求通過點(diǎn)且平行于直線的直線方程解：（2）所求直線方程17化直線方程為標(biāo)準(zhǔn)式直線方程解：（1）求,（2）求直線上一個(gè)點(diǎn)令， 得 代入得 （3）標(biāo)準(zhǔn)式直線方程18確定直線：和平面的位置關(guān)系解：（1）設(shè)為直線和平面的交角故（2）直線上點(diǎn)代入平面方程故直線不在平面上19指出下列曲面那些是旋轉(zhuǎn)曲面？如果是旋轉(zhuǎn)曲面，說明他是如何產(chǎn)生的？（1）（2）（3）（4）解：若中有兩個(gè)系數(shù)相同時(shí)，則為旋轉(zhuǎn)曲面在（2）中，系數(shù)相同故選 上雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)即旋轉(zhuǎn)雙曲面20指出下列各方程在平面解析幾何和空間解析幾何分別表示什么圖形？（1） （2） （3） 解：（1）在平面解析幾何表示：圓；在空

4、間解析幾何表示：圓柱面（2）在平面解析幾何表示：雙曲線；在空間解析幾何表示：雙曲柱面（3）在平面解析幾何表示：一條直線；在空間解析幾何表示：平面四、 證明題（本題8分）21 證明兩平面之間的距離d：證：（1）在平面取一點(diǎn)（2）利用點(diǎn)到平面的距離公式（3）點(diǎn)到:的距離五、綜合題（每題10分，共30分）22設(shè)一平面通過Z軸，且與平面：的夾角為，求此平面方程解：（1）平面過軸（2）即解得或（3）所求平面的方程或23求過點(diǎn)（1，2，1）且與和平行的平面方程解：（1）（2）（3）（4）點(diǎn)法式平面方程24 設(shè)直線問A，B取何值時(shí)，才能使直線L同時(shí)平行于平面和平面解：（1）已知L的方向向量（2）設(shè)=（3）故

5、有從而解得第十三講：多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的練習(xí)題答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共24分）1 設(shè)則= （A）A BC D解： 2 = （D）A 0 B 1 C D 解：在點(diǎn)（1，0）連續(xù)3設(shè)在點(diǎn)處有偏導(dǎo)數(shù)存在，則=（D）A 0 BC D解：原式=4偏導(dǎo)數(shù)存在是可微的 （B）A充分條件 B必要條件C充分必要條件 D無關(guān)條件 解：若可微，則存在，反之成立，故偏導(dǎo)數(shù)存在是可微必要條件5函數(shù)在點(diǎn)（1，1）的全微=（C）A BC D解：在（1，1）6已知且，則= （A）A 2 BC D解：（1）（2）（3）二、填空題（每小題4分，共24分）7 的定義域是 解： 定義域8設(shè)則= 解：（1）（2）9 設(shè)

6、則= 解： 10設(shè)，可微，則= 解：11在點(diǎn)（1，1）處，當(dāng)，時(shí)的全微分是 解：當(dāng)時(shí)，其微分=12設(shè)，可微，則= 解：三、計(jì)算題（每小題8分，共64分）13已知，若時(shí)，求，解：（1）故有（2）（3）14求在點(diǎn)（1，0）處的一階偏導(dǎo)數(shù)，全微分解：（1）故有（2）故（3）15設(shè)，求，解：（1）（2）16設(shè)，求，解：（1）（2）（3）17 設(shè)，可微，求解法（1）：解法（2）：18設(shè)，其中有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：（1）（2）19設(shè) ，其中，都有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：（1）（2）20 設(shè) ，有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：（1）（2）四、綜合題（每題10分，共20分）21若可微函數(shù)滿足，計(jì)算解：原式注：另法：

7、原式22 設(shè) 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：（1）（2）+=五、證明題（每小題9分，共18分）23設(shè) 其中可微，證明證明：（1）（2）（3）24設(shè)，證明 解：（1）（2）由輪換對(duì)稱性知, （3）故有選做題 證明 滿足=0證： ，故有第十四講：隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)求法及偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的練習(xí)題答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共24分）1設(shè)則是的 （C）A 極小值點(diǎn) B 極大值點(diǎn)C 駐點(diǎn) D最大值點(diǎn)解：使同時(shí)成立的點(diǎn)，稱為的駐點(diǎn)2函數(shù)的駐點(diǎn)是 （A）A （1，-1） B （-1，-1） C （1，1） D （-1，1）解：令，得又令得的駐點(diǎn)3下列命題正確的是 （C）A 函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)B 函數(shù)的駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)

8、C 可微函數(shù)的極值點(diǎn)一定是的駐點(diǎn)D可微函數(shù)的駐點(diǎn)一定是的極值點(diǎn)解： 可微，函數(shù)極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn) 選C4函數(shù)在點(diǎn)可微是在的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，和存在的 （A）A 充分條件 B 必要條件C 充分必要條件 D 無關(guān)條件解：可微偏導(dǎo)數(shù)存在，反之不成立可微是偏導(dǎo)數(shù)存在的充分條件（注不是充分必要條件）5設(shè)點(diǎn)為的駐點(diǎn)，且有，則極大值點(diǎn)充分條件是（D）A BC D解：當(dāng)時(shí)有極值，極小值，極大值。即6設(shè)z=f(x,y)由方程 所確定的隱函數(shù)，則=（）A BC D解：(公式法)令, , 選C二、填空題（每小題4分，共24分）7函數(shù)的極大值為 解：（1）駐點(diǎn)（2）V有極值有極大值8設(shè)在點(diǎn)（1，1，）取得極值，則 解：又，即

9、，9方程確定則= 解：令（2），（3）10設(shè)則= 解：方程兩邊全微分：,故11方程確定，則= 解：令12方程確定，則= 解：（1）（2）在（0，1）處：即（3）三、計(jì)算題（每小題8分，共64分）13設(shè)方程確定 求解：（1）令（2）14設(shè) 由方程所確定，求，解：（1），（2）15設(shè)方程確定，求，解：令（2）16設(shè)方程確定，求解：（1）（2）（3）17 已知點(diǎn)（5，2）是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值解：（1）故（2）故18求的極值解：（1）求駐點(diǎn)，駐點(diǎn)（2，-2）（2）判斷極值點(diǎn)：V有極值。（2，-2）為極大值點(diǎn)（3）極大值19求在條件下的極值解：（1）化為無條件極值一元函數(shù)的極值（2）， 極小值注：代入

10、約束條件得駐點(diǎn)。由實(shí)際問題知極大值20函數(shù)z=z(x,y),由方程F(xy,z)=x所確定，其中F(0,0)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，求解：令G=F(xy,z)-x, , ，四、證明題（本題8分）21設(shè)都是由方程所確定的所有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，證明解：（1）注：是一個(gè)完整符號(hào)，不能認(rèn)為是和的商五、綜合題（每小題10分，共30分）22 設(shè)方程確定，求解：（1）求（用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法）（兩邊對(duì)X對(duì)導(dǎo)，）解，=（注：與15題結(jié)果一樣）（2）求，=23求的極值解：（1）求駐點(diǎn)： 由 代入得解得或者駐點(diǎn)（0，0）或（1，）（2）判斷極值點(diǎn)： 在（0，0）點(diǎn)處：無極值在（1，）處：有極值且 （1，）為極小值點(diǎn)（3）極

11、小值24 把一個(gè)正數(shù)a分成3個(gè)正數(shù)之和，并且使他們的乘積最大，求這3個(gè)正數(shù)解：設(shè)a的三個(gè)正數(shù)分別為依題意：目標(biāo)函數(shù) 約束條件：（1） 化為無條件極值 （2） - ：代入得 ，（，）為駐點(diǎn)（3）判斷極值點(diǎn)：，在點(diǎn)（，）處有極值，且 有極大值 由單峰原理有最大值答第十五講、第十六講：二重積分的概念、計(jì)算及其應(yīng)用的練習(xí)題答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共24分）1在平面有界且有面積的閉區(qū)域D上連續(xù)是二重積分存在的 （ B）A 必要條件 B充分條件C 充分必要條件 D無關(guān)條件解：若在D上連續(xù)，則存在，反之不成立，故選B2在平面閉區(qū)域D上有界是二重積分存在的（ A ）A 必要條件 B充分條件C 充分必要

12、條件 D無關(guān)條件解：若存在，則在D有界，反之不成立，故選A3設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則 （ A ）A.B.C.D.解：交換二次積分次序原式 選A4設(shè)則在極坐標(biāo)系下= （ D ）A B.C D.解：采用極坐標(biāo)定限原式 選D5設(shè)則= （ C ）A BC D解：（1）畫出D的示意圖（2）原式6設(shè)D：=（B）A0 B. C D解：（1）畫出積分區(qū)域D（2）原式（D關(guān)于y軸對(duì)稱，關(guān)于x軸為奇函數(shù)）原式 選B二、填空題（每小題4分，共24分）7設(shè)若，則 解：由二重積分幾何意義知上半球體積 8若D：，則 解：（1）畫出積分區(qū)域D（2）原式9設(shè)D：則 解：（1）畫出D（2）D關(guān)于y軸對(duì)稱，且關(guān)于x為奇函數(shù)原式010設(shè)D

13、為，則 解：（1）畫出D（2）原式11設(shè)則 解：原式12交換積分次序后， 解：（1）畫出積分區(qū)域D（2）交換二次積分次序：原式I=三、計(jì)算題（每小題8分，共64分）13計(jì)算，其中D由所圍閉區(qū)域解：（1）畫出積分區(qū)域D（2）選擇積分次序：為了不分片先對(duì)y分積分，后對(duì)x積分原式=14計(jì)算，D由所圍閉區(qū)域解：（1）畫出積分區(qū)域D（2）為了不分片先對(duì)分積分，后對(duì)y積分原式15交換積分次序解：（1）畫出（2）交換積分次序I16計(jì)算解：（1）畫出積分域D（2）交換積分次序I 17計(jì)算解：（1）畫出積分區(qū)域D（2）改用極坐標(biāo)定限，計(jì)算18計(jì)算解：（1）畫出（2）改用極坐標(biāo)定限，計(jì)算19計(jì)算，其中D由，所圍閉

14、區(qū)域解：（1）畫出積分區(qū)域D（2）D關(guān)于y軸對(duì)稱，關(guān)于x為偶函數(shù)。20計(jì)算解：（1）畫出積分區(qū)域D（2）D關(guān)于軸對(duì)稱，y關(guān)于y為奇函數(shù)四、綜合題（每小題10分，共20分）21計(jì)算解：（1）畫出積分區(qū)域（2）交換積分次序（3）計(jì)算二次積分22由圓及直線所圍成第一象限的薄板，其密度，求該薄板的質(zhì)量解：（1）畫出平面圖形（2）設(shè)該薄板質(zhì)量為M五、證明題 (每小題9分，共18分)23證明證：畫出左式積分區(qū)域D右式24設(shè)為連續(xù)函數(shù)且，其中D：所圍閉區(qū)域，證明：解：(1)畫出積分區(qū)域D(2)二重積分是一個(gè)確定常數(shù)(3)A移項(xiàng)得 A 故第十七講：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的練習(xí)題答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共24

15、分）1若則常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（ D ） A發(fā)散 B.條件收斂C絕對(duì)收斂 D .不一定收斂解：，但發(fā)散；，但收斂 選D2設(shè)收斂，則下列級(jí)數(shù)一定收斂的是（ B ）A B.C D解：2008由性質(zhì)收斂3下列級(jí)數(shù)中一定收斂的是( A )A BC D解： ，取，且收斂，由比較法收斂4下列級(jí)數(shù)條件收斂的是（ C ）A BC D解：（1）發(fā)散（）（2）為萊布尼茲級(jí)數(shù)收斂，選C5級(jí)數(shù) （k>0）（ B ）A發(fā)散 B絕對(duì)收斂C條件收斂 D斂散性與K相關(guān)解：取且收斂，故選B6設(shè)正項(xiàng)極數(shù)則（D）A.當(dāng)0<p<+時(shí)，級(jí)數(shù)收斂B.當(dāng)p<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，p1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散C.當(dāng)p1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，p>1時(shí)級(jí)數(shù)

16、發(fā)散D.當(dāng)p<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，p>1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散解：當(dāng)P<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)P>1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)P1時(shí)失效。故選D二、填空題（每小題4分，共24分）7若則常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一定是 （發(fā)散）解：若收斂，則。由逆否命題知：若則發(fā)散8當(dāng)收斂時(shí)，則P>4解：由p一級(jí)數(shù)的斂散性知，當(dāng)P3 >1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，故P>49級(jí)數(shù)的前9項(xiàng)的和解:10的和S=解：11若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則r的取值范圍是 1<r< 1 解：收斂，當(dāng)時(shí)收斂12若收斂（a>0），則a的取值范圍是 解：三、計(jì)算題（每小題8分，共64分）13判別的斂散性解： =取且收斂由比較法的極限形式知也

17、收斂14判別的斂散性解：（1）當(dāng)時(shí)，(2) 1，且收斂（p=2>1）由比較法的極限形式知，也收斂15判別的斂散性解法：（1）這是正項(xiàng)級(jí)數(shù) <且，收斂 由比較法非極限形式知收斂解法（2）收斂，收斂由性質(zhì)知也收斂16判別解：這是正項(xiàng)級(jí)數(shù)<1由此值判別法知也收斂17判別解：（1）這是正項(xiàng)級(jí)數(shù)且含有,用比值法（2）由比值法知收斂18判別解：（1） ?。?）判別的收斂性<1收斂（3）綜合（1）（2）有收斂，故原級(jí)數(shù)收斂19判別，若收斂，是絕對(duì)收斂或條件收斂解：（1）這是任意項(xiàng)極數(shù)（2）（）且收斂收斂故絕對(duì)收斂20，若收斂，是絕對(duì)收斂或條件收斂解：（1）1且發(fā)散 發(fā)散為交錯(cuò)級(jí)數(shù)令（

18、）即有>故原級(jí)數(shù)條件收斂四、綜合題（每小題10分，共20分）21討論級(jí)數(shù)在0<a<1;a=1;a>1三種條件下的斂散性解：（1）當(dāng)0<a<1時(shí)， 1級(jí)數(shù)發(fā)散（2）當(dāng)a1時(shí)（3）當(dāng)時(shí)由比較法也收斂22討論級(jí)數(shù)在0<a<1;a=1;a>1三種條件下的斂散性解：（1）當(dāng)0<a<1時(shí)且收斂（p=2>1）由比較法知也收斂（2）當(dāng)a=1時(shí)，收斂（p2>1）（3）當(dāng)a>1時(shí)， 由此值判別法知發(fā)散 綜合：當(dāng)收斂，當(dāng)發(fā)散五、證明題（每小題9分，共18分）23若正項(xiàng)極數(shù)收斂，證明：也收斂（反之不成立）證明：（1）收斂當(dāng)n充分大時(shí)，

19、有：0<<1故有（n充分大時(shí)）（2）且收斂由比較法也收斂注：反之不成立如收斂但發(fā)散24若收斂，收斂，證明：也收斂證：（1）（2）且由此比較法知也收斂 即也收斂選作題：設(shè) >0 收斂，且存在。證明0（提示：用反證法）證：反證法：設(shè)且存在又發(fā)散，由此比較法的極限形式知：也發(fā)散 這與的題設(shè)矛盾故有0第十八講：冪級(jí)數(shù)收斂域把函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)的練習(xí)題參考答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共24分）1若收斂半徑為， 的收斂半徑為（<）則的收斂半徑為（ D）A、 B、 C、 D解：的收斂半徑是收斂半徑為， 的收斂半徑為中較小的 即2若在收斂，則在內(nèi)，（A） A、絕對(duì)收斂 B、條件收斂C、

20、發(fā)散 D、可能收斂也可能發(fā)散解：由定理知，若在收斂則在內(nèi)絕對(duì)收斂 選A3把（其中）時(shí)，其收斂半徑R（A）A B C D解： <1 R 選A4的收斂區(qū)間（考慮端點(diǎn)）是 （C）A（1，1） B-1,1C D解：（1）的半徑 ；的半徑 故R；（2）在發(fā)散，收斂 故原級(jí)數(shù)在發(fā)散 選C5設(shè)，則（A）A BC D解：（1） 故選A6冪級(jí)數(shù)在的和函數(shù)（ B）A B C D解：令 故選B二、填空題（每小題4分，共24分）7冪級(jí)數(shù) 解：收斂半徑8冪級(jí)數(shù)在x3處條件收斂，則該級(jí)數(shù)的收斂半徑R 解：級(jí)數(shù)在x3條件收斂，當(dāng)絕對(duì)收斂當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散 故R39冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 解：，<3 < 故R10冪級(jí)數(shù)

21、解： 故11)展成的冪級(jí)數(shù)，則= 解：收斂域12將展成冪級(jí)數(shù)，則 解：（1）（2）收斂區(qū)間三、計(jì)算題（每小題8分，共64分）13求的收斂半徑與收斂域解：（1） 收斂半徑R2（2）當(dāng)2時(shí)，發(fā)散當(dāng)2時(shí)，收斂（萊布尼茲級(jí)數(shù)）（3）收斂域?yàn)?4求的收斂半徑與收斂域解：（1）收斂半徑R3 有 即 （2）當(dāng)5時(shí)，發(fā)散（調(diào)和級(jí)數(shù)） 當(dāng)時(shí)，收斂（萊布尼茲級(jí)數(shù)） （3）級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?5求的收斂半徑與收斂域解：（1） ， ， R2（2）當(dāng)時(shí)發(fā)散（3）級(jí)數(shù)的收斂域（2，2）16將展成（）冪級(jí)數(shù)（）解：（1）變形（2）展開（3）收斂域（即收斂區(qū)間）<117將展開成x的冪級(jí)數(shù)解：解法（1）收斂域： 解法（2）（

22、）18將展開成的冪級(jí)數(shù)解：（1）變形（2）展開：（3）收斂區(qū)間故有收斂區(qū)間19將解：（1）變形（2）展開（3）收斂域（即收斂區(qū)間） 20利用逐項(xiàng)積分將展開成麥克勞林級(jí)數(shù)，并求其收斂域解：（1）（2）當(dāng)時(shí) 收斂（萊布尼茲級(jí)數(shù)）當(dāng)時(shí)，收斂 故有收斂域四、證明題（本題8分）21利用的麥克勞林展開式，證明：證：（1）令(2) 收斂區(qū)間：（3）令移項(xiàng)： 證畢五、綜合題（每小題10分，共30分）22求冪級(jí)數(shù)的收斂域解：（1）變形：原式=（2）（3）當(dāng)時(shí)，發(fā)散當(dāng)時(shí)，發(fā)散故級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間：23將的冪級(jí)數(shù)解：（1）變形：（2）展開：（3）收斂區(qū)間：收斂區(qū)間24將展開成x的冪級(jí)數(shù)，并由此求之值解：（1） 原式=收

23、斂區(qū)間為（2）求之值令，=故有=1選作題 ：將展開成x的冪級(jí)數(shù)解：收斂區(qū)間：，故收斂區(qū)間：第十九講:一階微分方程、可降階微分方程的練習(xí)題答案一 、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共24分）1微分方程是 （B）A一階線性方程 B一階齊次方程C可分離變量方程 D二階微分方程解:變形 原方程是一階齊次方程,選B2下列微分方程中，是可分離變量的方程是 （C）A BCD解:是可分離變量方程,選C3的通解是 （B） A B C D解： 選B 4滿足的特解是（A）A BC D解：由 得,故 選A5滿足的特解是 （ B ） A B C D解：由,知故特解為 選B6可降階微分方程的通解是 （D）A BC D解：(1)方

24、程不顯含:令,. 選D二、 填空題7的通解是 解：令.，8滿足的特解是 解：(1)(2)由 特解9滿足的特解是 解：(1) (2)特解 10求的通解為 解： ,通解11的通解 解： (可用可分離變量做)12的通解 解：三、計(jì)算題13 求曲線所滿足的微分方程.解： 通過求導(dǎo),設(shè)法消去任意常數(shù),這是所求的微分方程 14求的通解. 解：(1)判別方程的類型:可分離變量方程 (2) .即:15求滿足的特解.解：(1)可分離變量方程(2) (3) ,又.特解16求的通解. 解：(1).一階齊次方程 (2)令 或 為通解.17求滿足的特解.解：(1)變形:.一階線性方程 (2)(3),特解:18求的通解.

25、 解：(1)變形:.一階線性方程.(2)故為所求的通解.19求的通解.解(1)降階法:方程不顯含. 令(2).一階可分離變量方程(3)20求滿足的特解. 解：(1)降階法,方程不顯含.令(2)當(dāng)時(shí),初始條件舍去當(dāng)時(shí),特解 四、證明題21設(shè)曲線上任一點(diǎn)處切線與直線垂直,且曲線過點(diǎn),證明曲線是以原點(diǎn)為圓心,半徑為2的圓.證：(1)列出微分方程,設(shè)曲線,畫出示意圖.直線OM:的斜率為,曲線切線斜率為.依題意:(2)解微分方程:,由故有曲線: 證畢五、綜合題22有連接,兩點(diǎn)的一條凸曲線,它位于AB弦的上方,為該曲線上的任一點(diǎn),已知該曲線弧與AP之間的面積(如圖陰影部分)為,求該曲線方程.解：(1)列出

26、方程,設(shè)陰影部分面積為S S=曲邊梯形OADPC面積梯形OAPC面積一階線性方程(2)通解(3) 故所求的曲線方程為23設(shè)可導(dǎo),且滿足求. 解：(1)把積分方程化為微分方程. =1且(2)解微分方程(3)由得故有特解24設(shè),且,求的具體表達(dá)式解(1)把偏微分方程化為常微分方程由輪換對(duì)稱性知:即有 這是可降階的二階微分方程.(2)令,第二十講:二階線性微分方程的練習(xí)題答案一、單項(xiàng)選擇題1以為通解的二階線性常系數(shù)齊次微分方程為 ( )A B C D 解： 故有 選D 2 的通解為 ( )A B C D 解： 選D 3的待定特解( )A B C D 解：(1), (2) 是特征單根 選B 4的待定特解( )A B C D 解：(1),(2)不是特征根,5的待定特解( )A B C D解：(1),特征根(2)不是特征根, 選B 6若和是(為常數(shù))的兩個(gè)特解,則(為任意常數(shù))是 ( )A 方程的通解 B 方程的特解C 方程的解