重頻結構模態(tài)靈敏度分析的高精度截模態(tài)算法

1、重頻結構模態(tài)靈敏度分析的高精度截模態(tài)算法 張 淼1，于 瀾1, 鞠 偉2（1.長春工程學院理學院，吉林 長春130012；2.中國第一汽車股份有限公司技術中心，吉林 長春 130011）摘要：基于全模態(tài)展開定理，提出了計算重頻阻尼結構模態(tài)靈敏度的全模態(tài)算法和高精度截模態(tài)算法。首先通過引入松馳因子的移頻法克服了重頻現(xiàn)象對模態(tài)靈敏度分析的影響，給出了重頻模態(tài)靈敏度的全模態(tài)算法，并從理論上分析了這種算法的誤差來源及控制方法；其次通過分析各階模態(tài)在模態(tài)靈敏度的全模態(tài)線性展開式中的貢獻作為截斷準則來實施截斷，從而提出了重頻結構模態(tài)靈敏度分析的高精度截模態(tài)算法，并給出了其誤差分析方法。提出的高精度截模態(tài)算

2、法僅需少量模態(tài)，即可獲得對稱及非對稱系統(tǒng)任一重頻模態(tài)的靈敏度信息，無論是理論分析還是數(shù)值計算的結果均表明了該算法的正確性及高效性。關鍵詞：重頻結構；全模態(tài)；靈敏度分析；松弛因子；截模態(tài)中圖分類號：O 321, TB 122 文獻標識碼：A 文章編號:引言當設計參數(shù)發(fā)生擾動時，研究系統(tǒng)的其它參數(shù)隨之產(chǎn)生的擾動量的方法一般可分為攝動法和靈敏度分析法。攝動法的研究已發(fā)展得很完善13，而靈敏度因為不受設計參數(shù)擾動量的影響，更能直觀地反應結構對設計參數(shù)的敏感性，并且具有很好的數(shù)學及物理意義，因此成為近年來結構動力修改及分析的主要研究方向之一。模態(tài)靈敏度分析的算法可分成直接法4，5和模態(tài)法69兩大類型。直

3、接法是對特征方程求導后，通過支配方程的系數(shù)矩陣的非奇異化處理算法，來直接求解靈敏度的一類方法。而模態(tài)法是指對支配方程中的靈敏度作全模態(tài)線性展開，用各種模態(tài)的正交及規(guī)范化條件求得線性展開式系數(shù)的一類方法。模態(tài)靈敏度的全模態(tài)展開法自提出以來，得到很大發(fā)展和完善，目前它針對單頻系統(tǒng)的算法形式已基本穩(wěn)定。而對重頻完備系統(tǒng)的全模態(tài)算法研究，還處于發(fā)展階段，文獻10，11中討論了無阻尼重頻系統(tǒng)的特征向量導數(shù)算法。針對有阻尼重頻系統(tǒng)，Lee12，13等人關于對稱阻尼系統(tǒng)的重頻所對應的特征導數(shù)提出自己的看法，文獻14也給出了對稱阻尼系統(tǒng)一階乃至高階特征導數(shù)的數(shù)值算法，但這些文獻忽視了對重頻模態(tài)之間正交性的分析

4、，仍認為它們具有與單頻模態(tài)相同的解耦性能，故其結論的正確性有待商榷，可見模態(tài)解耦功能的退化是阻尼重頻系統(tǒng)的振動分析需要面對的難點之一。近年來，文獻15等對于非對稱阻尼重頻系統(tǒng)特征對一、二階導數(shù)的計算進行了討論，并給出了重頻阻尼系統(tǒng)靈敏度分析的全模態(tài)算法。事實上，重頻系統(tǒng)的模態(tài)靈敏度既可反映模態(tài)變化的趨勢，又能體現(xiàn)與其臨界的密頻系統(tǒng)的變化性態(tài)，若將重頻系統(tǒng)的模態(tài)靈敏度分析結果應用至與其臨界的密頻系統(tǒng)，則為密頻系統(tǒng)的振動控制提供良好的理論基礎16。但對于工程結構來說，由于很難獲得其全部模態(tài)，這給全模態(tài)算法在實際工程問題中的應用帶來了巨大的阻力，這使得截模態(tài)、修正模態(tài)及移位模態(tài)技術在全模態(tài)算法的基礎

5、上得到不斷地開發(fā)和使用，但其算法的精確度及復雜度問題顯得尤為突出。在實際計算中，首先期望所使用的模態(tài)數(shù)量盡可能地少，其次是要避免不必要的誤差干擾，此外還要考慮算法要易于被一般工程技術人員理解和編程實現(xiàn)。因而尋找高精度的截模態(tài)算法是模態(tài)靈敏度分析的重要課題之一。本文以全模態(tài)展開原理為依據(jù)，提出了針對重頻阻尼系統(tǒng)的模態(tài)靈敏度分析的一種新的全模態(tài)數(shù)值算法和與其對應的高精度截模態(tài)算法，并給出誤差分析，從而可對被分析模態(tài)附近以外的低階和高階模態(tài)同時實施截斷。算法具有結構簡單、形式統(tǒng)一及穩(wěn)定高效的特點，適宜應用于大型工程結構的動特性分析過程。1 模態(tài)靈敏度分析的基本理論對于自由度的線性振動系統(tǒng) (1)其特

6、征方程有個呈復共軛對出現(xiàn)的頻率 ，各頻率所對應的特征向量也呈復共軛對出現(xiàn)，稱其為系統(tǒng)模態(tài)向量，并滿足。假設系統(tǒng)(1)可以被一系列個設計參數(shù)所描述，則系統(tǒng)的質量、阻尼和剛度矩陣和都是關于的函數(shù)。偏導數(shù)稱為模態(tài)對第個參數(shù)的靈敏度。對系統(tǒng)(1)引入狀態(tài)空間形式 (2)其中,狀態(tài)矩陣為 ， (3)則系統(tǒng)(1)的振動特征問題轉化為廣義特征問題： (4)其中 (5)稱為狀態(tài)向量，記為狀態(tài)向量矩陣，對單頻系統(tǒng)來說，可以滿足規(guī)范正交關系： (6)和 (7)定義狀態(tài)向量關于對第個參數(shù)的靈敏度為，根據(jù)模態(tài)展開法，將其在狀態(tài)空間中展開為 (8)其中是式(8)中的展開式系數(shù)，由式(5)可得模態(tài)靈敏度為 (9)稱為模態(tài)

7、在模態(tài)靈敏度中的靈敏度系數(shù)。2 重頻系統(tǒng)模態(tài)靈敏度分析的全模態(tài)算法對于單頻阻尼系統(tǒng)，為獲得靈敏度系數(shù)，對特征方程(4)求導得支配方程為 （10）其中，其它例如及下文中的和都與類似。再利用單頻模態(tài)之間的正交性式(6)和(7)解耦靈敏度支配方程，得到靈敏度系數(shù)控制方程，在控制方程中只有一個靈敏度系數(shù)無法確定，對此Sondipon提出的方法9是用規(guī)范化條件作為增加的條件方程，從而獲得全部靈敏度系數(shù)，具體結論如下 (11)但對重頻阻尼系統(tǒng)來說，雖然相異頻率所對應模態(tài)之間仍然是正交的，但重頻模態(tài)之間卻不一定存在正交關系，因此只能部分實現(xiàn)靈敏度支配方程的解耦，致使與重頻率相聯(lián)系的模態(tài)所對應的個靈敏度系數(shù)無

8、法確定，上述結論則不適用。為討論方便，假定系統(tǒng)只存在一個重特征值，其它特征值均為單特征值。記所對應的模態(tài)集合為，稱為此重頻結構對應于重頻的重頻模態(tài)。當時，即所對應的頻率為單頻時，稱之為此重頻結構的伴重模態(tài)。 對于完備系統(tǒng)，重頻率所對應的個狀態(tài)向量是線性無關的，但并不一定存在正交關系，而利用施密特正交規(guī)范化技術仍可獲得滿足式(6)和(7)的狀態(tài)向量系，記為，滿足規(guī)范正交關系： (12)和 (13)當所求靈敏度的模態(tài)位于重頻區(qū)，即在計算時，將狀態(tài)向量的靈敏度用新規(guī)范正交化后的狀態(tài)向量系展開為 (14)與單頻的情況類似可得其中是由規(guī)范正交化后的的后維構成的新模態(tài)向量。將式(14)代入式(10)，并左

9、乘，依據(jù)規(guī)范正交化條件式(12)和(13)可得靈敏度系數(shù)的控制方程為如下形式： (15)此時控制方程(15)的系數(shù)矩陣的對角元中出現(xiàn)了個零元，因此重頻模態(tài)所對應的個靈敏度系數(shù)將不能確定，為此引入松弛因子組，分別計算 (16)來代替重頻率。此時原系統(tǒng)的重頻區(qū)近似為新系統(tǒng)的密頻區(qū)，這個頻率分別相差微量，而兩個系統(tǒng)的其余頻率相同。因此將重頻結構問題近似用密頻結構問題來表示，顯然越小這種近似程度越高。以控制方程(15)中第個方程為例，由于它為恒等方程，事實上該方程為如果引入松馳因子，令移頻值為，其中表示的近似值，并用差分格式來近似代替，則第個方程變?yōu)?17)化為維模態(tài)空間形式為 以此類推，可得全部重頻

10、模態(tài)所對應的靈敏度系數(shù)為 (18)再根據(jù)靈敏度系數(shù)控制方程(15)，求解其余伴重模態(tài)的靈敏度系數(shù)為 (19)則重頻模態(tài)的靈敏度為 (20)從而得到重頻系統(tǒng)模態(tài)靈敏度分析的全模態(tài)計算公式。3重頻系統(tǒng)模態(tài)靈敏度分析的截模態(tài)算法在計算時，由式(18)及(19)可知重頻模態(tài)所對應的靈敏度系數(shù)相對伴重模態(tài)靈敏度系數(shù)來說較大，這也說明重頻模態(tài) 在的線性組合式中的貢獻較大16，因此在式(20)中只需截取所有重頻模態(tài)，并加上重頻區(qū)邊界附近的幾階模態(tài)，利用這些模態(tài)的線性組合式來近似代替全模態(tài)線性組合式，即可取得模態(tài)靈敏度具有足夠精度的近似結果，即 (21)這種根據(jù)各階模態(tài)在模態(tài)靈敏度的全模態(tài)線性展開式中的貢獻作

11、為截斷準則來實施截斷，所形成的新算法稱為重頻結構模態(tài)靈敏度分析的高精度截模態(tài)算法。4 誤差分析由上文論述可知對單頻阻尼系統(tǒng)，當求任一模態(tài)靈敏度時，只有一個系數(shù)不能由靈敏度系數(shù)的控制方程求解，但因為在單頻阻尼系統(tǒng)中頻率全不相同，這時用模態(tài)向量所構造的狀態(tài)向量可滿足正交關系式(6)，所以利用這種正交關系可解得精確的，而不必使用近似值。但對重頻阻尼系統(tǒng)來說，與重頻率相聯(lián)系的模態(tài)所對應的個靈敏度系數(shù)均無法由靈敏度系數(shù)的控制方程解得，同時用模態(tài)向量直接構造出來的狀態(tài)向量也不能全部滿足正交關系式(6)，雖然那些隸屬于不同頻率的狀態(tài)向量之間仍然是正交的，但對應某一重頻的狀態(tài)向量之間并不一定正交，要進行施密特

12、正交化才能做到，故難以取得重頻模態(tài)所對應的靈敏度系數(shù)的精確解。而根據(jù)本文提出的全模態(tài)算法卻可以解決這一問題，不僅如此，顯然式(17)中誤差僅決定于所選取的松馳因子的大小，適當控制松馳因子的幅度，即可控制誤差并提高精度。在下文的數(shù)值算例1中可見，在使用公式(20)和(21)計算靈敏度時，相應的松弛因子的選取若依賴于差分步長，則當差分步長趨于零時，在理論上本文提出的全模態(tài)算法與差分算法所得出的重頻模態(tài)靈敏度將同步趨于精確值，因此松弛因子的變化不會對計算量產(chǎn)生很大的影響。另一方面雖然全模態(tài)算法是截模態(tài)算法的理論基礎，具有較大的理論價值，但它需要獲得系統(tǒng)的所有模態(tài)信息，這對于大型工程結構來說是非常困難

13、的，同時也會帶來計算效率方面的問題。而本文所提出的截模態(tài)算法只需使用重頻模態(tài)和重頻區(qū)附近的幾階模態(tài)，這雖然會產(chǎn)生一定量的誤差，但一定會帶來計算效率的大幅度提高，將大大增加截模態(tài)算法的工程應用價值。當然如果在重頻區(qū)邊界附近適當多取幾階模態(tài)，就會得到較高精度的模態(tài)靈敏度值，本文提供的兩個數(shù)值算例中，利用截模態(tài)算法均取得了相當好的精度。5 數(shù)值算例作為算例1，首先考慮一個具有非比例阻尼的3自度阻尼振動系統(tǒng)，其質量、阻尼和剛度矩陣分別為,系統(tǒng)的初始狀態(tài)為， ，,此時系統(tǒng)的頻率為，其中第3和第5、第4和第6為兩對二階重頻。對設計參數(shù)，變化率分別取時,計算系統(tǒng)的重頻模態(tài)的差分靈敏度和全模態(tài)靈敏度，由本文提

14、出的截模態(tài)準則，取第5、6和7階模態(tài)作線性組合得到截模態(tài)靈敏度。在此算例算法實現(xiàn)的Matlab程序設計時，松馳因子的選取并不獨立，而是依賴于差分步長，再讓差分步長產(chǎn)生變化，具體計算結果見表1。表1 三種算法計算重頻模態(tài)的靈敏度值Tab.1 Comparasion among the three kinds of algorithms for computing sensitivity of 差分()全模態(tài)()截模態(tài)()由表1可知，本文算法計算的全模態(tài)和截模態(tài)的計算結果一致，并與差分算法的計算結果基本一致。這說明本文提出的全模態(tài)算法的正確性與有效性；截模態(tài)算法具有高精度；且的變化不會對計算量產(chǎn)生

15、很大的影響。作為算例2，考慮一個5自由度的質量彈性阻尼系統(tǒng),設只在垂直方向上產(chǎn)生振動，如圖1所示。圖1 5-自由度非比例阻尼系統(tǒng)Fig.1 5-DOF non-proportionally damped system系統(tǒng)的初始剛度（單位：）、質量（單位：）和阻尼陣（單位：）分別為：此時系統(tǒng)的頻率為=-0.02459.7000i, =-0.03526.1354i, =-0.04331.5023i, =-0.24003.4558i, = -0.24003.4558i，其中第7和第9、第8和第10為兩對復的重頻，因此本文計算重頻模態(tài)的靈敏度。設計參數(shù)取，變化率為，求解其差分靈敏度。作出狀態(tài)向量 ，將

16、、及、分別關于矩陣實施正交化，記正交化后的狀態(tài)向量為，然后將 關于矩陣規(guī)范化，令規(guī)范化常數(shù)為1。記取新規(guī)范正交化后的狀態(tài)向量的后維為，代入式(18)和(19)，可得到全部靈敏度系數(shù) ，代入式(20)得全模態(tài)靈敏度。由本文提出的截斷準則可知，第5至9階頻率離第7階頻率較近，因此截模態(tài)靈敏度取為，這時計算截模態(tài)靈敏度所使用的模態(tài)主要為重頻模態(tài)。在此算例的算法實現(xiàn)時，穩(wěn)定差分步長，而讓松馳因子產(chǎn)生變化，具體計算結果及三種算法之間關于的靈敏度各分量計算結果的誤差比見表2和表3。表2 三種算法計算重頻模態(tài)的靈敏度值Tab.2 Comparasion among the three kinds of al

17、gorithms for computing sensitivity of 差分 全模態(tài) 截模態(tài)表3 三種算法計算重頻模態(tài)靈敏度各分量的誤差比Tab.3 Error ratios of components of sensitivity among the three kinds of algorithms 序號差分算法與全模態(tài)算法各分量的誤差比截模態(tài)算法與全模態(tài)算法各分量的誤差比10.29170.29170.22240.222420.29220.29220.18580.185830.29520.29520.12340.123440.99790.99780.00000.000050.90100

18、.97260.01440.0014本文算法的誤差比參照：作者用文獻9中給出的單頻模態(tài)靈敏度分析的全模態(tài)精確算法與其差分算法計算單頻模態(tài)的靈敏度 時其最大誤差比為281%。顯然由表3中的誤差比可知，本文提出的計算重頻模態(tài)靈敏度的全模態(tài)算法的精度較好。再由表3中的誤差比可知，本文提出的計算重頻模態(tài)靈敏度的截模態(tài)算法為高精度算法。雖然同為近似解，但理論上認為全模態(tài)算法比差分算法更為精確，這是因為差分靈敏度需要重復計算系統(tǒng)的頻率及模態(tài)，不僅計算量巨大，有時差分靈敏度對設計參數(shù)擾動量的取值步長的變化非常敏感，因而在數(shù)值上存在著很大的不穩(wěn)定性。從表1和表2中的數(shù)據(jù)分析可知，本文提出的截模態(tài)算法與全模態(tài)算法

19、相比誤差非常小，這說明重頻模態(tài)在模態(tài)靈敏度分析中的貢獻較大，據(jù)此作為截斷準則所形成的截模態(tài)算法具有高精度；由表2和表3可知本文的截模態(tài)算法與取值關系不大，算法相對穩(wěn)定。6 結論本文針對重頻阻尼系統(tǒng)提出了模態(tài)靈敏度分析的全模態(tài)算法及高精度截模態(tài)算法，通過對算法的理論分析及數(shù)值實驗，得到如下結論：(1) 全模態(tài)算法克服了重頻這一關鍵因素對模態(tài)靈敏度分析的影響，且易于實現(xiàn)其誤差分析。(2)在使用截模態(tài)算法進行模態(tài)靈敏度分析時，若被分析模態(tài)位于單頻區(qū)時，只需使用被分析模態(tài)本身，即可取得它的靈敏度分析的足夠精度，而對其余模態(tài)均可實施截斷。若被分析模態(tài)位于重頻區(qū)時，只需使用重頻模態(tài)組進行線性組合即可近似表

20、達該重頻模態(tài)的靈敏度值。但為了保證精度及取得一定的收斂速度，可在該模態(tài)附近多取幾階模態(tài)，從而達到高精度。(3)截模態(tài)算法可以在使用少量模態(tài)的情況下，得到高精度的結構模態(tài)靈敏度分析結果，這將大大減少了計算量，適用于大型工程結構的動特性分析。參考文獻：Leung A Y T. Perturbed general eigenso- -lutionsJ. Communications in Applied Numerical Methods, 1990, 6:401-409.2 Chen S H, Xu T. Perturbed sensitivity of generalized modes of

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