第5章1.2.3.4虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計算

1、1. 1. 推導位移計算一般公式的基本思路推導位移計算一般公式的基本思路第一步：討論靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動而引起的位移計算問題由于支座移動而引起的位移計算問題。此為剛體體系的 位移問題。應用剛體體系虛力原理導出位移計算公式。第三步：討論靜定結(jié)構(gòu)由于整體變形由于整體變形(結(jié)構(gòu)桿件中各個微段均產(chǎn)生形變)而引起而引起 的位移的位移 第二步：討論靜定結(jié)構(gòu)由于局部變形由于局部變形(例如結(jié)構(gòu)中某個微段產(chǎn)生拉伸、剪切、 彎曲變形，而結(jié)構(gòu)其它部分沒有形變，仍未剛體)而引起的位移而引起的位移。這 仍是一個剛體體系的位移問題，由剛體體系虛力原理導出位移計算公式?？傮w思路：化整為零；積零為整?？傮w思路：化整為零；積零

2、為整。 把結(jié)構(gòu)的形變分解為局部的形變，把結(jié)構(gòu)的形變分解為局部的形變，2. 2. 結(jié)構(gòu)位移計算概述結(jié)構(gòu)位移計算概述計算結(jié)構(gòu)位移的目的：1. 驗算結(jié)構(gòu)的剛度-即驗算結(jié)構(gòu)的位移是否超過允許的 位移極限值（如吊車梁允許的撓度為跨度的1/600） 2. 為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析奠定基礎。產(chǎn)生位移的原因：1. 荷載作用；2.溫度變化和材料脹縮；3. 支座沉降和制造誤差結(jié)構(gòu)各點產(chǎn)生位移，內(nèi)部是否有應變，分為兩種情況：1.如靜定多跨梁支座A有位移cA, 則桿AC繞B點轉(zhuǎn)動，桿CD繞D點轉(zhuǎn)動。這時，各桿有剛體位移，應變?yōu)榱?。（剛體體系位移問題，有位移，無應變）2. 簡支梁在荷載q的作用下，各點產(chǎn)生線位移 （撓度w

3、）；梁內(nèi)承受彎矩M而產(chǎn)生曲率 和應變。（變形體體系，有位移，有應變）2. 2. 結(jié)構(gòu)位移計算概述結(jié)構(gòu)位移計算概述采用幾何法計算位移1.假設cA為一微量，則：2. 由曲率與撓度之間的關系(小撓度)：可有曲率求出撓度3. 3. 應用虛力原理求剛體體系的位移應用虛力原理求剛體體系的位移單位荷載法單位荷載法圖示的靜定梁支座圖示的靜定梁支座A A向上移動一個已知距離向上移動一個已知距離c c1 1, , 求求B B點的豎向位移點的豎向位移位移狀態(tài)已給定，為求出，只在擬求位移的方向設置單位荷載與相應的支座反力組成一個虛設的平衡力系，根據(jù)平衡條件，求出支座A的反力：令虛設平衡力系在實際剛體位移上作虛功，得出

4、虛功方程：(2) 求出1cABCab11RFba 1R110c F 1bca 式(2)是虛設力系在給定位移上作虛功方程(2)形式上是虛力方程，實質(zhì)上是未知位移與已知位移c1之間的幾何方程單位荷載法：在擬求位移方向虛設單位荷載，利用平衡條件求出與c1相應的支座反力 ，特點：利用靜力平衡解幾何問題。1RF4. 4. 支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算圖示中，支座圖示中，支座A A有給定的豎向位移有給定的豎向位移c cA A, ,擬求：擬求：在靜定結(jié)構(gòu)中，支座移動時并不引起內(nèi)力，也不引起應在靜定結(jié)構(gòu)中，支座移動時并不引起內(nèi)力，也不引起應變。因此，支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算問題

5、都是剛變。因此，支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算問題都是剛體體系的位移計算問題，可用剛體體系虛力原理求解。體體系的位移計算問題，可用剛體體系虛力原理求解。(1)C(1)C點的豎向位移點的豎向位移c c(2)(2)桿桿CDCD的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角4. 4. 支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算應用單位荷載法求不同的位移時，應當選擇不同的單位荷載。應用單位荷載法求不同的位移時，應當選擇不同的單位荷載。虛設的單位荷載應當是擬求位移相應的單位荷載，即這個單位荷載所做的虛功在數(shù)值上應等于擬求的位移。如：(1)：求C點的豎向位移c時，應在C點加一個單位豎向荷載。(2)：求CD的轉(zhuǎn)角時，應在桿CD上

6、加一個單位力偶荷載 (力偶作的功等于力偶矩與轉(zhuǎn)角的乘積)。解得：5 5、單位荷載法的計算步驟單位荷載法的計算步驟設支座設支座K K有給定位移有給定位移c cK K，靜定結(jié)構(gòu)的位移計算步驟為，靜定結(jié)構(gòu)的位移計算步驟為: :III.III.由虛功方程解出擬求位移由虛功方程解出擬求位移01RKKcFRKKFc KFRI.I. 沿擬求位沿擬求位移移方方向虛設相應的單位荷載，求出相應的向虛設相應的單位荷載，求出相應的II.II.令虛設力系在實際位移上作虛功，寫出虛功方程令虛設力系在實際位移上作虛功，寫出虛功方程IV.IV.所求出數(shù)值為正，表明位移與虛設荷載方向相同；反之相反。所求出數(shù)值為正，表明位移與虛

7、設荷載方向相同；反之相反。步驟：先導出局部變形時的位移公式，應用疊加原理，導出整體變形時的位移公式步驟：先導出局部變形時的位移公式，應用疊加原理，導出整體變形時的位移公式現(xiàn)考慮靜定結(jié)構(gòu)由于局部變形而引起的位移。設靜定結(jié)構(gòu)中現(xiàn)考慮靜定結(jié)構(gòu)由于局部變形而引起的位移。設靜定結(jié)構(gòu)中某個微段出現(xiàn)局部變形某個微段出現(xiàn)局部變形( (由于制造誤差或其他原因造成的微段由于制造誤差或其他原因造成的微段拉伸、剪切、彎曲變形拉伸、剪切、彎曲變形) )，微段兩端相鄰截面出現(xiàn)相對位移，微段兩端相鄰截面出現(xiàn)相對位移（線位移、角位移），而結(jié)構(gòu)的其它部分沒有變形，仍舊是（線位移、角位移），而結(jié)構(gòu)的其它部分沒有變形，仍舊是剛體。

8、剛體。1. 1. 局部變形時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算舉例局部變形時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算舉例位移位移成正比，比例系數(shù)為虛設單位荷成正比，比例系數(shù)為虛設單位荷載在該截面引起的彎矩載在該截面引起的彎矩可寫出虛功方程為：解得：位移程正比，比例系數(shù)為虛設單位荷載在該截面虛設單位荷載在該截面引起的剪力引起的剪力F FQ Q推導局部變形時計算位移的一般公式如下懸臂梁B點附近的微段有局部變形，其他部分沒有變形。微段微段dsds局部變形包括：局部變形包括：軸向伸長應變：軸向伸長應變： 平均切應變：平均切應變： 軸線曲率：軸線曲率： 0 基本思路：把局部變形時的位移計算轉(zhuǎn)化為剛體體系的位移計算問題。微段微段dsds兩端截

9、面的三種相對位移：兩端截面的三種相對位移：dds0ddsdds將微段變形集中化(ds 0),但三種位移仍存在。相當于整個結(jié)構(gòu)除截面B發(fā)生集中變形，其余為剛體，無任何變形NQ1 ddddMFF NQ0dd(MFF) s 如果結(jié)構(gòu)有多個桿件如果結(jié)構(gòu)有多個桿件NQ0d( MFF) s NQ0RdKK( MFF) sFc 式中：彎曲變形式中：彎曲變形對位移的影響對位移的影響 軸向變形軸向變形對位移的影響對位移的影響 剪切變形剪切變形對位移的影響對位移的影響 支座位移支座位移cK對位移的影響對位移的影響KKccFsFsFsMRQNddd整個結(jié)構(gòu)的變形是各個微段變形的總和，整體變形時在結(jié)構(gòu)某點引起的總位移

10、由每個微段變形時在該點引起的微小位移d d疊加得出：NQ0dd( MFF) s 積分號表示沿桿件長度積分，總和號表示對結(jié)構(gòu)中各桿件求和。積分號表示沿桿件長度積分，總和號表示對結(jié)構(gòu)中各桿件求和。如結(jié)構(gòu)除各微段有變形外，支座有給定位移如結(jié)構(gòu)除各微段有變形外，支座有給定位移C CK K, , 則：則：該式的實質(zhì)是一個幾何方程，給出了已知變形(內(nèi)部應變、和支座位移cK)與擬求位移之間的幾何關系NQ0RdKK( MFF) sFc 上式是上式是普遍公式。（因為在推導中未涉及變形因素、結(jié)構(gòu)類型、材料性質(zhì)）普遍公式。（因為在推導中未涉及變形因素、結(jié)構(gòu)類型、材料性質(zhì)）可考慮任何情況：可考慮任何情況：、變形類型：

11、彎曲、軸向、剪切變形。、變形類型：彎曲、軸向、剪切變形。、產(chǎn)生變形的因素：荷載、溫度改變、支座移動等。、產(chǎn)生變形的因素：荷載、溫度改變、支座移動等。 、結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、拱、桁架等靜定、超靜定。、結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、拱、桁架等靜定、超靜定。 、材料性質(zhì)：彈性、非彈性。、材料性質(zhì)：彈性、非彈性。將上式改將上式改寫為：寫為：01()RKNQKF cMFFds外力虛功外力虛功W W = =內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功W Wi i 可視為變形體虛功原理的一種表達形式?？梢暈樽冃误w虛功原理的一種表達形式。5.5. 、廣義位移計算、廣義位移計算廣義位移：廣義位移：某截面沿某方向的線位移；某截面沿某方向的線位移；某截

12、面的角位移；某截面的角位移；某兩個截面的相對位移等。某兩個截面的相對位移等。 在利用（在利用（5-105-10）求廣義）求廣義位移時，必須根據(jù)廣義位移的位移時，必須根據(jù)廣義位移的性質(zhì)虛設廣義單位荷載。性質(zhì)虛設廣義單位荷載。ABqA AB BABM MA A =1=1M MB B=1=1 如：右圖所示簡支梁，求如：右圖所示簡支梁，求ABAB兩截兩截面的相對角位移。面的相對角位移。 求解過程：求解過程： 可先求可先求A A和和B B，再，再疊加。疊加。也可直接求出也可直接求出ABAB= = A A+ + B B 廣義位移和廣義虛單位荷載示例廣義位移和廣義虛單位荷載示例廣義位移廣義虛單位荷載（外力）

13、虛功BAABBAF FP P= =1 1F FP P= =1 11A+1B =A+B =ABABlABBAABABlAB1lAB11/lABA+ 1/lABB=(A+B)/ lAB=AB 廣義位移和廣義虛單位荷載示例廣義位移和廣義虛單位荷載示例廣義位移廣義虛單位荷載（外力）虛功ABBACCliljiAiBjBjC1li1li1lj1lj1/liAi + 1/liBi +1/ljAj+ 1/ljAj= (Ai+Bi)/ li+ (Bj+Cj)/ lj=i+ j= ijCABLCRCCCAB1 11 11 CL+1 CR= CL + CR= C1. 1. 荷載引起的位移計算公式荷載引起的位移計算公

14、式荷載作用下，靜定結(jié)構(gòu)的彈性位移的計算步驟：荷載作用下，靜定結(jié)構(gòu)的彈性位移的計算步驟：根據(jù)公式（根據(jù)公式（5-95-9）NQ0d( MFF) s 本節(jié)討論中，設材料是線彈性的。在此，微段應變本節(jié)討論中，設材料是線彈性的。在此，微段應變 、 、 0 0 是由荷載是由荷載引起的（實際位移狀態(tài)），由荷載引起的（實際位移狀態(tài)），由荷載內(nèi)力內(nèi)力應力應力應變順序求出。應變順序求出。（1 1）. .根據(jù)荷載情況，求出結(jié)構(gòu)各根據(jù)荷載情況，求出結(jié)構(gòu)各截面的彎矩截面的彎矩M MP P、軸力、軸力F FNPNP、剪力、剪力F FQPQP。（2 2）. .求出相應的彎曲、拉伸和剪求出相應的彎曲、拉伸和剪切應變。切應變

15、。1. 1. 荷載引起的位移計算公式荷載引起的位移計算公式NQ0d( MFF) s 荷荷載作用下平面桿件結(jié)構(gòu)彈性位移計算的一般公式：載作用下平面桿件結(jié)構(gòu)彈性位移計算的一般公式：PMEI NPFEA QP0FkGA QQPNNPPdddkF FF FMMsssEIEAGA PN PQ PMFFNQMFFPMM2. 2. 各類結(jié)構(gòu)的位移公式各類結(jié)構(gòu)的位移公式PdMMsEI NNPdF FsEA NNPF F lEANNPPdF F lMMsEIEA NNPPddF FMMssEIEA 5-195-19式是靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下彈性位移的一般公式。公式右邊分別表示彎式是靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下彈性位移的一般公式。公式右邊分別表示彎曲、拉伸、剪切形變的影響。對各種結(jié)構(gòu)形式，三種影響所占比重不同。曲、拉伸、剪切形變的影響。對各種結(jié)構(gòu)形式，三種影響所占比重不同。QQPNNPPdddkF FF FMMsssEIEAGA 位移主要由彎矩引起，位移主要由彎矩引起，軸力和剪力影響較小軸力和剪力影響較小在桁架中，各桿只受軸在桁架中，各桿只受軸力，且每根桿的截面面力，且每根桿的截面面積積A A、軸力、軸力F FN