概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(事件的獨(dú)立性)

1、 1.6 1.6 獨(dú)立性獨(dú)立性 1.6.11.6.1事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性1兩個(gè)事件的獨(dú)立性兩個(gè)事件的獨(dú)立性 我們知道條件概率我們知道條件概率P(B|A)與無(wú)條件概率與無(wú)條件概率P(B)不一不一定相等，定相等， 但是在一些特殊情況下它們相等但是在一些特殊情況下它們相等例如例如,.,),23(5取到綠球”取到綠球”“第二次抽取“第二次抽取取到綠球”取到綠球”“第一次抽取“第一次抽取記記地取兩次地取兩次有放回有放回每次取出一個(gè)每次取出一個(gè)紅紅綠綠個(gè)球個(gè)球盒中有盒中有 BA則有則有),()(BPABP .發(fā)生的可能性大小發(fā)生的可能性大小的發(fā)生并不影響的發(fā)生并不影響它表示它表示BA)()(BPABP

2、 由由)()()(BPAPABP 第第1章章 概率論基礎(chǔ)概率論基礎(chǔ) 一般地，有下面定義：一般地，有下面定義： 定義定義1.7 設(shè)設(shè)A，B是兩個(gè)事件，如果是兩個(gè)事件，如果P(AB)= P(A)P(B)，則稱，則稱A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立 顯然，當(dāng)顯然，當(dāng)P(A)0時(shí)，時(shí)，A與與B相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)P(B|A) = P(B) 顯然，當(dāng)顯然，當(dāng)P(B)0時(shí)，時(shí)，A與與B相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)P(A|B) = P(A)1.6.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性B,21)( AP若若AB).()()(BPAPABP 則則請(qǐng)看例子請(qǐng)看例子可見(jiàn)可見(jiàn)兩事件兩事件相互獨(dú)立，相互獨(dú)立

3、，但兩事件但兩事件不是互不相容的！不是互不相容的！請(qǐng)思考請(qǐng)思考: :, AB但但A兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立)()()(BPAPABP 兩事件互不相容兩事件互不相容 AB二者之間二者之間的關(guān)系？的關(guān)系？,21)( BP1.6.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性AB,21)(,21)( BPAP若若. )()()(BPAPABP 故故可見(jiàn)可見(jiàn)兩事件兩事件互不相容互不相容但但不獨(dú)立不獨(dú)立., 0)( ABP則則,41)()( BPAP, AB再看例子再看例子所以，所以，相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和互不相容互不相容是兩個(gè)不同的是兩個(gè)不同的概念，概念，不要把它們相容相混淆不要把它們相容相混淆1.6.1

4、 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性事實(shí)上：事實(shí)上：當(dāng)當(dāng)P(A)P(B) 0時(shí)，時(shí)， A與與B獨(dú)立獨(dú)立等價(jià)于等價(jià)于P(B|A)=P(B)且且P(|)= P()，說(shuō)明說(shuō)明,B是否發(fā)生互相沒(méi)有影響，因此是否發(fā)生互相沒(méi)有影響，因此A與與B獨(dú)立獨(dú)立一定不是互不相容的，反之一定不是互不相容的，反之A與與B互不相容一定不互不相容一定不獨(dú)立獨(dú)立當(dāng)當(dāng)A，B之一為之一為時(shí)，時(shí)， P(AB) = P(A)P(B)與與B 同時(shí)成立，即獨(dú)立同時(shí)成立，即獨(dú)立與互不相容并存與互不相容并存兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立)()()(BPAPABP 兩事件互不相容兩事件互不相容 AB二者之間沒(méi)二者之間沒(méi)有必然聯(lián)系有必然聯(lián)系1.

5、6.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性【例【例1.19】證明若事件證明若事件A與與B相互獨(dú)立，則下列各相互獨(dú)立，則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立：對(duì)事件也相互獨(dú)立：A與與 ，B與與 ， 與與 證證：因?yàn)椋阂驗(yàn)?所以所以 即即A與與 相互獨(dú)立相互獨(dú)立由此可推出由此可推出 與與 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，再由再由 又推出又推出B與與 相互獨(dú)立相互獨(dú)立BAABBAABBBAA )()()()()(BAPABPBAABPAP )()()(1)()(BPAPBPAPBAP BABBB A)()()(BAPBPAP 1.6.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性 2 2多個(gè)事件的獨(dú)立性多個(gè)事件的獨(dú)立性定義定義1

6、.8 設(shè)設(shè)A,B,C 為三個(gè)事件，如果等式為三個(gè)事件，如果等式P(AB ) = P( A )P( B )P(BC ) = P( B )P(C )P(AC ) = P(A)P(C )P(ABC ) = P(A )P(B )P(C )都成立，則稱事件都成立，則稱事件A，B，C相互獨(dú)立相互獨(dú)立另外另外,僅由僅由P(ABC)=P(A)P(B)P(C),既不能保證既不能保證A、B、C兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立,更不能保證三事件相互獨(dú)立更不能保證三事件相互獨(dú)立 注意注意三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立1.6.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性【例【例1.201.

7、20】一個(gè)均勻的正四面體一個(gè)均勻的正四面體， 其第一面染成其第一面染成紅紅色色，第二面染成第二面染成黃黃色色 ， 第三面染成第三面染成藍(lán)藍(lán)色色，而第而第四面同時(shí)染上四面同時(shí)染上紅紅、黃黃、藍(lán)藍(lán)三種顏色三種顏色. .現(xiàn)以現(xiàn)以 A A ，B B，C C 分別記投一次四面體分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、黃、藍(lán)顏色朝下的事出現(xiàn)紅、黃、藍(lán)顏色朝下的事件，件， 問(wèn)問(wèn) A，B，C是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立?解解由于在四面體中紅、黃、藍(lán)分別出現(xiàn)兩面，由于在四面體中紅、黃、藍(lán)分別出現(xiàn)兩面， 因此因此,21)()()( CPBPAP又由題意知又由題意知,41)()()( ACPBCPABP伯恩斯坦反伯恩斯坦反例例1.6

8、.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性故有故有因此因此 A，B，C 不相互獨(dú)立不相互獨(dú)立. ,41)()()(,41)()()(,41)()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP則三事件則三事件 A, B, C 兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立.由于由于41)( ABCP),()()(81CPBPAP 1.6.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性【例【例1.21】設(shè)一口袋中有設(shè)一口袋中有100個(gè)球，其中有個(gè)球，其中有7個(gè)是個(gè)是紅的，紅的，25個(gè)是黃的，個(gè)是黃的，24個(gè)是黃藍(lán)兩色的，個(gè)是黃藍(lán)兩色的，1個(gè)是紅個(gè)是紅黃藍(lán)三色的，其余黃藍(lán)三色的，其余43個(gè)是無(wú)色的現(xiàn)從中任取一個(gè)是無(wú)色的現(xiàn)從中任取一個(gè)

9、球，以個(gè)球，以A、B、C分別表示取得的球有紅色的、分別表示取得的球有紅色的、有黃色的、有藍(lán)色的事件有黃色的、有藍(lán)色的事件另一個(gè)反例另一個(gè)反例(略略)1.6.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性 顯然顯然, 故故P(ABC) = P(A)P(B)P(C)顯然又有顯然又有 P(AB) P(A)P(B) P(AC) P(A)P(C) P(BC) P(B)P(C)即即A、B、C不是兩兩相互獨(dú)立的更不是相互獨(dú)不是兩兩相互獨(dú)立的更不是相互獨(dú)立的立的.,252)( AP,21)( BP,41)( CP,1001)( ABP,41)( BCP,1001)( ACP,1001)( ABCP1.6.1 1.6

10、.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性 定義推廣：定義推廣：如果事件如果事件A1,A2,An（n 2）中任）中任意意k（2 k n）個(gè)事件積事件的概率都等于各個(gè)）個(gè)事件積事件的概率都等于各個(gè)事件的概率之積，則稱事件的概率之積，則稱A1,A2,An相互獨(dú)立相互獨(dú)立；如果如果A1,A2,An中任意中任意兩個(gè)兩個(gè)事件相互獨(dú)立，事件相互獨(dú)立，則稱則稱A1,A2,An兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立 n 個(gè)事件相互獨(dú)立個(gè)事件相互獨(dú)立n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立1.6.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性兩個(gè)結(jié)論兩個(gè)結(jié)論.)2(,)2(,)1(21個(gè)事件也是相互獨(dú)立個(gè)事件也是相互獨(dú)立其中任意其中任意則則相互獨(dú)立相互

11、獨(dú)立若事件若事件nkknAAAn . ,)2(,)2(2121個(gè)事件仍相互獨(dú)立個(gè)事件仍相互獨(dú)立所得的所得的立事件立事件們的對(duì)們的對(duì)中任意多個(gè)事件換成它中任意多個(gè)事件換成它則將則將相互獨(dú)立相互獨(dú)立個(gè)事件個(gè)事件若若nAAAnAAAnnn 1.6.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性 在實(shí)際應(yīng)用中，事件的獨(dú)立性常常根據(jù)事件在實(shí)際應(yīng)用中，事件的獨(dú)立性常常根據(jù)事件的實(shí)際意義去判斷的實(shí)際意義去判斷 一般情況下，若各事件之間沒(méi)有關(guān)聯(lián)或關(guān)聯(lián)一般情況下，若各事件之間沒(méi)有關(guān)聯(lián)或關(guān)聯(lián)很弱，就可以認(rèn)為它們是相互獨(dú)立的很弱，就可以認(rèn)為它們是相互獨(dú)立的1.6.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性【例【例1.22】

12、設(shè)某地區(qū)某時(shí)間每人的血清中含有肝設(shè)某地區(qū)某時(shí)間每人的血清中含有肝炎病毒的概率為炎病毒的概率為0.4%，混合，混合100個(gè)人的血清，求血個(gè)人的血清，求血清中含有肝炎病毒的概率清中含有肝炎病毒的概率 解解：設(shè)設(shè)Ai =“第第i人的血清中含有肝炎病毒人的血清中含有肝炎病毒”，i = 1, 2, , 100，可以認(rèn)為諸可以認(rèn)為諸Ai是相互獨(dú)立的，從而諸是相互獨(dú)立的，從而諸 也是相互獨(dú)也是相互獨(dú)立的，且立的，且 則要求的概率為則要求的概率為iA,996. 0004. 01)( iAP )(1001iiAP 1001)(1 iiAP)(11001iiAP 33. 0996. 01100 1.6.1 1.6

13、.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性【例【例1.23】從從1至至9這這9個(gè)數(shù)字中，有放回地取個(gè)數(shù)字中，有放回地取3個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)字，每次任取字，每次任取1個(gè)，求所取的個(gè)，求所取的3個(gè)數(shù)之積能被個(gè)數(shù)之積能被10整整除的概率除的概率 解法一解法一：設(shè)設(shè)A =“所取的所取的3個(gè)數(shù)之積能被個(gè)數(shù)之積能被10整除整除”，A1 =“所取的所取的3個(gè)數(shù)中含有數(shù)字個(gè)數(shù)中含有數(shù)字5”，A2 =“所取的所取的3個(gè)個(gè)數(shù)中含有偶數(shù)數(shù)中含有偶數(shù)”，則則A = A1A2，所以所以考慮到三次取數(shù)相互獨(dú)立考慮到三次取數(shù)相互獨(dú)立)()(21AAPAP )(121AAP )(121AAP ,98)(31 AP)()()(12121AAPAPA

14、P ,95)(32 AP1.6.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性所以所以32194)( AAP)()()(1)(2121AAPAPAPAP 214. 09495981333 1.6.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性解法二：解法二：設(shè)設(shè)Ak表示表示“第第k次取得數(shù)字次取得數(shù)字5”，Bk表示表示“第第k次次取得偶數(shù)取得偶數(shù)”，k = 1，2，3，則，則A = (A1A2A3) (B1B2B3)，由于由于所以所以)()(321321BBBAAAA )()()()(321321321321BBBAAAPBBBPAAAPAP )()(321321BBBAAA 1.6.1 1.6.1 事件

15、的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性由于是有放回的取數(shù)，所以各次抽取結(jié)果相互獨(dú)由于是有放回的取數(shù)，所以各次抽取結(jié)果相互獨(dú)立，并且立，并且因此因此 )()()(321APAPAP )()()(321BPBPBP )()()(332211BAPBAPBAP )(1)(APAP989594 3339495981214. 0786. 01 1.6.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性. . )4, 3, 2, 1(, )(4, 3, 2, 14,.)()(試求系統(tǒng)的可靠性試求系統(tǒng)的可靠性個(gè)元件的可靠性為個(gè)元件的可靠性為設(shè)第設(shè)第稱為串并聯(lián)系統(tǒng)稱為串并聯(lián)系統(tǒng)聯(lián)結(jié)聯(lián)結(jié)按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式工作的元件工

16、作的元件個(gè)獨(dú)立個(gè)獨(dú)立設(shè)有設(shè)有如圖所示如圖所示的可靠性的可靠性或系統(tǒng)或系統(tǒng)元件元件能正常工作的概率稱為能正常工作的概率稱為或系統(tǒng)或系統(tǒng)一個(gè)元件一個(gè)元件 ipii1234 解解,)4 , 3 , 2 , 1(個(gè)元件正常工作個(gè)元件正常工作表示事件第表示事件第以以iiAi 【補(bǔ)充例【補(bǔ)充例】. 表示系統(tǒng)正常工作表示系統(tǒng)正常工作以以 A1.6.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性.4321AAAAA 則有則有:,得得系系統(tǒng)統(tǒng)的的可可靠靠性性立立性性由由加加法法公公式式及及事事件件的的獨(dú)獨(dú))()()()(43214321AAAAPAAPAAPAP )()()()()()()()(43214321APA

17、PAPAPAPAPAPAP .43214321pppppppp 1.6.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性 【補(bǔ)充例補(bǔ)充例】某一治療方法對(duì)一個(gè)病人有效的概某一治療方法對(duì)一個(gè)病人有效的概率為率為0.9 ，今對(duì)，今對(duì)3個(gè)病人進(jìn)行了治療，求對(duì)個(gè)病人進(jìn)行了治療，求對(duì)3個(gè)病人個(gè)病人的治療中，至少有一人是有效的概率的治療中，至少有一人是有效的概率.設(shè)對(duì)各個(gè)病設(shè)對(duì)各個(gè)病人的治療效果是相互獨(dú)立的人的治療效果是相互獨(dú)立的.則則個(gè)人有效”個(gè)人有效”“對(duì)第“對(duì)第，人有效的人有效的至少至少個(gè)病人治療中個(gè)病人治療中對(duì)對(duì)設(shè)設(shè)解法一解法一,”1,3“iAAi )()(321AAAPAP )()()()()()()(3

18、21133221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP .1.6.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性解法二解法二)(1)(APAP 999. 0) 9 . 01 (13 )(1321AAAP )(1)(1)(1(1321APAPAP 1.6.1 1.6.1 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性 1.6.2 1.6.2 試驗(yàn)的獨(dú)立性試驗(yàn)的獨(dú)立性定義定義1.9 如果第一次試驗(yàn)的任一結(jié)果，第二次如果第一次試驗(yàn)的任一結(jié)果，第二次試驗(yàn)的任一結(jié)果，試驗(yàn)的任一結(jié)果，第，第n次試驗(yàn)的任一結(jié)果都是次試驗(yàn)的任一結(jié)果都是相互獨(dú)立的事件，則稱這相互獨(dú)立的事件，則稱這n次試驗(yàn)相互獨(dú)立，如果次試驗(yàn)相互獨(dú)立，如果這這n次獨(dú)

19、立試驗(yàn)還是相同的，則稱為次獨(dú)立試驗(yàn)還是相同的，則稱為n重獨(dú)立重復(fù)試重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)驗(yàn)，如果在，如果在n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)的可能重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)的可能結(jié)果為兩個(gè)：結(jié)果為兩個(gè)：A或或 ，則稱這種試驗(yàn)為，則稱這種試驗(yàn)為n重伯努利試重伯努利試驗(yàn)驗(yàn) 例如例如 擲擲n枚硬幣，從枚硬幣，從一大批產(chǎn)品一大批產(chǎn)品中抽查中抽查n個(gè)產(chǎn)品等，個(gè)產(chǎn)品等，都是都是n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)A1.6 獨(dú)立性獨(dú)立性 在重伯努利試驗(yàn)中，若事件在重伯努利試驗(yàn)中，若事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率均為生的概率均為P(A) = p，(0 p 1)，那么，那么,事件事件A發(fā)發(fā)生生k (k=1,2,n)次的

20、概率次的概率pk是多少呢是多少呢? 由于試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，如果事件由于試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，如果事件A在在n次獨(dú)立次獨(dú)立試驗(yàn)中某指定的試驗(yàn)中某指定的k次試驗(yàn)（比如說(shuō)前次試驗(yàn)（比如說(shuō)前k次試驗(yàn)）中發(fā)次試驗(yàn)）中發(fā)生，而在其余生，而在其余n k次試驗(yàn)中不發(fā)生，其概率為次試驗(yàn)中不發(fā)生，其概率為其中其中Ai表示表示“A在第在第i次試驗(yàn)中發(fā)生次試驗(yàn)中發(fā)生”，i = 1,2, , n )(121nkkAAAAAPknknkkppAPAPAPAPAP )1()()()()()(1211.6.11.6.1試驗(yàn)的獨(dú)立性試驗(yàn)的獨(dú)立性由組合知識(shí)，由組合知識(shí)，A在在n次試驗(yàn)中發(fā)生次試驗(yàn)中發(fā)生k次共有次共有 種不種不同的情況

21、，而每種情況的概率都是同的情況，而每種情況的概率都是并且這些情況是互不相容的故所求概率為并且這些情況是互不相容的故所求概率為k = 1，2，nknC,)1(knkpp ,)1(knkknkppCp 1.6.11.6.1試驗(yàn)的獨(dú)立性試驗(yàn)的獨(dú)立性【例【例1.24】八門(mén)火炮同時(shí)獨(dú)立地向一目標(biāo)各射擊八門(mén)火炮同時(shí)獨(dú)立地向一目標(biāo)各射擊一發(fā)炮彈，共有不少于一發(fā)炮彈，共有不少于2發(fā)炮彈命中目標(biāo)時(shí)，目標(biāo)發(fā)炮彈命中目標(biāo)時(shí)，目標(biāo)就被擊毀，如果每門(mén)炮命中目標(biāo)的概率為就被擊毀，如果每門(mén)炮命中目標(biāo)的概率為0.6，求，求擊毀目標(biāo)的概率擊毀目標(biāo)的概率 解解：本題可看作本題可看作p=0.6，n=8的的n重伯努利試驗(yàn)，重伯努利試

22、驗(yàn)，所求概率是事件所求概率是事件A在在8次獨(dú)立試驗(yàn)中至少出現(xiàn)兩次次獨(dú)立試驗(yàn)中至少出現(xiàn)兩次的概率，即的概率，即 82kkpkkkkC 8108)4 . 0()6 . 0(1 101kkp784 . 06 . 084 . 01 9915. 0 1.6.11.6.1試驗(yàn)的獨(dú)立性試驗(yàn)的獨(dú)立性【補(bǔ)充例【補(bǔ)充例】 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人擊中的概率分別為三人擊中的概率分別為 0.4, 0.5, 0.7, 飛機(jī)被一人飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為擊中而被擊落的概率為0.2 ,被兩人擊中而被擊落被兩人擊中而被擊落的概率為的概率為 0.6 , 若三人都擊中飛機(jī)必定

23、被擊落若三人都擊中飛機(jī)必定被擊落, 求求飛機(jī)被擊落（記為飛機(jī)被擊落（記為H）的概率）的概率.解解 ,個(gè)個(gè)人人擊擊中中飛飛機(jī)機(jī)表表示示有有設(shè)設(shè)iAiA, B, C 分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī) , , 7 . 0)(, 5 . 0)(, 4 . 0)( CPBPAP則則飛飛機(jī)機(jī)被被擊擊落落的的概概率率為為：由由全全概概率率公公式式 ,)|()()|()()|()()(332211AHPAPAHPAPAHPAPHP )()()()()()()()()()(1CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP 得得7 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0 .36. 0 ,2BCACBACABA 由由)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP .41. 0 )()(2BCACBACABPAP 得得,1CBACBACBAA 由由, 3ABCA 由由)()( 3