第2課時(shí)組合的綜合應(yīng)用

1、第2課時(shí) 組合的綜合應(yīng)用 1. 1. 排列與組合之間的關(guān)系排列與組合之間的關(guān)系. .（2 2）同是從）同是從n n個(gè)不同元素中取個(gè)不同元素中取m m個(gè)元素，但是組合個(gè)元素，但是組合一旦取完就結(jié)束，而排列還要繼續(xù)進(jìn)行排序一旦取完就結(jié)束，而排列還要繼續(xù)進(jìn)行排序. .（1 1）有序與無(wú)序的區(qū)別）有序與無(wú)序的區(qū)別. .2. 2. 組合數(shù)的定義與公式組合數(shù)的定義與公式1 1 所有所有不同組合的個(gè)數(shù)不同組合的個(gè)數(shù)mnCmnCm-1nCmn-mnnC C；mn+1C0nC1.1.掌握組合的有關(guān)性質(zhì)掌握組合的有關(guān)性質(zhì)（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）2.2.能解決有關(guān)組合的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題能解決有關(guān)組合的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題（難點(diǎn)）（難點(diǎn)

2、）3.3.能解決無(wú)限制條件的組合問(wèn)題能解決無(wú)限制條件的組合問(wèn)題探究點(diǎn)探究點(diǎn) “ “免費(fèi)免費(fèi)”摸獎(jiǎng)的奧秘摸獎(jiǎng)的奧秘1.1.總分為總分為100100分分者可獲轎車一輛者可獲轎車一輛. .2.2.總分為總分為5050分者可獲電腦一臺(tái)分者可獲電腦一臺(tái). .游戲規(guī)則：游戲規(guī)則：箱子中放有標(biāo)有箱子中放有標(biāo)有5 5分、分、1010分的小球各分的小球各1010個(gè)，個(gè)，參加者每次從箱子中一次性取出參加者每次從箱子中一次性取出1010個(gè)小球個(gè)小球3.3.總分為總分為9595或或5555分者可獲手機(jī)一部分者可獲手機(jī)一部. .5.5.總分為總分為8080或或7575分者需購(gòu)買我公司促銷產(chǎn)品分者需購(gòu)買我公司促銷產(chǎn)品:

3、: 價(jià)值價(jià)值3030元元400mL400mL綠色裝飄柔洗發(fā)水綠色裝飄柔洗發(fā)水1 1瓶瓶. .4.4.總分為總分為90,85,70,65,6090,85,70,65,60分者分者可獲迷你太陽(yáng)鏡一副可獲迷你太陽(yáng)鏡一副. .思考題思考題1 1： 箱內(nèi)有箱內(nèi)有2020個(gè)不同的小球，每次摸出個(gè)不同的小球，每次摸出1010個(gè)小球，個(gè)小球，共有多少種不同的結(jié)果？共有多少種不同的結(jié)果？解：解： =184 756=184 756種種. .1020C思考題思考題2 2： 請(qǐng)計(jì)算出摸到請(qǐng)計(jì)算出摸到7575分或分或8080分的可能性是多少？分的可能性是多少？解：解：摸到摸到7575分的情況是分的情況是5 5個(gè)個(gè)101

4、0分和分和5 5個(gè)個(gè)5 5分球分球 即即 1010 5 + 5 5 + 5 5 = 75 5 = 75， 摸到摸到8080分的情況是分的情況是6 6個(gè)個(gè)1010分和分和4 4個(gè)個(gè)5 5分球，分球，即即10106+56+54 = 80,4 = 80,故摸到故摸到7575或或8080的可能性是：的可能性是： 556410101010102063 50444 100058.24.0184 756CCCCC思考題思考題3 3： 請(qǐng)計(jì)算出摸到請(qǐng)計(jì)算出摸到5050分和分和100100分的可能性分別是多少分的可能性分別是多少. .解：解：摸到摸到5050分的情況：只有分的情況：只有1 1種即一次性摸出種即一

5、次性摸出1010個(gè)個(gè)5 5分球，同理摸出分球，同理摸出100100分的情況也只有分的情況也只有1 1種，即種，即一次性摸出一次性摸出1010個(gè)個(gè)1010分球分球. .所以摸到所以摸到5050分和分和100100分分的可能性均是的可能性均是 ： 1020110.000 54%.184 756C例例1 1 一位教練的足球隊(duì)共有一位教練的足球隊(duì)共有 17 17 名初級(jí)學(xué)員，他名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒(méi)有一人參加過(guò)比賽按照足球比賽規(guī)則，們中以前沒(méi)有一人參加過(guò)比賽按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是1111人問(wèn)：人問(wèn)：(l)(l)這位教練從這這位教練從這 17 17

6、名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)方案？員上場(chǎng)方案？ (2)(2)如果在選出如果在選出1111名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？分析：分析：對(duì)于（對(duì)于（1 1），根據(jù)題意，），根據(jù)題意，1717名學(xué)員沒(méi)有角色名學(xué)員沒(méi)有角色差異，地位完全一樣，因此這是一個(gè)從差異，地位完全一樣，因此這是一個(gè)從 17 17 個(gè)不同個(gè)不同元素中選出元素中選出1111個(gè)元素的組合問(wèn)題；對(duì)于（個(gè)元素的組合問(wèn)題；對(duì)于（2 2） ，守，守門員的位置是特殊的，其余上場(chǎng)學(xué)員的地位沒(méi)有差門員的位置是特殊的，

7、其余上場(chǎng)學(xué)員的地位沒(méi)有差異，因此這是一個(gè)分步完成的組合問(wèn)題異，因此這是一個(gè)分步完成的組合問(wèn)題解：解：（1 1）由于上場(chǎng)學(xué)員沒(méi)有角色差異，所以可以）由于上場(chǎng)學(xué)員沒(méi)有角色差異，所以可以形成的學(xué)員上場(chǎng)方案有形成的學(xué)員上場(chǎng)方案有（2 2）教練員可以分兩步完成這件事情：）教練員可以分兩步完成這件事情：第第1 1步，從步，從1717名學(xué)員中選出名學(xué)員中選出1111人組成上場(chǎng)小組，共人組成上場(chǎng)小組，共有有 種選法；種選法；第第2 2步，從選出的步，從選出的1111人中選出人中選出 1 1 名守門員，共有名守門員，共有 種選法種選法所以教練員做這件事情的方法數(shù)為所以教練員做這件事情的方法數(shù)為1117C12 3

8、76 . 1117C111C1111711CC136 136. 例例2 2 （1 1）平面內(nèi)有）平面內(nèi)有10 10 個(gè)點(diǎn)，以其中每個(gè)點(diǎn)，以其中每2 2 個(gè)點(diǎn)為個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？端點(diǎn)的線段共有多少條？(2(2）平面內(nèi)有）平面內(nèi)有 10 10 個(gè)點(diǎn)，以其中每個(gè)點(diǎn)，以其中每 2 2 個(gè)點(diǎn)為端個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？點(diǎn)的有向線段共有多少條？解：解：(1(1）以平面內(nèi)）以平面內(nèi) 10 10 個(gè)點(diǎn)中每個(gè)點(diǎn)中每 2 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，就是從的線段的條數(shù)，就是從1010個(gè)不同的元素中取出個(gè)不同的元素中取出2 2個(gè)元素的組合數(shù)，即線段條數(shù)為個(gè)元素的組合數(shù)，即線段條數(shù)為 21

9、010 945.2 1C（2 2）由于有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)是起點(diǎn)、）由于有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)是起點(diǎn)、另一個(gè)是終點(diǎn)，以平面內(nèi)另一個(gè)是終點(diǎn)，以平面內(nèi)1010個(gè)點(diǎn)中每個(gè)點(diǎn)中每 2 2 個(gè)點(diǎn)為個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從1010個(gè)不同元素中個(gè)不同元素中取出取出2 2個(gè)元素的排列數(shù)，即有向線段條數(shù)為個(gè)元素的排列數(shù)，即有向線段條數(shù)為21010 990.A例例3 3 在在 100 100 件產(chǎn)品中，有件產(chǎn)品中，有 98 98 件合格品，件合格品，2 2 件件次品從這次品從這 100 100 件產(chǎn)品中任意抽出件產(chǎn)品中任意抽出 3 3 件件 . .(1(1）有多少種不同

10、的抽法？）有多少種不同的抽法？(2(2）抽出的）抽出的 3 3 件中恰好有件中恰好有 1 1 件是次品的抽法有件是次品的抽法有多少種？多少種？ (3(3）抽出的）抽出的 3 3 件中至少有件中至少有 1 1 件是次品的抽法有件是次品的抽法有多少種？多少種？解：解：(1(1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100100件產(chǎn)件產(chǎn)品中取出品中取出3 3件的組合數(shù)，所以共有件的組合數(shù)，所以共有 = 161 700= 161 700（種）（種） . . (2 (2）從）從2 2 件次品中抽出件次品中抽出 1 1 件次品的抽法有件次品的抽法有 種，種，從從9898件合格品中抽出件

11、合格品中抽出 2 2 件合格品的抽法有件合格品的抽法有 種，種，因此抽出的因此抽出的 3 3 件中恰好有件中恰好有 1 1 件次品的抽法有件次品的抽法有 =9 506=9 506（種）（種）. . 3100100 99 983 2 1 C12C298C12298C C(3(3）解法）解法1 1 從從100100件產(chǎn)品抽出的件產(chǎn)品抽出的3 3件中至少有件中至少有 1 1 件是次品，包括有件是次品，包括有1 1件次品和有件次品和有2 2件次品兩種情件次品兩種情況在第（況在第（2 2）小題中已求得其中）小題中已求得其中1 1件是次品的抽法有件是次品的抽法有 種，因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，抽出的種，因

12、此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，抽出的3 3 件中至少有一件是次品的抽法有件中至少有一件是次品的抽法有 + =9 604+ =9 604（種）（種）. . 解法解法2 2 抽出的抽出的3 3 件產(chǎn)品中至少有件產(chǎn)品中至少有 1 1 件是次品的抽法件是次品的抽法的種數(shù)，也就是從的種數(shù)，也就是從100100件中抽出件中抽出3 3 件的抽法種數(shù)減去件的抽法種數(shù)減去3 3 件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即 =161 700-152 096 = 9 604 . =161 700-152 096 = 9 604 . 說(shuō)明：說(shuō)明：“至少至少”“”“至多至多”的問(wèn)題，通常用分類法或的問(wèn)題，通

13、常用分類法或間接法求解間接法求解. .12298C C12298C C21298C C3310098CC想一想：想一想：滿足什么條件的兩個(gè)組合是相同的組合滿足什么條件的兩個(gè)組合是相同的組合？提示：提示：如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，不管它們?nèi)绻麅蓚€(gè)組合中的元素完全相同，不管它們的順序如何，就是相同的組合，否則就是兩個(gè)不相的順序如何，就是相同的組合，否則就是兩個(gè)不相同的組合同的組合( (即使只有一個(gè)元素不同即使只有一個(gè)元素不同) )【總結(jié)提升總結(jié)提升】實(shí)際問(wèn)題中每一步、實(shí)際問(wèn)題中每一步、每一類中的計(jì)數(shù)問(wèn)題每一類中的計(jì)數(shù)問(wèn)題化歸化歸（建模）（建模）組合問(wèn)題組合問(wèn)題求數(shù)學(xué)模求數(shù)學(xué)模型的解型的解求組合

14、數(shù)求組合數(shù)得問(wèn)題的解得問(wèn)題的解1.1.組合應(yīng)用題的解法組合應(yīng)用題的解法(1)(1)無(wú)限制條件的組合應(yīng)用題的解法步驟為：無(wú)限制條件的組合應(yīng)用題的解法步驟為：“一、判斷；二、轉(zhuǎn)化；三、求值；四、作答一、判斷；二、轉(zhuǎn)化；三、求值；四、作答”(2)(2)有限制條件的組合應(yīng)用題的解法有限制條件的組合應(yīng)用題的解法常用解法有：直接法、間接法，可將條件視為特殊元常用解法有：直接法、間接法，可將條件視為特殊元素或特殊位置，一般地，按從不同位置選取元素的順?biāo)鼗蛱厥馕恢?，一般地，按從不同位置選取元素的順序分步，或按從同一位置選取的元素個(gè)數(shù)的多少分類序分步，或按從同一位置選取的元素個(gè)數(shù)的多少分類2.2.排列組合綜合題

15、的一般解法排列組合綜合題的一般解法 一般堅(jiān)持先組后排的原則，即先選元素后排列，一般堅(jiān)持先組后排的原則，即先選元素后排列，同時(shí)注意按元素性質(zhì)分類或按事件的發(fā)生過(guò)程分步同時(shí)注意按元素性質(zhì)分類或按事件的發(fā)生過(guò)程分步3.3.解決受限制條件的排列、組合問(wèn)題的一般策略解決受限制條件的排列、組合問(wèn)題的一般策略(1)(1)特殊元素優(yōu)先安排的策略；特殊元素優(yōu)先安排的策略；(2)(2)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略；正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略；(3)(3)相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略；相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略；(4)(4)不相鄰問(wèn)題插空處理的策略；不相鄰問(wèn)題插空處理的策略；(5)(5)定序問(wèn)題除法處理的策略；定序問(wèn)題除法處理的策

16、略；(6)“(6)“小集團(tuán)小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先整體后局部的策略；排列問(wèn)題中先整體后局部的策略；(7)(7)平均分組問(wèn)題，除法處理的策略；平均分組問(wèn)題，除法處理的策略；(8)(8)構(gòu)造模型的策略構(gòu)造模型的策略1 1某校開設(shè)某校開設(shè)A A類選修課類選修課3 3門，門，B B類選修課類選修課4 4門，一位同門，一位同學(xué)從中共選學(xué)從中共選3 3門，若要求兩類課程中各至少選一門，門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有則不同的選法共有( () )A A3030種種B B3535種種 C C4242種種 D D4848種種解：解：分兩類：分兩類：(1)A(1)A選選1 1門，門，B B選選2 2

17、門，共門，共 種選法；種選法；(2)A(2)A選選2 2門，門，B B選選1 1門，共門，共 種選法種選法所以，不同選法共所以，不同選法共A A12213434C CC C30種30種2134C C1234C C2.2.在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形中，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形中，與正八邊形沒(méi)有公共邊的三角形有與正八邊形沒(méi)有公共邊的三角形有( () )A A2424個(gè)個(gè) B B4848個(gè)個(gè) C C1616個(gè)個(gè) D D8 8個(gè)個(gè)解：解：連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形的個(gè)數(shù)連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形的個(gè)數(shù)為為 其中有兩個(gè)公共邊的三角形有其中有兩個(gè)公共邊的三角形有8 8個(gè)，

18、有一個(gè)，有一個(gè)公共邊的三角形有個(gè)公共邊的三角形有 所以共有所以共有C C1184CC ，38C ，311884C8C C 個(gè)16163 3按按ABOABO血型系統(tǒng)學(xué)說(shuō)，每個(gè)人的血型為血型系統(tǒng)學(xué)說(shuō)，每個(gè)人的血型為A A，B B，O O，ABAB四種之一，依血型遺傳學(xué)，當(dāng)且僅當(dāng)父母中四種之一，依血型遺傳學(xué)，當(dāng)且僅當(dāng)父母中至少有一人的血型是至少有一人的血型是ABAB型時(shí)，子女一定不是型時(shí)，子女一定不是O O型，型，若某人的血型為若某人的血型為O O型，則父母血型所有可能情況有型，則父母血型所有可能情況有_種種解：解：父母血型應(yīng)為父母血型應(yīng)為A A或或B B或或O O型，型，9 91133CC9 種9 種 4 4某學(xué)習(xí)小組有某學(xué)習(xí)小組有8 8名學(xué)生，從男生中選名學(xué)生，從男生中選2 2人，女人，女生中選生中選1 1人，參加三種不同的活動(dòng)，要求每項(xiàng)活人，參加三種不同的活動(dòng)，要求每項(xiàng)活動(dòng)均有一人參加，共有動(dòng)均有一人參加，共有180180種不同的選法，那么種不同的選法，那么該小組中男、女同學(xué)各有多少人？該小組中男、女同學(xué)各有多少