光學(xué)課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、光學(xué)課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)第二篇 波動(dòng)光學(xué)基本知識(shí)在經(jīng)典物理的范疇內(nèi)，光是電磁波的一種，其傳播規(guī)律遵循麥克斯韋方程組。由于光也是波，所以描述波的一些基本理論和方法可以用來(lái)研究光波，其存在干涉和衍射等現(xiàn)象；但光波與一般的機(jī)械波還是有很大的不同，首先其傳播不需要任何媒質(zhì)（雖然光波和媒質(zhì)存在相互作用），其次光波其傳播的量是電矢量和磁矢量，是矢量波（在光波中，由于引起人的視覺(jué)效果的主要是電矢量，所以，在光學(xué)中，一般只分析電矢量，而且將其近似看成是標(biāo)量波來(lái)處理）。1、 平面波、球面波、定態(tài)波的概念平面波、球面波是依據(jù)其波面（等位相面）的形狀來(lái)劃分的。定態(tài)波：（1）空間各點(diǎn)的擾動(dòng)是同頻率的簡(jiǎn)諧振蕩（頻率與位相相同）

2、；（2）波場(chǎng)中各點(diǎn)擾動(dòng)的振幅不隨時(shí)間變化，在空間形成一個(gè)穩(wěn)定的振幅分布。定態(tài)平面波：（1）振幅A(P)是常數(shù)，它與場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)關(guān)；（2）位相是直角坐標(biāo)的線性函數(shù),(其中是常數(shù)，是波矢在空間三個(gè)直角坐標(biāo)軸上的分量)。定態(tài)球面波：（1）振幅A(P)反比于場(chǎng)點(diǎn)到源點(diǎn)的距離，；（2）位相的分布形式為，其中為波矢，為波場(chǎng)P點(diǎn)相對(duì)于源點(diǎn)的位置矢徑，為初位相（用正位相表示位相的落后）。2、復(fù)振幅、（相對(duì)）強(qiáng)度復(fù)振幅的定義：，其中為P點(diǎn)的位相；共軛波的復(fù)振幅：平面波的復(fù)振幅：；球面波的復(fù)振幅：；（相對(duì)）強(qiáng)度：。3、傍軸條件和遠(yuǎn)場(chǎng)條件 實(shí)質(zhì)問(wèn)題：在什么條件下可把球面波看作平面波，主要是從復(fù)振幅大小和位相分布兩個(gè)方

3、面來(lái)考慮。傍軸條件：場(chǎng)點(diǎn)到源點(diǎn)的距離要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于場(chǎng)點(diǎn)處波前的橫向尺度，。遠(yuǎn)場(chǎng)條件：場(chǎng)點(diǎn)到源點(diǎn)的距離要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于場(chǎng)點(diǎn)處波前的橫向尺度的平方與光波波長(zhǎng)的比值，。注意：（1）對(duì)于長(zhǎng)波，傍軸條件蘊(yùn)涵了遠(yuǎn)場(chǎng)條件，對(duì)于短波，遠(yuǎn)場(chǎng)條件蘊(yùn)涵了傍軸條件。（2）在滿足傍軸條件和遠(yuǎn)場(chǎng)條件時(shí)，可把球面波當(dāng)作平面波來(lái)處理，但這里所謂的平面波就一般而言（含軸上和軸外物點(diǎn)情形）與前面所講的平面波還是有一定的差異：對(duì)于垂直于軸線的確定的平面（是定值）上的各點(diǎn)，振幅是一定的，但不同的平面上振幅是不同的，。（3）在滿足傍軸條件下（）4、光波的干涉相干條件：（1）頻率相同； （2）存在相互平行的振動(dòng)分量； （3）位相差恒定。獲得相干光

4、的常見(jiàn)方法：（1） 分波前法：楊氏干涉、菲涅耳雙面鏡和雙棱鏡、洛埃鏡；（2） 分振幅法：薄膜的等厚和等傾干涉、邁克爾遜干涉。兩列相干光的干涉分析：， （光程差）； 對(duì)應(yīng)于極大； 對(duì)應(yīng)于極小。干涉實(shí)例：（1）楊氏干涉：，一組明暗相間的平行條紋，條紋間距為。（2）薄膜表面的等厚干涉（不考慮半波損失）：，一組明暗相間的平行條紋，（明條紋）（暗條紋）。正入射時(shí)，條紋間的高度差為。（3）牛頓環(huán)（等厚干涉，透鏡的上表面是平面，下表面是球面）干涉條紋為明暗相間的同心圓環(huán)第k級(jí)暗紋的半徑：；主要用來(lái)測(cè)透鏡的曲率半徑：（4）薄膜無(wú)窮遠(yuǎn)處的等傾干涉（不考慮半波損失）干涉條紋為明暗相間的同心圓環(huán)，中心條紋的干涉級(jí)最

5、高。條紋間隔：（5）邁克爾遜干涉（類似于薄膜的等傾和等厚干涉） ，條紋間隔：干涉條紋質(zhì)量的評(píng)價(jià)由條紋的反襯度來(lái)描述：，光場(chǎng)的空間相干性和時(shí)間相干性擴(kuò)展光源不同部分發(fā)出的光具有獨(dú)立性，不相干；對(duì)于擴(kuò)展光源的波場(chǎng)中，只有在一定空間范圍內(nèi)（孔徑角內(nèi)）取出的兩列光才能具有相干性，。 由于光源發(fā)光過(guò)程在時(shí)間上具有斷續(xù)性，不存在嚴(yán)格的單色光（波列為無(wú)限長(zhǎng)的光），在波場(chǎng)取出的兩列光波必須在一定的時(shí)間范圍內(nèi)（相干時(shí)間或相干長(zhǎng)度內(nèi)）相遇才能產(chǎn)生相干，。5、光波的衍射衍射的概念光波在傳播的過(guò)程中，由于受到其它物質(zhì)（衍射屏）的作用，波面的傳播受到影響，在以后的波場(chǎng)區(qū)中，各點(diǎn)的光強(qiáng)分布發(fā)生變化，使某些點(diǎn)（區(qū)域）的光強(qiáng)

6、變大，另一些點(diǎn)（區(qū)域）的光強(qiáng)變?nèi)醯默F(xiàn)象，稱為光的衍射。衍射的分類 菲涅耳衍射、夫瑯和費(fèi)衍射。研究光的衍射的常見(jiàn)方法 處理問(wèn)題的核心思想是次波相干，具體的有矢量圖解法、復(fù)振幅法，還有菲涅耳半波帶近似法。要注意各種處理方法的優(yōu)缺點(diǎn)和基本思路。(1) 矢量圖解法：將次波的復(fù)振幅用矢量來(lái)表示（矢量的大小表示次波復(fù)振幅的大小，方向表示次波復(fù)振幅的位相），按照矢量合成的方法分析出衍射的復(fù)振幅或強(qiáng)度的分布規(guī)律。(2) 菲涅耳衍射積分公式：衍射場(chǎng)中任一點(diǎn)P的復(fù)振幅；為比列系數(shù)，; ：波面上的面元；是面元上Q點(diǎn)的復(fù)振幅;：傾斜因子，其中分別是場(chǎng)源和場(chǎng)點(diǎn)P相對(duì)于面元的方位角；：面元到場(chǎng)點(diǎn)P的距離；：球面波的位相因

7、子。(3)菲涅耳半波帶法（a）菲涅耳半波帶法是處理次波相干的一種近似的簡(jiǎn)單的方法； （b）將波前分解一系列環(huán)形波帶，每一個(gè)環(huán)形波帶到光場(chǎng)中某一點(diǎn)（任選的一個(gè)要分析的點(diǎn)）點(diǎn)的光程差依次相差半個(gè)波長(zhǎng)（所以稱為半波帶法）。 （c）每一個(gè)半波帶上發(fā)出的次波波源近似看成具有相同的復(fù)振幅大小，到達(dá)P點(diǎn)的復(fù)振幅位相差為（反相）； （d）考慮到傾斜因子的影響，每一個(gè)半波帶在點(diǎn)的復(fù)振幅的大小隨其到達(dá)點(diǎn)光程的增大緩慢變小，最后趨近于零； （e）點(diǎn)的復(fù)振幅是這些半波帶在點(diǎn)的復(fù)振幅的相干疊加。（f）相干疊加的方法有矢量法和復(fù)振幅求和法兩種。光波衍射的常見(jiàn)實(shí)例分析（1） 菲涅耳圓孔衍射（采用半波帶法分析、愛(ài)里斑）（2）

8、 夫瑯和費(fèi)衍射單縫衍射 矢量圖解法：如圖所示，將單縫分解為一系列等寬的窄條帶（n條），每一個(gè)窄條帶在處的振動(dòng)矢量分別為：，。它們大小相等，但位相不同，相鄰兩個(gè)的小矢量間的位相差為，其中， 由矢量圖解法可知：， ，即為點(diǎn)的振幅。 ， 其中：為衍射角，為縫寬，、分別為零級(jí)振幅和強(qiáng)度。夫瑯和費(fèi)單縫衍射因子特點(diǎn)（a）夫瑯和費(fèi)單縫衍射因子的表達(dá)式為： 或，為衍射角，為縫寬；(b)其給出了主極強(qiáng)的位置：即時(shí)，出現(xiàn)主極強(qiáng)； (c)其給出了次極強(qiáng)（高級(jí)衍射斑）的位置：衍射角滿足 時(shí)出現(xiàn)次極強(qiáng)。 （d）其給出了各次極強(qiáng)的強(qiáng)度：， （e） 其給出了零點(diǎn)（暗斑）的位置：衍射角滿足 ，時(shí)出現(xiàn)零點(diǎn)； (f)主極強(qiáng)的角寬

9、度為：，次極強(qiáng)的角寬度為：。 （3） 衍射光柵矢量法圖解法分析正入射 L =dsin =2L / =2dsin/ =2 （OCB1為等腰三角形）2OCsin= OB1 =aOC= a /2sin等腰OCBN的頂角N =2N 總振幅的振幅 A=OBN=2OCsin(N)=asin(N)/sin即: A=a0(sin/) (sinN/sin)I=a02(sin/)2 (sinN/sin)2 其中：=asin/ =dsin/ (sin/)2 : 單縫衍射因子(sinN/sin)2 : 縫間干涉因子斜入射如圖所示， 考慮衍射角為的一束衍射光，始于單縫上邊緣A和下邊緣B的兩衍射光的光程為：，位相差為：。

10、由矢量圖可得場(chǎng)點(diǎn)的合振幅為：，式中：。 多縫夫瑯和費(fèi)衍射的總振幅為N個(gè)的相干迭加。相鄰縫間對(duì)應(yīng)點(diǎn)的光程差為：位相差為：。由矢量圖可得總振幅為： 所以，強(qiáng)度分布為：式中。 夫瑯和費(fèi)縫間干涉因子特點(diǎn)（a）夫瑯和費(fèi)多縫干涉縫間干涉因子的表達(dá)式是： 或，為衍射角，為光柵常數(shù)； （b）其給出了主極強(qiáng)的位置：， （c）其給出了主極強(qiáng)的強(qiáng)度： （d）其給出了零點(diǎn)的位置：， ；其說(shuō)明在兩個(gè)主極強(qiáng)之間有N-1個(gè)暗線，有N-2個(gè)次極強(qiáng)。 （e）由其可以確定出主極強(qiáng)的半角寬度為：。光柵光譜儀光柵方程（公式）：sin =k / d （主極強(qiáng)位置）。色散本領(lǐng)：為了描述波長(zhǎng)差的兩條譜線其角間隔或在幕上的距離l有多大；角色

11、散本領(lǐng)定義：D=/=k/d cos k ；線色散本領(lǐng)定義：Dl= l /= k / d cos k ； 色分辨本領(lǐng)公式為：R=/ =Nk；（瑞利判據(jù)）缺級(jí)現(xiàn)象：當(dāng)單縫衍射因子的零點(diǎn)正好與某級(jí)主級(jí)強(qiáng)的位置重疊時(shí)出現(xiàn)缺級(jí)現(xiàn)象。條件： ，。例題1（P180,習(xí)題3）、兩束相干的平行光束，傳播方向平行與x-z面，對(duì)稱的斜射入在記錄介質(zhì)（x-y面）上，光波的波長(zhǎng)為0.6328m,(1)當(dāng)兩束光的夾角為10°時(shí)，干涉條紋的間距為多少？(2)當(dāng)兩束光的夾角為60°時(shí)，干涉條紋的間距為多少？(3)如果記錄介質(zhì)的空間分辨率為2000條/mm，這介質(zhì)能否記錄上述條紋？。解答： 由題意可知，這是

12、兩束平面光波的干涉，干涉條紋與x軸正交，即平行于y軸。條紋間的間距為：， 。式中，如圖所示。（1）當(dāng)時(shí)，； （2）當(dāng)時(shí)，； （3）對(duì)應(yīng)的空間頻率：，。 均小于記錄介質(zhì)的空間分辨率，所以，該介質(zhì)可以記錄上述兩種條紋。2（P180,習(xí)題4）、在一焦距為的薄凸透鏡的物方焦面上有O、Q兩個(gè)相干的點(diǎn)光源，O點(diǎn)在光軸上，Q點(diǎn)到光軸的距離為a（滿足傍軸條件）。（1） 試分析像方焦面上接收到的干涉條紋的特征（形狀、間距和取向）。（2） 如果將F上的屏幕向背離透鏡的方向平移，其上干涉條紋有何變化？解答： （1）如圖所示，在后焦面上為兩束平行光干涉，其干涉條紋為明暗相間的平行于軸的平行條紋。 只要算出兩束平行光相

13、對(duì)于接收平面的傾角來(lái)，就可以得出條紋間的距離。 由題意可得：，條紋間距為： 。 （2）當(dāng)接收屏幕移動(dòng)時(shí)，由于兩平行光束的傾角不變，所以條紋的形狀、間距、取向都不變，但條紋總體上發(fā)生移動(dòng)。當(dāng)Q在x軸上方，且屏幕移遠(yuǎn)時(shí)，條紋向下移動(dòng)，同時(shí)由于兩光束的交疊區(qū)變小，干涉條紋數(shù)將會(huì)減少。3（P181,習(xí)題7）、如圖所示，一列平面波正入射于z=0面上，與一列球面波在傍軸范圍內(nèi)發(fā)生干涉，試分析其條紋特征。解答： 由題意可以寫(xiě)出xy平面上平面波和傍軸球面波的復(fù)振幅分布函數(shù)：， 。式中，=常數(shù)，為兩列波在原點(diǎn)O處的位相差。 在xy平面上總的復(fù)振幅分布為：干涉強(qiáng)度分布為式中，它是xy面上任一場(chǎng)點(diǎn)兩列干涉播的位相差

14、。常數(shù)的軌跡即為等強(qiáng)度的軌跡，也即為干涉條紋的軌跡。所以，任一干涉條紋的軌跡方程為常數(shù)這是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由此可以知道，干涉條紋是一系列同心圓環(huán)。圓心處是亮還是暗，取決于的值。 第n條亮環(huán)的條件為，由中心向外第n條亮環(huán)的半徑為4、波長(zhǎng)為500nm的單色平行光照射間距為0.2mm的雙縫，通過(guò)其中一縫的能量為另一縫能量2倍，在離雙縫50cm的光屏上形成干涉圖樣，求干涉條紋間距和條紋的可見(jiàn)度?！窘獯稹浚阂阎?500nm、d=0.2mm、r0 = 50cm 由： 可解得干涉條紋間距為：設(shè)通過(guò)一縫的能量為I1，另一縫的能量為2 I1，則對(duì)應(yīng)通過(guò)兩縫的光振幅分別為： 由： 解得條紋可見(jiàn)度：

15、V=0.942 5、在楊氏實(shí)驗(yàn)裝置中，光源的波長(zhǎng)為640nm，兩縫間距為0.4mm，光屏離雙縫的距離為50cm，試求：（1）光屏上第一亮條紋和中央亮條紋中心之間距離；（2）若P點(diǎn)距離中央亮條紋中心0.1mm，則兩束光P點(diǎn)的相位差；（3）P點(diǎn)的光強(qiáng)度與中央亮條紋的強(qiáng)度之比?！窘獯稹浚?1) 已知：=640nm，d=0.4mm，r0 = 50cm，j=1由: 可得，第一亮紋到中央亮紋中心的距離：y=0.8mm(2) 已知：=640nm、d=0.4mm、r0=50cm、y=0.1mm兩束光傳播到P點(diǎn)的光程差為：位相差為：由此可得兩束光在P點(diǎn)的相位差： （3）在中央亮條紋的位置上，兩光的相位差為：光強(qiáng)

16、度為：P點(diǎn)的光強(qiáng)度為：兩條紋光強(qiáng)度之比為： 10（P329,習(xí)題3）、用鈉光（5893Å）觀察邁克耳孫干涉條紋，先看到干涉場(chǎng)中有16個(gè)亮環(huán)，且中心是亮的，移動(dòng)平面鏡M1后，看到中心吞（吐）了12環(huán)，而此時(shí)干涉場(chǎng)中還剩有8個(gè)亮環(huán)。試求：（1）M1移動(dòng)的距離，（2）開(kāi)始時(shí)中心亮斑的干涉級(jí)，（3）M1移動(dòng)后，從中心向外數(shù)第7個(gè)亮環(huán)的干涉級(jí)。解答：（1）每移動(dòng)，則中心將吞（吐）一個(gè)亮環(huán)， 移動(dòng)的距離為： （2）移動(dòng)前，對(duì)于中心位置有：對(duì)于邊緣位置有：移動(dòng)后，對(duì)于中心位置有：對(duì)于邊緣位置有：由上四式可以得到： ，即開(kāi)始時(shí)中心亮斑的干涉級(jí)為24。 （3）移動(dòng)后，從中心向外數(shù)第7個(gè)亮環(huán)的干涉級(jí)為：

17、即M1移動(dòng)后，從中心向外數(shù)第7個(gè)亮環(huán)的干涉級(jí)為5級(jí)。 11、證明斜入射時(shí)多縫夫瑯和費(fèi)衍射強(qiáng)度分布公式為：其中：為入射光與光軸的夾角，為衍射角，為入射光波的波長(zhǎng)，為零級(jí)強(qiáng)度。證明： 采用矢量法分析證明。如圖所示， 考慮衍射角為的一束衍射光，始于單縫上邊緣A和下邊緣B的兩衍射光的光程為： ，位相差為：。由矢量圖可得場(chǎng)點(diǎn)的合振幅為：，式中：。 多縫夫瑯和費(fèi)衍射的總振幅為N個(gè)的相干迭加。相鄰縫間對(duì)應(yīng)點(diǎn)的光程差為：位相差為：。由矢量圖可得總振幅為： 所以，強(qiáng)度分布為：式中。 12（P17, 習(xí)題5）、有三條平行狹縫，寬度都是a，縫距分別為d和2d（如右下圖所示）。證明正入射時(shí)其夫瑯和費(fèi)衍射強(qiáng)度分布公式：

18、其中：為衍射角，為單縫衍射的零級(jí)強(qiáng)度。證明：考慮三束光之間的光程差如圖（1），作出矢量圖（2），設(shè)為三縫衍射的總振幅，則：，。其中，為單縫衍射的振幅， 。 所以，三縫衍射的強(qiáng)度分布為： 式中：13（P17, 習(xí)題6）、有兩條不等寬平行狹縫，縫寬分別為a和2a，縫距分別為d=3a（如右下圖所示）。證明正入射時(shí)其夫瑯和費(fèi)衍射強(qiáng)度分布公式：其中：為衍射角，為縫寬為a的單縫衍射的零級(jí)強(qiáng)度。證明：把縫寬為2a的單縫看成為縫寬為a的兩條單縫，由此可以作出其矢量圖如右下圖。則： 其中，為單縫衍射的振幅， 。 所以，雙縫衍射的強(qiáng)度分布為：式中： 。14、波長(zhǎng)的單色光垂直入射到一光柵上，相鄰兩級(jí)明條紋分別出現(xiàn)在與處，第四級(jí)缺級(jí)。求：(1)光柵常數(shù)；(2)光柵上狹縫的最小寬度；(3)在90°-90°范圍內(nèi)，實(shí)際呈現(xiàn)的全部級(jí)數(shù)。解答： (1)由式對(duì)應(yīng)于與處滿足：，得 。 (2)因第四級(jí)缺級(jí)，故此須同時(shí)滿足， ， 解得 。 取，得光柵狹縫的最小寬度為。 (3)由得：。當(dāng)，對(duì)應(yīng)， 因，缺級(jí)，所以在范圍內(nèi)實(shí)際呈現(xiàn)的全部級(jí)數(shù)為共條明條紋(在處看不到)。