優(yōu)化原理課后習(xí)題答案

1、5.1、建造一容積為V(m3)的長(zhǎng)方體蓄水池（無(wú)蓋），要求選擇其長(zhǎng)、寬、高，使表面積最小，從而建筑用料最省。試寫(xiě)出此問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模。解：、設(shè)計(jì)變量：長(zhǎng)：、寬：、高：；、目標(biāo)函數(shù)：；、約束條件：；尋求，使5.2、某公司有資金萬(wàn)元，可供選擇購(gòu)置的設(shè)備有個(gè)，已知相應(yīng)于第種設(shè)備所需資金為萬(wàn)元，可得收益為萬(wàn)元，要求收益最大的投資安排。試寫(xiě)出其數(shù)學(xué)建模。解：、設(shè)計(jì)變量： 、表示購(gòu)置第種設(shè)備數(shù)量；、目標(biāo)函數(shù)：；、約束條件：；尋求，使5.3、某城市要建造一供應(yīng)服務(wù)中心，向該城市個(gè)用戶提供服務(wù)，設(shè)第個(gè)用戶的位置為，需要貨物為噸，試尋求這個(gè)中心最經(jīng)濟(jì)的位置，使運(yùn)輸量（噸公里數(shù)）最小。解：、設(shè)計(jì)變量：服務(wù)中心位置坐

2、標(biāo)；、目標(biāo)函數(shù)：尋求，使5.4、對(duì)于二次型函數(shù)（1）、寫(xiě)出它的矩陣-向量形式； （2）、寫(xiě)出海塞矩陣；（3）、證明海塞矩陣的正定性； （4）、是凸函數(shù)嗎？為什么？解：（1）、寫(xiě)出它的矩陣-向量形式：（2）、寫(xiě)出海塞矩陣:所以海塞矩陣為：。（3）、證明的正定性：所以海塞矩陣滿足正定性條件。4）、是嚴(yán)格凸函數(shù)，因?yàn)楹Ｈ仃嚌M足正定性條件，所以是嚴(yán)格凸函數(shù)。5.5、試判斷以下函數(shù)的凹凸性：（1）、 （2）、（3）、 （4）、解：（1）、，所以是凸函數(shù)。（2）、 所以海塞矩陣為：。所以海塞矩陣滿足正定性條件。所以是嚴(yán)格凸函數(shù)。（3）、，所以是嚴(yán)格凸函數(shù)。（4）、所以海塞矩陣為：。所以海塞矩陣滿足負(fù)定性

3、條件。所以是嚴(yán)格凹函數(shù)。5.6、試判別下列非線性規(guī)劃是否為凸規(guī)劃：解：令 所以海塞矩陣為：。所以海塞矩陣滿足正定性條件。所以是嚴(yán)格凸函數(shù)。由于其余等式約束函數(shù)為線性函數(shù)，不等式約束函數(shù)也為線性函數(shù)，由它們構(gòu)成的問(wèn)題可行域S為凸集。而目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)矩陣為：所以海塞矩陣為：，所以海塞矩陣滿足正定性條件。所以是嚴(yán)格凸函數(shù)。從而此問(wèn)題屬于凸規(guī)劃，存在全局最優(yōu)解。解：令 所以海塞矩陣為：。所以海塞矩陣滿足正定性條件。所以是嚴(yán)格凸函數(shù)。由于其余不等式約束函數(shù)為線性函數(shù)，由它們構(gòu)成的問(wèn)題可行域S為凸集。而目標(biāo)函數(shù)是線性函數(shù)，所以是凸函數(shù)。從而此問(wèn)題屬于凸規(guī)劃，存在全局最優(yōu)解。5.7、用牛頓法求下列函數(shù)的

4、極小點(diǎn)，終止準(zhǔn)則。（1）、;解：目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)矩陣為：所以海塞矩陣為：；（H為對(duì)稱(chēng)正定陣） ；檢驗(yàn)： 所以：，（2）、。解：、目標(biāo)函數(shù)在當(dāng)前的迭代點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)矩陣為：所以海塞矩陣為：;（H為對(duì)稱(chēng)正定陣） 目標(biāo)函數(shù)在當(dāng)前的迭代點(diǎn)上進(jìn)行泰勒展開(kāi)，取至二次項(xiàng)，作為原函數(shù)的近似函數(shù)，即：所以海塞矩陣為：; 檢驗(yàn)：、海塞矩陣：;檢驗(yàn)：所以極小點(diǎn)：，函數(shù)極小值：5.8、用共軛梯度法求解：，。解：（1）、計(jì)算，取。，(2)、計(jì)算，收斂判斷。 因（3）、計(jì)算，求 ； ； 所以極小點(diǎn)：，函數(shù)極小值：。5.9、試用圖解法討論，當(dāng)取何值時(shí)：（1）、有唯一的最優(yōu)解。并指出其及；（2）、有無(wú)窮多個(gè)最優(yōu)解；（3）、不

5、存在有界的最優(yōu)解；解：（1）、有唯一的最優(yōu)解；圖形如右圖所示： 、當(dāng)時(shí)， ，；、當(dāng)時(shí)，；、當(dāng)時(shí)，；（2）、有無(wú)窮多個(gè)最優(yōu)解； 、當(dāng)時(shí)，=OA線段，； 、當(dāng)時(shí)，=AB線段，；、當(dāng)時(shí)，=BC射線，；（3）、不存在有界的最優(yōu)解； 當(dāng)時(shí)，不存在有界的最優(yōu)解；5.10、試用單純形法求解：（1）目標(biāo)系數(shù)c-13-3000右端項(xiàng)與目標(biāo)值bj 設(shè)計(jì)變量x基本變量xBx1x2x3x4x5x6初始單純形表約束行x 2120105x 61010212x 41021206判別/目標(biāo)行109315第一輪約束行x 111/32/301/305/3x 60-1/305/311/3x 40-1/34/315/3013/3判別

6、/目標(biāo)行-10/37/3-1/3-5/3第二輪約束行x11100-3-21x30-110531x40101-5-43判別/目標(biāo)行-1-12-7-4最優(yōu)解為： 最優(yōu)目標(biāo)值為。（2）、試用單純形法求解： 解：（1）、引進(jìn)松弛變量，將問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)形式：由于變量x4、x5、x6各自僅在一個(gè)方程式中出現(xiàn)，且它們的系數(shù)為1，對(duì)應(yīng)的系數(shù)列向量是線性無(wú)關(guān)的，故可取x4、x5、x6作為基變量，而x1、x2、x3為非基變量。即：，相應(yīng)的， ，從而有初始基本可行解：，相應(yīng)于下表上的坐標(biāo)原點(diǎn)。（2）、判別數(shù)計(jì)算。注意到，其中是對(duì)應(yīng)的目標(biāo)系數(shù)，現(xiàn)為零，故與非基變量列相應(yīng)的。初始值。利用這些數(shù)據(jù)可編制初始單純形表。見(jiàn)下表

7、。（3）、根據(jù)判別行可知，在非基變量列中，只有對(duì)應(yīng)x2的判別數(shù)為正，故x2選為進(jìn)基變量。（4）、計(jì)算x2一列系數(shù)與右端項(xiàng)的比值：，最小值為3，對(duì)應(yīng)的離基變量為x4，主元為，表中用圈號(hào)標(biāo)出。（5）、進(jìn)行轉(zhuǎn)軸運(yùn)算，得到第一輪單純形表，表中各系數(shù)是按書(shū)本公式（）、（）、（）計(jì)算，此時(shí)基本可行解為：，相應(yīng)目標(biāo)值為：。（6）、按同樣步驟，求得第二輪單純形表。由于此時(shí)判別行上各非基變量列的判別數(shù)均為負(fù)，表示已獲得最優(yōu)解，迭代終止。目標(biāo)系數(shù)c1-32000右端項(xiàng)與目標(biāo)值bj 設(shè)計(jì)變量x基本變量xBx1x2x3x4x5x6初始單純形表約束行x4-2010012x53-120107x6-43800110判別/目

8、標(biāo)行-13-20第一輪約束行x2-0.5100.25003x52.5020.251010x6-2.5080.75011判別/目標(biāo)行0.5-2-0.75-9第二輪約束行x2010.40.750.205x1100.80.10.404x6001010111判別/目標(biāo)行-2.4-0.8-0.2-11最優(yōu)解為：最優(yōu)目標(biāo)值為。5.11、已知線性規(guī)劃：（1）、試寫(xiě)出其對(duì)偶形式； （2）、已知原問(wèn)題最優(yōu)點(diǎn),試根據(jù)對(duì)偶理論，求出對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)點(diǎn)。解：（1）、試寫(xiě)出其對(duì)偶形式；在中，,按式（）得相應(yīng)的對(duì)偶形式如下：（2）、已知原問(wèn)題最優(yōu)點(diǎn),。對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解的基矩陣與其逆矩陣為：故的最優(yōu)點(diǎn)為：5.12、考慮非線性規(guī)劃

9、：試判別庫(kù)恩塔克條件判別：是否為問(wèn)題的K-T點(diǎn)。解：、，所以是可行點(diǎn)，是作用約束。即：所以：是該問(wèn)題的K-T點(diǎn)。、，所以是可行點(diǎn)，是作用約束。 ，即： 故是該問(wèn)題的K-T點(diǎn)。、 ，所以是可行點(diǎn)。即：。所以：是該問(wèn)題的K-T點(diǎn)。5.13、用庫(kù)恩-塔克條件解下列問(wèn)題，并寫(xiě)出它的對(duì)偶問(wèn)題，驗(yàn)證二者最優(yōu)值是否相等。解：（1）、 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，違反約束條件。 所以只能是；、 所以 所以海塞矩陣為：。所以海塞矩陣滿足半正定性條件。所以是凸函數(shù)。由于其余不等式約束函數(shù)為線性函數(shù)，由它們構(gòu)成的問(wèn)題可行域S為凸集。從而此問(wèn)題屬于凸規(guī)劃。就是該問(wèn)題的最優(yōu)點(diǎn)。（2）、應(yīng)用對(duì)偶問(wèn)題理論求解，相應(yīng)的對(duì)偶問(wèn)題是： 其中：即：，可見(jiàn)，兩者的計(jì)算結(jié)果完全相同。5.14、計(jì)算下圖中從A到E的最短路線及其長(zhǎng)度。解：分4個(gè)階段：、對(duì)于k=4，、對(duì)于k=3，1）、當(dāng)時(shí)有：。表明最短線路是:,2）、當(dāng)時(shí)有：， ; 3）、當(dāng)時(shí)有：， 。、對(duì)于k=2， 1）、當(dāng)時(shí)有:, ;2）、當(dāng)時(shí)有:, ; 3）、當(dāng)時(shí)有:,。、對(duì)于k=1， ，。所以從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最優(yōu)路線為： or ，其長(zhǎng)度為125.15、某公司購(gòu)有五套設(shè)備，擬分配給所屬三個(gè)工廠，各廠獲得設(shè)備后，每年為公司盈利（百萬(wàn)元）如下表。問(wèn)如何分配才能使公司盈利最大？ 設(shè)備數(shù)工廠012345甲103791213乙20510111111丙304