高斯投影坐標(biāo)正反算公式及適合電算的高斯投影公式

1、§8.3高斯投影坐標(biāo)正反算公式任何一種投影坐標(biāo)對應(yīng)關(guān)系是最主要的；如果是正形投影，除了滿足正形投影的條件外（C-R偏微分方程），還有它本身的特殊條件。 8.3.1高斯投影坐標(biāo)正算公式： B,lx,y高斯投影必須滿足以下三個條件：中央子午線投影后為直線；中央子午線投影后長度不變；投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。由第一條件知中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對稱于中央子午線，即(8-10)式中，x為l的偶函數(shù)，y為l的奇函數(shù)；l3030'，即l''/''1/20，如展開為l的級數(shù)，收斂。x=m0+m2l+m4l+m6l+ y=m1l+m3l+m5l+3

2、5246（8-33）式中m0,m1, 是待定系數(shù)，它們都是緯度B的函數(shù)。 由第三個條件知：xq=yxy,=- llq(8-33)式分別對l和q求偏導(dǎo)數(shù)并代入上式m1+3m3l+5m5l+ =3524dm0dq+dm2dql-l+dm3dq2dm4dql-3l+ dm5dql-542m2l+4m4l+6m6l+ =-dm1dq(8-34)上兩式兩邊相等，其必要充分條件是同次冪l前的系數(shù)應(yīng)相等，即m1=dm0dq1dm1m2=-2dq1dm2m3=3dq(8-35)(8-35)是一種遞推公式，只要確定了m0就可依次確定其余各系數(shù)。 由第二條件知:位于中央子午線上的點，投影后的縱坐標(biāo)x應(yīng)等于投影前從

3、赤道量至該點的子午線弧長X，即(8-33)式第一式中，當(dāng)l=0時有： x=X=m0 (8-36) 顧及(對于中央子午線)dXdBdBdq=M=NcosBM=rM=V2cosB得： m1=dm0dq=dXdq=dXdBdBdq=r=NcosB=cVcosB(8-37,38)1dm11dm1dBNm2=-=-=sinBcosB (8-39) 2dq2dBdq2依次求得m3,m4,m5,m6并代入(8-33)式，得到高斯投影正算公式x=X+N720''NN2''622sinBcosBl''+N24''44simBcosB(5-t+9+4

4、)l''632244sinBcosB(61-58t+t)l''N6''352 y=+''NcosBl''+5cosB(1-t+)l''24223223120''5cosB(5-18t+t+14-58t)l''25 (8-42)8.3.2高斯投影坐標(biāo)反算公式x,y B,l投影方程：B=1(x,y)l=2(x,y) (8-43)滿足以下三個條件：x坐標(biāo)軸投影后為中央子午線是投影的對稱軸； x坐標(biāo)軸投影后長度不變；投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。高斯投影坐標(biāo)反算公式推導(dǎo)要

5、復(fù)雜些。由x求底點緯度(垂足緯度)Bf,對應(yīng)的有底點處的等量緯度qf，求x,y與q-qf,l的關(guān)系式，仿照(8-10)式有，q=q(x,y)l=l(x,y)由于y和橢球半徑相比較小(1/16.37)，可將q,l展開為y的冪級數(shù)；又由于是對稱投影，q必是y的偶函數(shù)，l必是y的奇函數(shù)。q=n0+n2y+n4y+l=n1y+n3y+ 324 (8-45)n0,n1,n2, 是待定系數(shù)，它們都是x的函數(shù).由第三條件知：qxlx=ly， ， (8-21) =-qy(8-45)式分別對x和y求偏導(dǎo)數(shù)并代入上式 dn0dx+dn2dxy+32dn4dxy+ =n1+3n3y+5n5y+ 5424 dn33d

6、n55dn1 2n2y+4n4y+6n6y+ =- y+y+y+ dxdxdx上式相等必要充分條件，是同次冪y前的系數(shù)相等，n1=dn0dx,n2=-1dn12dx,n3=1dn23dx,n4=-1dn34dx,第二條件，當(dāng)y=0時，點在中央子午線上，即x=X，對應(yīng)的點稱為底點，其緯度為底點緯度Bf，也就是x=X時的子午線弧長所對應(yīng)的緯度，設(shè)所對應(yīng)的等量緯度為qf。也就是在底點展開為y的冪級數(shù)。由(8-45)1式n0=qf依次求得其它各系數(shù)111dqdqdBMn1= = = = dXdXdXfdBdXfNcosBMfNfcosBfrf(8-51)dn0dqftf1dn11dn1dBn=- =-

7、 =-2 22dXf2dBdXf2NfcosBf (8-51)1 將n0,n2,n4,n6代入(8-45)1式得q-qf=-tf2N2fcosBftf6fy+2tf24N4fcosBf2f(5+6t4f2f+2f-44f)y)y4-720NcosBf(61+180t+120t+462f+48t2f2f6(8-55)1(q-q)f2=tfy4f2424NcosBf3-63tf(5+6tf+f-4f)y24NfcosBf6222246(q-q)f3=-tfy8N6fcosBf (8-55)將n1,n3,n5代入(8-45)2式得(8-56)2式。(最后表達(dá)式) 求B-B與x,y的關(guān)系。f由(8-7

8、)式dq=MNcosBdB知：B=f(q),Bf=f(qf) (8-47)B=f(qf+q-qf)=f(qf+dq) (8-48)f按臺勞級數(shù)在q展開2dB1dBB=f(qf)+ 2 dq+ 2 dqdqfdqf231dB+ 36 dqdq3+ (8-49) fdBB-Bf= dq21dB(q-qf2(q-qf)+ 2dqff)231dB(q-qf+ 3 6dqf)3+(8-50)由(8-7)式可求出各階導(dǎo)數(shù)：dB2 =VcosBff dq (8-53) fd2B dq2d3B dq34=-sinBfcosBf(1+42+3)ff (8-54)1 f222442=-cos3Bf(1-t2+5-

9、13t+7-27t)(8-54)2 ffffffff將式(8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54)代入(8-50)式并按y冪集合得高斯投影坐標(biāo)反算公式(8-56)1,B=Bf-tftf2MfN5ffy+2tf24MfN2f3f(5+3t62f+2f-9ftfy22)4-720MfNyNfy61+90ty6N3f3(+45t4f)yl=cosBfy55f-cosBf2f(1+2t42f+2f)22+120NcosBf(5+28t+24tf+62f+8ftf)(8-56)適用于電算的高斯投影計算公式1高斯投影正算公式：11122244246x=X+Ntm+(5-t+9+4)m+(61

10、-58t+t)m24720211223242225y=Nm+(1-t+)m+(5-18t+t+14-58t)m6120=t180m+60(1+32+2)m+12(2-t)m4325式中，x，y分別為高斯平面縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)， 為子午線收斂角，單位為度。X為子午線弧長，對于克氏橢球：3X=111134.8611B-(32005.7799sinB+133.9238sinB+0.6976sin5B+0.0039sinB)cosB對于“IAG 75”橢球：X=111134.0047B-(32009.8575sinB+133.9602sin3B+0.6976sin5B+0.0039sin7B)cosB其余符號為：t=tgB,2=e'cos22B,N=c+2,m=cosB180l,l=L-L0e'=a-bb222，稱作第二偏心率；c=a2b，稱作極曲率半徑。L0為中央子午線經(jīng)度。對于克氏橢球：e'=0.00673852542147,c=6399698.90178271對于“IAG 75”橢球：e'=0.00673950182195,c=6399596.65198801算出的橫坐標(biāo)y應(yīng)加上500公里，再在前冠以帶號，才是常見的橫坐標(biāo)形式。2高斯投影反算公式：B=Bf-1+2ftf90n-7.5(5+3tf+1222