材料力學(xué)-劉鴻文 第二章 2-4

1、1. .拉伸與壓縮靜不定問題概念拉伸與壓縮靜不定問題概念 所有的未知力均能由靜所有的未知力均能由靜力平衡方程確定的結(jié)構(gòu)稱為力平衡方程確定的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)。 而僅僅用平衡方而僅僅用平衡方程不能求得所有的未知力的結(jié)構(gòu)程不能求得所有的未知力的結(jié)構(gòu)稱為稱為靜不定結(jié)構(gòu)靜不定結(jié)構(gòu)或或超靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)。靜定結(jié)構(gòu)靜不定結(jié)構(gòu)P2P 1232 210 10 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題（1）靜力平衡方程力學(xué)原有基礎(chǔ)2、超靜定問題的解法、超靜定問題的解法（2）變形協(xié)調(diào)方程幾何靈活思考（3）材料本構(gòu)方程物理構(gòu)筑橋梁（4）方程聯(lián)立求解代數(shù)綜合把握FNNx012:FNNNPy0123: ()cos變形幾何關(guān)

2、系（變形協(xié)調(diào)方程）變形內(nèi)力關(guān)系（物理方程）補充方程P 1N3N2NPA未知力3個；平衡方程只有2個。P2例1 兩等直桿與三等直桿的受力分析這個問題就是一次靜不定問題。平衡方程:例2 求圖示兩端固定等直桿的約束反力PabEAEABAPRARB0ABPRR解：幾何方程:(),BBPRRabPallE AE A物理方程:代入平衡方程解得:APaRab平衡方程:解除約束,以已知方向約束反力代替BPRll 為得到變形協(xié)調(diào)方程,解除多余約束，分別考慮外力和多余約束反力產(chǎn)生的位移疊加位移疊加設(shè)B為多余約束，此處的實際位移必須為實際位移必須為0PBAlPBAlRRB解得:BPbRab設(shè)桿的B段有初始間隙，求約

3、束反力解：幾何方程:設(shè)外力在B處的位移大于初始間隙BPRll B處的實際位移為初始間隙PBAlPBAlRRBPabEAEABA物理方程:(),BBPRRabPallE AE A解得:例例3 3 木制短柱的四角用四個40404的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應(yīng)力分別為1=160M Pa和2=12MPa，彈性模量分別為E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求許可載荷P。0421PNNY21LL2222211111LAELNAELNL幾何方程物理方程及補充方程：解：平衡方程:P1mPN 24N 1PyPy4N1N2250250 解平衡方程和補充方程，得:111112222211220.0740

4、.724E ANPPE AE AE ANPPE AE A 11107. 0APN求結(jié)構(gòu)的許可載荷： 方法:角鋼面積由型鋼表查得角鋼面積由型鋼表查得: : A1 1=3.086=3.086cm222272. 0APN kN104272. 0/1225072. 0/2222AP kN4 .70507. 0/1606 .30807. 0/111APP1mP2502501111122222112244E ANPE AE AE ANPE AE AP1mP250250超靜定結(jié)構(gòu)的第一個特點：超靜定結(jié)構(gòu)的第一個特點： 超靜定結(jié)構(gòu)中桿件的內(nèi)力按照桿件的剛度超靜定結(jié)構(gòu)中桿件的內(nèi)力按照桿件的剛度占總剛度的比例分配

5、。即：桿的剛度越大，桿占總剛度的比例分配。即：桿的剛度越大，桿件承受的內(nèi)力越大。件承受的內(nèi)力越大。例例4 4： 圖示懸吊結(jié)構(gòu)圖示懸吊結(jié)構(gòu)ABCABC梁剛性，各桿梁剛性，各桿EAEA相同，求各桿內(nèi)力相同，求各桿內(nèi)力解：解：1.平衡方程平衡方程120220AMNaNaPa，12220NNP2.幾何方程幾何方程122 ll 2l1lPACBaal12lN2N1ABCP3.物理方程物理方程1212,N lN lllEAEA 補充方程與平衡方程聯(lián)立解得補充方程與平衡方程聯(lián)立解得:12255PPNN；例例5：已知：AE桿為剛性桿，CD桿和BF桿的橫截面面積為A，彈性模量為E, 求CD桿、BF桿的內(nèi)力。(

6、)0m E cos230CBNaNaPa解：解：(1) (1) 平衡方程平衡方程(2) (2) 變形幾何方程變形幾何方程2CBll cosCCll (3) (3) 補充方程補充方程, , 基本原則：在小變基本原則：在小變 形條件下，形條件下，C C發(fā)生垂直位移到發(fā)生垂直位移到 CC點；夾角點；夾角 不變不變。PaaABDCaEFlClClCCPABCENCNBBlClC/sinCCNalEA(4) (4) 物理方程物理方程PABCENCNBBlClPaaABDCaEFlClClCCCBBNllEAP 123解：列平衡方程解：列平衡方程1N3N2NPAFNNx012:FNNNPy0123: ()

7、cos(一次靜不定)找變形協(xié)調(diào)關(guān)系（幾何方程）找變形協(xié)調(diào)關(guān)系（幾何方程）213cosLLL 例例6 6：圖示結(jié)構(gòu)，三根桿的材料及橫截：圖示結(jié)構(gòu)，三根桿的材料及橫截面積為面積為 試求三桿的軸力。試求三桿的軸力。lllll321,cosAAA123321EEE 123AA,L3 L2物理方程：物理方程：lN lE AiiiiiNNE AE A1311332cos補充方程補充方程： 333113cos21AEAEPN 2113321coscos2AEAEPNN 將物理方程代入幾和方程得補充方程將物理方程代入幾和方程得補充方程補充方程與平衡方程聯(lián)立求解得補充方程與平衡方程聯(lián)立求解得P 1231N3N2

8、NPA找變形協(xié)調(diào)關(guān)系（幾何方程）找變形協(xié)調(diào)關(guān)系（幾何方程）213cosLLL 這個例題雖然是一個具體問題，但是其求解這個例題雖然是一個具體問題，但是其求解方法具有一般性，由此可歸納出：方法具有一般性，由此可歸納出：求解靜不定問題的一般方法求解靜不定問題的一般方法2.根據(jù)結(jié)構(gòu)的約束條件畫變形圖根據(jù)結(jié)構(gòu)的約束條件畫變形圖, ,找變形找變形協(xié)調(diào)關(guān)系協(xié)調(diào)關(guān)系, ,列列幾何方程幾何方程; ;3.由力與變形由力與變形( (或溫度與變形或溫度與變形) )的物理關(guān)系的物理關(guān)系, , 列列物理方程物理方程; ;4.聯(lián)立幾何方程與物理方程建立聯(lián)立幾何方程與物理方程建立補充方程補充方程; ;1. .畫受力圖畫受力圖

9、, ,列列平衡方程平衡方程, ,判斷靜不定次數(shù)判斷靜不定次數(shù); ;5.補充方程與平衡方程聯(lián)立解全部未知力補充方程與平衡方程聯(lián)立解全部未知力. .平衡方程平衡方程幾何方程幾何方程物理方程物理方程補充方程補充方程aaaABCDP1.1.先解靜不定先解靜不定2PaaaABCD2PPRARD平衡方程平衡方程0,Y 30ADRPR幾何方程幾何方程DPRLL 物理方程物理方程33DPDRP aP aLEAEARaLEA聯(lián)立以上聯(lián)立以上4式得式得:33.3,26.7ADRkN RkN例例7：等截面剛桿，已知：橫截面積：等截面剛桿，已知：橫截面積A=200mm2，P=20kN。許用應(yīng)力許用應(yīng)力 =160MPa

10、，彈性模量，彈性模量E=200GPa。 試校核桿的強度。試校核桿的強度。 aaaABCD2PPRARD2.校核桿的強度校核桿的強度畫桿的軸力圖畫桿的軸力圖DyN(kN)26.76.733.3最大軸力最大軸力max33.3NkN 3maxmax633.3 10200 10166.5NAMPa相對誤差相對誤差:166.5 160%1604%5% 結(jié)論結(jié)論: :桿安全桿安全! !33.3,26.7ADRkN RkN超靜定結(jié)構(gòu)的第二個特點：超靜定結(jié)構(gòu)的第二個特點：2 211 11 溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力1 1、靜定問題無裝配應(yīng)力。制造誤差引起的應(yīng)力稱為、靜定問題無裝配應(yīng)力。制造誤差引起的

11、應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力裝配應(yīng)力(misfits or stresses due to assembling)(misfits or stresses due to assembling)。超靜定結(jié)構(gòu)在制造誤差等變形因素的影響下會引起。超靜定結(jié)構(gòu)在制造誤差等變形因素的影響下會引起應(yīng)力。應(yīng)力。2 2、靜定問題無溫度應(yīng)力、靜定問題無溫度應(yīng)力(Thermal stresses)(Thermal stresses)變化外變化外界因素的影響下會引起應(yīng)力。界因素的影響下會引起應(yīng)力。一、一、溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力 在超靜定結(jié)構(gòu)中，由于各個桿件的變形受到相互的在超靜定結(jié)構(gòu)中，由于各個桿件的變形受到相互的制約，當(dāng)溫度改變時，

12、必然要在桿內(nèi)引起附加應(yīng)力，由制約，當(dāng)溫度改變時，必然要在桿內(nèi)引起附加應(yīng)力，由于溫度改變而在桿內(nèi)引起的應(yīng)力稱為溫度應(yīng)力。于溫度改變而在桿內(nèi)引起的應(yīng)力稱為溫度應(yīng)力。 式中：式中： 為材料的線膨脹系數(shù)。為材料的線膨脹系數(shù)。 對于無約束的桿件，當(dāng)溫度變化為對于無約束的桿件，當(dāng)溫度變化為 時，桿時，桿件的變形為：件的變形為： 21ttt tlt l 例例8 圖圖 例例8 8 圖示結(jié)構(gòu)，桿圖示結(jié)構(gòu)，桿、桿、桿 均相同，當(dāng)桿均相同，當(dāng)桿溫度升高溫度升高 度時，兩桿的內(nèi)力和應(yīng)力為多少？度時，兩桿的內(nèi)力和應(yīng)力為多少？ EA t 解（一）解（一）繪受力圖如圖示（設(shè)二桿均受壓）繪受力圖如圖示（設(shè)二桿均受壓） 121

13、20,2 ,21AMNaNa NN 列平衡方程列平衡方程受力圖受力圖（二）繪變形幾何關(guān)系圖如圖示（二）繪變形幾何關(guān)系圖如圖示22Nl 即即 122tNNlll 化簡后得化簡后得 12222N aN ataEAEA 由圖可列出變形幾何關(guān)系方程由圖可列出變形幾何關(guān)系方程 （三）求解內(nèi)力和應(yīng)力（三）求解內(nèi)力和應(yīng)力1244552255IIINEAtEtsNEAtEt 聯(lián)立（聯(lián)立（1）、（）、（2）可解得：）可解得： 121221222NNN aN ataEAEA RARBLTRBLR解：解：1.平衡方程平衡方程 (共線力系共線力系)0,0ABABXRRRR得：(一次靜不定一次靜不定)2.幾何方程幾何方

14、程例例10：輸熱管道：輸熱管道AB長為長為L，橫截面積橫截面積A，材料的彈性摸，材料的彈性摸量量E，熱膨脹系數(shù)為，熱膨脹系數(shù)為，試試求：當(dāng)溫度升高求：當(dāng)溫度升高T(oC )時時管內(nèi)的應(yīng)力。管內(nèi)的應(yīng)力。(TRLL溫度變形）=（再次變形）ABLLTRBLR3.物理方程物理方程4.補充方程補充方程BR LT LEA ,BRTR LLLT LEA補充方程與平衡方程聯(lián)立解得補充方程與平衡方程聯(lián)立解得:ABRREAT5.溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力ATREATETAA兩個概念兩個概念 溫度變形溫度變形; ; 再次變形再次變形2.幾何方程幾何方程(TRLL溫度變形）=（再次變形）例例1111： 圖示懸吊結(jié)構(gòu)圖示懸吊結(jié)構(gòu)

15、ABAB梁剛性，各桿梁剛性，各桿EAEA相同，桿相同，桿3 3短短 求各桿裝配應(yīng)力求各桿裝配應(yīng)力aal123AB1l2l3lN1N2N3AB解：解：1.平衡方程平衡方程12300YNNN，23020AMN aNa，2.幾何方程幾何方程1232lll 在加工構(gòu)件時，由于尺寸上的一些微小誤差，對超靜在加工構(gòu)件時，由于尺寸上的一些微小誤差，對超靜定結(jié)構(gòu)則會在構(gòu)件內(nèi)產(chǎn)生應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力。定結(jié)構(gòu)則會在構(gòu)件內(nèi)產(chǎn)生應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力。二、二、裝配應(yīng)力裝配應(yīng)力3.物理方程物理方程112233N llEAN llEAN llEA 4.補充方程補充方程3122N lN lN lEAEAEA補充方

16、程與平衡方程聯(lián)立解得補充方程與平衡方程聯(lián)立解得:13263EAEANNNll；aal123AB1l2l3lN1N2N3AB 例例12 兩桿兩桿 EA 相同，水平桿為剛性桿。桿相同，水平桿為剛性桿。桿比設(shè)計長比設(shè)計長度度 l 短了短了 ，求安裝后兩桿的內(nèi)力和應(yīng)力。，求安裝后兩桿的內(nèi)力和應(yīng)力。例例6 圖圖 解解：（一）繪受力圖，列平衡方程，根據(jù)實際情況，桿：（一）繪受力圖，列平衡方程，根據(jù)實際情況，桿在在 C C 點安裝后，點安裝后，桿桿受拉，桿受拉，桿受壓，受力圖如圖示。受壓，受力圖如圖示。受力圖一受力圖一 12120,20,2AMNaNaNNa 根據(jù)平衡條件得：根據(jù)平衡條件得：（二）繪變形幾何

17、關(guān)系圖如圖示（二）繪變形幾何關(guān)系圖如圖示122 ll 即：即： 122N lN lbEAEA 根據(jù)圖可得變形幾何關(guān)系方程為根據(jù)圖可得變形幾何關(guān)系方程為變形幾何關(guān)系圖一變形幾何關(guān)系圖一（三）求解內(nèi)力和應(yīng)力（三）求解內(nèi)力和應(yīng)力12225555IIIEAENllEAENll聯(lián)立聯(lián)立(a)、(b)可得：可得： 1212120,20,22AMNaNaNNaN lN lbEAEA PPPmaxPPPmax應(yīng)力集中：應(yīng)力集中：理論應(yīng)力集中系數(shù)理論應(yīng)力集中系數(shù)0maxk max 彈性力學(xué)計算彈性力學(xué)計算實驗測試（光彈性實驗實驗測試（光彈性實驗）2 212 12 應(yīng)力集中概念 由于結(jié)構(gòu)或功能上的需要，使構(gòu)件截面

18、尺寸或形狀發(fā)生突變引起的應(yīng)力急劇增加的現(xiàn)引起的應(yīng)力急劇增加的現(xiàn)象。象。 對彈性體某一局部區(qū)域的外力系，若用靜力等效的力系來代替；則力的作用點附近區(qū)域的應(yīng)力分布將有顯著改變，而對略遠處其影響可忽略不計。 圣文南圣文南(Saint-Venant)原理原理: 如右圖所示，根據(jù)現(xiàn)代力學(xué)分析方法（有限元計算方法或光彈性測試方法）的研究結(jié)果顯示：由于在桿端外力作用的方式不同，將會對桿端附近處各截面的應(yīng)力分布產(chǎn)生影響（應(yīng)力非均勻分布），而對遠離桿端的各個截面，影響甚小或根本沒有影響。 Ab； Be； Cp； Ds選擇題：選擇題：1、危險截面是_所在的截面。A.最大面積； B最小面積； C 最大應(yīng)力； D 最大內(nèi)力2、低碳鋼整個拉伸過程中，材料只發(fā)生彈性變形的應(yīng)力范圍是不超過_。B.名義屈服極限0.23、沒有明顯屈服平臺的塑性材料，其破壞應(yīng)力取材料的 。A.比例極限p4、桿件的剛度是指 。B. 桿件的承載能力D. 桿件對彈性變形的抵抗能力C. 桿件對彎曲變形的抵抗能力C. 強度極限bD. 根據(jù)需要確定A. 桿件的軟硬程度；CBBD5、用截面法時必須保留桿件_。A. 位于截面左邊的部分；B. 位于截面右邊的部分；C. 位于截面左、右兩邊哪一部分都可以；D. 統(tǒng)一的某一部分。Ds6、低碳鋼整