101分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理

1、10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m,種不同的方法，在第 2類辦法中有m2種不同的方法，在第 n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N m1 m2 Lmn 種不同的方法 .分步計數(shù)原理：完成一件事，需要分成 n個步驟，做第1步有mi種不同的方法，做第 2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N m, m2 L mn種不同的方法.例 1.書架的第一層放有 4 本不同的計算機書，第二層放有 3本不同的文藝書，第 3 層放有 2 本不同的體育書 .( 1 )從書架上任取 1 本書，有多少種不同的取法？(

2、2)從書架的第 1、2、 3 層各取 1 本書，有多少種不同的取法？例2.一種號碼鎖有 4個撥號盤，每個撥號盤上有從 0到9共10個數(shù)字，這 4個撥號盤可以組 成多少個四位數(shù)字號碼？例 3 .要從甲、乙、丙 3 名工人中選出 2 名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？總結(jié)分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題.區(qū)別在于：分類計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方 法都可以做完這件事；分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存， 只有各個步驟都完成才算做完這件事 .精選練習：1. 從數(shù)集 M 1,2,3 到數(shù)集 N

3、1,2,3,4 的不同的映射個數(shù)是多少？2. 4 名運動員爭奪三項冠軍(無并列) ，不同的結(jié)果有多少種？34 名運動員參加三項比賽，每人限報一項，不同的報名方式有多少種？4.1200 的自然數(shù)中，有多少個各位數(shù)上都不含數(shù)字 5的個數(shù)？5.(aibi)(a2 b2)L (anbn)的展開式中所有不同項的項數(shù)是多少個?10.2排列引入一一問題1:從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加某天的一項活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的方法？( 元素)問題2：從a,b,c,d這4個字母中，每次取出3個按順序排成一列，共有多少種不同排法？一般地，從n個不同元素中取出 m(m

4、n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出 m個元素的一個 排列(兩個排列相同，當且僅當兩個排列的元素完全相同， 且元素的排列順序也相同)從n個不同元素中取出 m(m n)個元素的所有排列的個數(shù)， 叫做從n個不同元素中取出 m個元素的排列數(shù)，用符號Am表示對問題1，是求從3個不同元素中取出2個不同的元素的排列數(shù)，它記為A；，A 3 2對問題2，是求從4個不同元素中取出 3個不同的元素的排列數(shù)，它記為A：，A 4 3 2問：從n個不同元素中取出2個元素的排列數(shù) A是多少？ A呢？ Am(m n)呢？(按依次 填空位的方法來考慮)Ann(n 1)(n 2)L (n m 1)| (

5、n,m N , m n)此公式稱為 排列數(shù)公式.(計算 Af,A；5, A8 2A2，A(6,An1)n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個 全排列這時排列數(shù)就記做AH,其中|a：n (n 1) (n 2) L 3 2 1 .表示所以AHn !n (n 1) L 3 2 1 n!(n m) L 2 1 (n m)!正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!一般地，Am n(n 1)(n 2)L (n m 1)n !即有排列數(shù)公式Am! (n m)!時繼續(xù)適用，我們規(guī)定 0!1當n m時aIn !，為使上面公式在 n m例1.簡單排列問題某年全國足球甲級 (A組)聯(lián)賽共有14對參

6、加，每隊都要與其余各隊在主、客場分別比賽1次，共進行多少場比賽?例2.（1）有5本不同的書，從中選 3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書，要送 3本給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？例3某信號兵用紅、黃、藍 3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？例4用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？精選練習：1.某元素必（不）居某位7人排成一排，根據(jù)下列條件，分別求各有多少種不同的排法?（1）甲只能排中間（2）甲、乙兩人必須排兩頭（3）甲不在兩頭2

7、.某些元素（不）相鄰四男三女排成一排，接下列要求各有多少種不同排法?（1）男女生各排在一起（2）女生一定不相鄰（插空法）（3）甲、乙兩人相鄰，其它條件不限3. 數(shù)字排列問題用0到6七個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，按下述要求，分別求出其個數(shù)：（1）大于25000; （2）能被5整除；（3）偶數(shù)4 兩類元素互不相鄰三男三女相間排列，求排列種數(shù)?5.某些元素次序一定 a,b,c,d,e規(guī)定a,b,c次序一定，求有多少種不同排法?6.卡片問題現(xiàn)有 0 3,6,17六張卡片，由這六張卡片可以組成多少個不同的3位數(shù)?（允許卡片6可當9用）（首位數(shù)非零）10.3組合引入一一問題1:從甲、乙、丙3名同學中選

8、出2名去參加一項活動，有多少種不同的方法?一般地，從n個不同元素中取出 m(m n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出 m個元素的一個 組合.(組合與元素的順序無關(guān))從n個不同元素中取出 m(m n)個元素的所有組合的個數(shù)， 叫做從n個不同元素中取出 m個元素的組合數(shù)，用符號cm表示.對于“從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù) A： ”，可以這樣理解：先考慮從4個不同 元素中取出3個元素的組合，共有C：個；再對每一個組合中的 3個不同元素作全排列，各有 A個根據(jù)分步記數(shù)原理，得 A C： A，因此，c3cmn!m!(n m)!n(n 1)(n2)L(n 口得組合數(shù)公式：m(m 1)L 2

9、 1(其中 n, m N , m n )(計算：C；，do ；證明：C：1 C： 1;寫出從 a, b, c, d, e 5n m個元素中任取2個元素的所有組合) 組合數(shù)性質(zhì)一：c： c；m，規(guī)定c0 1 ；性質(zhì)二：c：1 c： cn°1例1.平面內(nèi)有10個點，以其中每 2個點為端點的線段共有多少條？有向線段呢?例2個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和一個黑球，從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？若須含一個黑球呢？若不含有黑球呢？某元例3在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品，從中任意抽取 3件，問：共有多少種不同的抽法？若恰有一件次品呢？若要求至少有一件次品呢？至少有某些元素練1已

10、知C2o3c2on 7求n；已知G? C：56求x ；已知c：,c；,cn成等差數(shù)列，求C；.練2解不等式cmcm.練 3.;計算 C；8 nC； n練4計算c： c； C53 C3 C73 C；況 C；1 L C；n（答案用組合數(shù)表示）練5.分堆問題六本不同的書, 按下列條件，各有多少種不同的分法？ （1）分給甲、乙、丙三人, 每人兩本（2）分成三堆，每堆兩本（3）分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本（4）分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本（5）分給甲、乙、丙三人，每人至少得一本 .練6.七個不同顏色的小球（1）放入兩顏色不同的布袋（2）放入兩顏色相同的布袋， 各有多少種不

11、同的放法？練7.平面上有8個點，其中有4個點在一個圓上，其余任意四點不共圓，那么這8個點最多可確定的圓的個數(shù)是 （用數(shù)字作答）練8.5男4女共9人，他（她）們的身高各不相同，現(xiàn)排成一排，要求男、女生各從高到矮排列（左高右低或左低右高均可）.則共有種不同的排法？練9.某幢樓從二樓到三樓的樓梯臺階共有10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規(guī)定從二樓到三樓用 8步走完，則上樓梯的方法有 種.練10.9人組成籃球?qū)?，其?7人善打鋒，3人善打衛(wèi)，現(xiàn)選出5人（三鋒兩衛(wèi)，且鋒分左、中、 右，衛(wèi)分左、右）組對出場，有多少種不同的組隊方法？10.4二項式定理二項式定理：(a b)nC°an

12、 C：an怙 LC：an rbr LC：bn(猜想加數(shù)學歸納法證明)其中右邊的多項式叫做(a b)n的二項展開式；Cnan rbr叫做二項展開式的 通項，為第r 1項，記作Tr i，即|icnanrbr ； C：叫第r1項的二項式系數(shù)；展開式共有n 1項；前面的字母a次數(shù)由高到低逐漸降低，b次數(shù)由低到高逐漸升高.特別地，令 a 1, b x，則有：|(1 x)nC： C：x L Qxr LC：xn1例1. 展開(1)4.x例2.展開(2、,x 1 )6.Jx12例3. 求(x a)的展開式中的倒數(shù)第四項.例4.(1)求(1 2x)7的展開式的第4項的系數(shù)；(2)求(x -)9的展開式中x3的系

13、數(shù).x補充習題：求特殊項等10235234(1)求(2 a 3b c)展開式中含a b c的系數(shù).2)求(1 x 2x )展開式中含x的系數(shù).(3)求(3 aL)15展開式中的常數(shù)項.(4)若(療-)n展開式中第三項含有a2，求n.aa(5)求 (Vx 仍0 展開式中的有理項 二項式系數(shù)的性質(zhì)：(1) 對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等；(2) 增減性與最大值：二項式系數(shù)是先增后減，在中間位置取到最大值.當n是偶數(shù)時，中nn 1 n 1間的一項C?取到最大值；當n是奇數(shù)時，中間的兩項cF'Cy相等且同時取最大值(3) 各二項式系數(shù)的和：2n (11)n C0 cn L c

14、n L C(4) 在(a b)n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.補充習題：1求和：C02cnL2rcnL2nc； ；C：2C：22C：2C；L (1)n2nC小結(jié)：組合數(shù)系數(shù)成等比，則必為某一個二項式的展開式問：組合數(shù)系數(shù)成等差呢？2.求和：C° 2cn 3CnL (n 1)C103求(1 2x)的展開式中的二項式系數(shù)之和，奇數(shù)項(偶數(shù)項)二項式系數(shù)之和，系數(shù)之和 .21023104求(x2x 3)展開后的系數(shù)和；求(1 x) (1 x) L (1 x)的展開系數(shù)和55求(2a3b)展開式的系數(shù)和，奇數(shù)項系數(shù)之和，偶數(shù)項系數(shù)之和48126設(shè)(x1) (x

15、 4)ao(x3)11a1(x 3) Lan(x 3) a12，求 a0a2a4 La12復習課課堂練習：1.已知(1 x)n展開式中，第5, 6，7三項系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中系數(shù)最大項2.(24 3)100的展開式有 個有理項.3求(12x)10的展開式中的系數(shù)最大項4.計算1.009 5 (精確到0.001)5.證明32n 2 8n 9能被64整除.解排列問題的常用技巧一一解排列問題，首先必須認真審題，明確問題是否是排列問題，其次是抓住問題的本質(zhì)特征， 靈活運用基本原理和公式進行解答，同時，還要注意講究基本策略和方法技巧，使一些看似 復雜的問題迎刃而解（一）特殊元素的“優(yōu)先安排法”對于

16、特殊元素的排列組合問題，一般應先考慮特殊元素，再考慮其他元素例1用0,1,2,3,4這五個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的二位數(shù)，其中偶數(shù)共有 個（二）總體淘汰法對于含有否定詞語的問題，還可以從總體中把不符合要求的除去，此時應注意既不能多減也 不能少減例2七人排成一列，規(guī)定甲不能站排頭，問有多少種排法？（三）合理分類與準確分步解含有約束條件的排列組合問題，應按元素的性質(zhì)進行分類，事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步， 做到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏例3五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，乙不站第二個位置，則不同的站法有 種.（四）相鄰問題：捆綁法對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁

17、”起來，看作一個“大”的 元素與其他元素排列，然后再對相鄰元素內(nèi)部進行排列例4.7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相鄰，分別有多少種不同的排法？（五）不相鄰問題：插空法對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好 的元素之間及兩端的空隙之間插入即可例5.7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人不相鄰，分別有多少種不同的排法？（六）順序固定問題用“除法”對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行排列，然后用 總的排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù)例6.（1）五人排隊甲在乙前面的排法有幾種？六人排隊，甲乙丙順序固定 （可以不相鄰），問不同排法

18、有幾種？（七）分排問題用“直排法”把n個元素排成若干排的問題，若沒有其他的特殊要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法來處理例7.7人坐兩排座位，第一排坐 3人，第二排坐4人，則有 種排法？（八）實驗題中附加條件增多，直接解決困難時，用試驗逐步尋找規(guī)律有時也是行之有效的方法例8.將數(shù)字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的四個方格內(nèi)，每個方格填1個，則每個方格的標號與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有 種.（九）探索對情況復雜，不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問題需要仔細分析，探索出其中規(guī)律，再予以解決例9.從1到100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個數(shù)，使它們的和大于100，則不同的取法種數(shù)有（十）消序例10.有4個男生

19、，3個女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列（可以不相鄰），有多少種排法？（十一）住店法解決“允許重復排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解的方法稱為“住 店法”.例11七名學生爭奪五項冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)有 .（十二）對應例12.在100名選手之間進行單循環(huán)淘汰賽（即一場比賽失敗要退出比賽 ），最后產(chǎn)生一名冠軍，問要舉行幾場？（一場比賽對應淘汰一名）（十三）特征分析研究有約束條件的排數(shù)問題，須緊扣題目所提供的數(shù)字特征、結(jié)構(gòu)特征，進行推理、分析求解例13.由1,

20、2,3,4,5,6六個數(shù)可組成多少個無重復且是6的倍數(shù)的五位數(shù).例14.按下列要求，求排法總數(shù)：1）6人排成一排，甲乙丙三人都不在兩端；2）五男兩女站成一排，要求女生不能站在兩端，且又要相鄰；3）5人排成一行，要求甲乙兩人之間至少有一人；4）6人排成一排，要求甲乙兩人之間必有2人；5）一排6張椅子上坐3人，每兩人之間有一張空椅子；6）8張椅子排成一排，有 4人就坐，每人一個座位，其中恰有3個連續(xù)空位；7）8名學生站成前后兩排，每排4人，其中要求甲乙兩人在后排，丙在前排；8）8人站成一列縱隊，要求甲乙丙三人不在排頭且互相隔開；9）8位同學，其中有3位是三好學生，他們和班主任合影，要求班主任坐中間

21、，而且左右兩邊 都要有三好學生；10）六人并排拍照，要求甲不坐最左邊，乙不坐最右邊練習題：1（1）.求滿足方程x y z 10且x, y, z N *的解的個數(shù).（2）某校高二年級有六個班，現(xiàn)需從中選出10名學生參加運動隊，規(guī)定每班至少要入選1人,問有多少種不同的分配方案？（名額分配問題）推廣：求滿足方程 x y z 10且x,y,z Z且x 2, y 0, z2的解的個數(shù).2 （1）.從一樓到二樓的樓梯 17級，上樓時可一步一級，也可一步兩級, 若要求11步走完這樓梯，則有多少種不同的走法？（2）.如圖從5 6方格中的頂點A到頂點B的最短路線有多少條？，但1,2,3，,10的十盞燈，為節(jié)約用

22、電又不影響照明，可以把其中的三盞關(guān)掉不能關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈問不同關(guān)燈方法有多少種?4從1,2,3，,14中，按數(shù)從小到大的順序取出a1,a2,a3,使同時滿足a?a13忌 a?3 ,則符合要求的不同取法有多少種?5求四個杯子，四個杯蓋均不對號入座的方法種數(shù)6有五件不同獎品發(fā)給 4位先進工作者，每人至少一件，有多少種不同的發(fā)放方法?7從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要有甲型與乙型電視機各一臺，則不同的取法種數(shù)共有幾種？8.從5個學生中選三人參加代表會，其中甲、乙兩人至少一人在內(nèi)，共有多少不同選法？9將5列車停在5條不同的軌道上，其中 a列車不停在第一道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有幾種？10. 平面上有11個相異的點，過其中任意兩點相異的直線有48條.這11點中，含3個或3個以上的點的直線有幾條？（2）這11點構(gòu)成幾個三角形？11. 一直線和圓相離，這條直線上有6個點，圓周上有4個點，通過任意兩點作直線，最少可作直線的條數(shù)是（）A . 37B . 19C. 13D. 7