17.2.2勾股定理的逆定理

1、勾股定理的逆定理教案教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課主要學(xué)習(xí)勾股定理以及應(yīng)用.教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能探索并掌握直角三角形判別思想，會(huì)應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題.2.過程與方法經(jīng)歷直角三角形判別條件的探究過程，體會(huì)命題、定理的互逆性，掌握情理數(shù)學(xué)意識(shí).3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維以及合情推理意識(shí)，感悟勾股定理和逆定理的應(yīng)用價(jià)值.重難點(diǎn)、關(guān)鍵1.重點(diǎn)：理解并掌握勾股定理的逆定性，并會(huì)應(yīng)用.2.難點(diǎn)：理解勾股定理的逆定理的推導(dǎo).3.關(guān)鍵：以古埃及人的思考方法，來領(lǐng)會(huì)勾股逆定理，同時(shí)運(yùn)用驗(yàn)證，？體驗(yàn)勾股定理的逆定理.教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：投影儀，投影片，補(bǔ)充材料，教具：釘子與打結(jié)的繩子.學(xué)生準(zhǔn)備：（1）復(fù)習(xí)勾股定理，預(yù)習(xí)

2、“勾股逆定理”；（2）紙片、剪刀.學(xué)法解析1.認(rèn)知起點(diǎn)：在學(xué)習(xí)了勾股定理的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)勾股定理逆定理.2.知識(shí)線索：歷史情境-命題2勾股定理逆定理.3.學(xué)習(xí)方式：情境認(rèn)知，操作感悟，師生互動(dòng).教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題【實(shí)驗(yàn)觀察】實(shí)驗(yàn)方法：用一根打上13個(gè)等距離結(jié)的細(xì)繩子， 讓同學(xué)操作，用釘子釘在第一個(gè)結(jié)上，再釘在第4個(gè)結(jié)上，再釘在第8個(gè)結(jié)上，最后將第十三個(gè)結(jié)與第一個(gè)結(jié)釘在一起，然后用角尺量出最大角的度數(shù).（90）,可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)三角形是直角三角形.【顯示投影片1】課本P81圖18.2-1.【活動(dòng)方略】教師敘述：這是古埃及人曾經(jīng)用過這種方法來得到直角，這個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為多少？ （3,4，5

3、）.這三邊滿足了怎樣的條件呢？（32+42=52），是不是只有三邊長(zhǎng)為3，4，?5的三角形才能構(gòu)成直角三角形呢？請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手畫一畫，如果三角形的三邊分別為2.5cm,6cm, 6.5cm,滿足關(guān)系式“2.52+62=6.52”，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為5cm, 12cm, 13cm或8cm, 15cm, 17cm呢？學(xué)生活動(dòng)：動(dòng)手畫圖，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，得到猜想.教師板書：命題2.（見課本P81）【問題探究1】教師提問：命題1、命題2的題設(shè)、結(jié)論分別是什么？學(xué)生回答：（略）教師分析：可以看出，大家回答的這兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好是相反的，像這樣的兩個(gè)命題稱為互逆命題.如果把其中一個(gè)叫

4、做原命題，那么另一個(gè)就叫做它的逆命題.舉例說明.學(xué)生活動(dòng)：分四人小組，互相交流，然后舉手發(fā)言.素材提供：1原命題：貓有四只腳.（正確）逆命題：有四只腳的是貓.（不正確）2.原命題：對(duì)頂角相等.（正確）逆命題：相等的角是對(duì)頂角.（不正確）3.原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等.（正確）逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.（正確）4.原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等.（正確）逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.（正確）教師活動(dòng)：在學(xué)生充分的舉例、交流的基礎(chǔ)上，提供上面的素材讓學(xué)生認(rèn)識(shí)，并明確,（1）任何一個(gè)命題都有逆命題.（2）原

5、命題正確，逆命題不一定正確，原命題不正確，逆命題可能正確.（3）原命題與逆命題的關(guān)系就是，？命題中題設(shè)與結(jié)論相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系.教師提問：請(qǐng)同學(xué)們舉出一些互逆命題,并思考是否原命題正確,它的逆命題也正確嗎?【設(shè)計(jì)意圖】采用從學(xué)生實(shí)驗(yàn)、操作中感知勾股定理的逆定理；比較勾股定理命題 設(shè)與結(jié)論，認(rèn)知命題的互逆性.二、觀察探討，研究新知【問題探究2】（投影顯示）在課本P82圖18.2-2中，ABC的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2，如果ABC是直角三角形，它應(yīng)該與直角邊是a,b的直角三角形全等實(shí)際情況是這樣的嗎？我們畫一個(gè)直角三角形A B C,使B C =a,A C =b,ZC =90（課本圖18.2

6、-2）,?再將畫好 的厶A BC剪下，放到ABC上，請(qǐng)同學(xué)們觀察，它們是否能夠重合？試一試！【活動(dòng)方略】教師活動(dòng)：操作投影儀，提出探究的問題，弓I導(dǎo)學(xué)生思考，然后再提問個(gè)別學(xué)生.學(xué)生活動(dòng)：拿出事先準(zhǔn)備好的紙片、剪刀，實(shí)驗(yàn)、領(lǐng)會(huì)、感悟：（1）?它們完全重合；（2）理由是在厶A BC中，A B2=B C2+A C2=a2+b2,因?yàn)閍2+b2=c2,因此，AB=c,從厶ABCDA BC中，BC=a=B C,AC=b=A C,AB=c=A C,?推出ABC A BC，所以/C=ZC =90。，可見厶ABC是直角三角形.教師歸納：由上面的探究過程可以說，用三角形全等可以證明勾股定理的逆命題是正確的.而

7、如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個(gè)定理，我們把上面所形成的這個(gè)定理叫做勾股定理的逆定理，稱這兩個(gè)定理為互逆定理.【設(shè)計(jì)意圖】采用實(shí)驗(yàn)、觀察、比較的數(shù)學(xué)手法，突破難點(diǎn).【課堂演練】（投影顯示）1以下各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（C）.A.5,6,7 B.10,8,4 C.7,25,24 D.9,17,152以下各組正數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（B）.A.a-1,2a,a+1 B.a-1,2a,a+1C.a-1，-、2a,a+1 D.a-1，-、2a,a+1【活動(dòng)方略】教師活動(dòng)：操作投影儀，組織學(xué)生演練，并講評(píng).學(xué)生活動(dòng)：應(yīng)用所學(xué)，完成演練題，并從中歸納判定方法，并判定

8、兩條較小數(shù)平方和是 否等于最大邊長(zhǎng)的平方.1?與命題2的題【評(píng)析】在演練中，提示學(xué)生閱讀課本P83例1.三、范例點(diǎn)擊，提高認(rèn)知【顯示投影片2】例：（課本P83例2）思路點(diǎn)撥：首先應(yīng)根據(jù)題意畫出圖形，見課本P83圖18.2-3.?這是一種象限圖，依 圖形可以看出，“遠(yuǎn)航”號(hào)的航向已經(jīng)知道，只要求出兩艘輪船的航向所成的角，就可以知 道“海天”號(hào)的航向.【活動(dòng)方略】教師活動(dòng)：操作投影儀，分析例2，特別是要教會(huì)學(xué)生如何畫出象限圖，？可適時(shí)復(fù)習(xí)“象限角”的畫法然后確定一個(gè)三角形，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的“勾股定理的逆定理”學(xué)生活動(dòng)：理解圖形的畫法，參與教師講例，并歸納方法為（2）確定一個(gè)三角形，再應(yīng)用勾股定理

9、的逆定理解決問題.【問題探究3】（投影顯示）如圖（1）,在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC1上一點(diǎn)，且EC=BC,求證：AF丄EF.4思路點(diǎn)撥：要證AF丄EF,需證AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，？只要證出AF2+EF2=AF2就可以了.教師活動(dòng)：操作投影儀，組織學(xué)生討論，引導(dǎo)學(xué)生寫出推 理過程.學(xué)生活動(dòng)：先獨(dú)立思考，再與同伴交流，并踴躍上臺(tái)“板演”aaa證明：連結(jié)AE,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,則DF=FC#,EC工,在RtECF中,有EF=(2422+(a)2= a2;同理可證.在RtECF中，有EF=( - )2+(a)2=衛(wèi)衛(wèi)a2，在RtABE4162416中，有BE=a-a

10、=3a,vAE=-2+( -a)2=?25a22+EF2=A.根據(jù)勾股逆定理得，44416/AEF=90,.AF丄EF.【設(shè)計(jì)意圖】以例2為理解勾股定理逆定理的應(yīng)用，再補(bǔ)充“問題探究 應(yīng)用范圍.四、 隨堂練習(xí)，鞏固深化1）?畫出正確的象限圖;3”來拓展勾股定理逆定理的DF1.課本P84“練習(xí)”第1,2,3題.2.【探研時(shí)空】若厶ABC的三邊a,b，c滿足條件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，試判斷厶ABC的形狀.（提示：根據(jù)所給條件，只有從關(guān)于a,b,c的等式入手，找出a,b,c三邊之間的關(guān)系，應(yīng)用分解因式可得（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0,求出a=5,b=12,c=13,；a2+b2=c2,ABC是直角三角形）五、 課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?.勾股定理的逆定性：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a,b,c有下列關(guān)系：a2+b2=c2,?那么這個(gè)三角形是