2013屆壓軸大題

1、22已知動點M到點1,0的距離與到直線x=3的距離之比為3(1) 求點M的軌跡C的方程并判斷軌跡形狀;(2)動直線I與軌跡C交于P(xi, yi ),Q(X2, y2)兩不同的點，求 OPQ的面積S opq的最大值，其中0為坐標原點;(3)在(2)的條件下，若S.opq取最大值，求證：xf x；和y； y均為定值.解：(1)令 M (x, y)依題(2 扌化為2x2 3y6x -32 2即11，動點M的軌跡為橢圓32(2) 當直線I的斜率不存在時，有1S OPQ =2x2yi =2Xi2Xi6當直線I的斜率存在時，令直線 I的方程為y = kx m m = 0代入橢圓方程得 2 - 3k2 x

2、2 6kmx 3m2 -6 = 06 km2 3k23m2 6 2 3k2由弦長公式，PQ =它（1 + k2 Wxp + x2 f 4x4X2 】1 1Spq =2Pq d =y|m2,6 2 3k2 一 m22 +3k2mj2 + 3k2 m26 12 3k2又 m(2 + 3k2 - m22 3k2 - m222 3k22點O到直線l的距離為d二則 S OPQS OPQ的最大值為6"，綜上,2(3) 由(2)知，當直線I的斜率不存在時，由 xy4 ="且 1 + 丫1 =1 知，x4 =燈6 , y4 = 123222 2 2 2X1 X2 = 3, y1 y2 =

3、2，-|m|j2 + 3k2 -m2 V6當直線I的斜率存在時，由S opq 66知2 + 3k229k4 -12k2m2 4m412k28m24=0即 3k2 - 2m22=0X； X； = xx2-2X4X26(3m2k2 -2m2 6k2 4)(2 + 3k2)23,y； y； = 4 - f x； x； =2綜上，x； x2 二 3, y； y2 = 220、（本小題滿分13分）2 2-1 T已知點P是圓x2 - y2 -1上一動點，點P在y軸上的射影為Q，設滿足條件QM =2QP的點M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)設過點N(1,0)且斜率為匕(匕=0)的直線l被曲線C所

4、截得的弦的中點為 A , O為坐標原點，直線OA的斜率為k2，求k-2 k；的最小值.解: (1)設點P的坐標為(x0,y0)，點M的坐標為(x, y)，則點Q的坐標為(0,y0). x（3 分）由 QM = 2QP，得 x = 2x0y = y0，即 x0, y0 = y.22 222X2X2因為點P在圓x y =1上，則 y =1，故點M的軌跡C的方程為 y =1.446分）(2)由題設，直線l的方程為y =匕(x - 1)，由 一 "：一1），得（4k； 1）x2 8k2x 4k； 4=0. lx 4y =48 分）其中厶=64k： -4（4好 1）（4好 一4） =16（3k

5、12 1） 0.設直線I與曲線C的兩交點坐標為(n，yj,( x2, y2)，則x1 x2 二比， k。1 x"證，所以 k2yr y22x x221.（10 分）4匕2 2 2 1 1 1所以kfK十斎乜，當且僅當"±2時取等號16k1故k2 * k；的最小值為.13 分）19.(本小題滿分13分)已知等差數(shù)列和為Sn，且對任意正整數(shù) n都有an的首項a1為a（a R,a=0） 設數(shù)列的前n項 a2n _ 4n -1an 2n T(1)求數(shù)列an的通項公式及Sn ； 是否存在正整數(shù)n和k，使得Sn , Sn+1 , Sn+k成等比數(shù)列？若存在， 求出n和k的值;

6、 若不存在，請說明理由. 解：設等差數(shù)列【專的公差為爪在也色二1中令1可得農久 即務釧一1旳竺2 =九 故d = 2a , a = tjj +(m - l)d = (2n - )a經檢驗，勺 _ '叵成立.a"aK 2n-所Lit盤”=(2n 1)4,毎=1十3+(2冷一】)曲=肄2盤.解土由(I)知-r?a !爲+j(總+ 1)%,備jt(并+*)%假若篡，Q：,滋成 尊比鎮(zhèn)列則氐二聒即知護個+ 1)斗=血疔.又因齒盤工01禺比wN* , 所UA(Hr®+d 徑整理得«(t-2)-U考慮至他上均為正整飆所以用 1, k« 3*所以 存在正整數(shù)鬥

7、"和疋=3符合題目的要求.ij . 317已知向量 a =(sin( x ), -一), b = ( ,cos( x ),且 f (x)二a b.2 6 2 2 2 6(1) 求f (x)最小正周期；(2) 數(shù)列an滿足ai=1,a. .2=1 f (n1)2anf (n)2，求印*3比 山a49.解析：(1) f (x) =a b =sin( x )3 -cos( x )-2 6 2 2 6 2Jin jiji=sin(_x _ -) =sin( x)2662T=4 .+5分/ 、22 n兀.22 (n +1)jn(2) f(n)二sin ,f(n 1)二sincos-一2 2 2當 n =2k-1 時，an2 =(1 cos2(n