2018新課標(biāo)全國(guó)2卷理數(shù)

1、2021新課標(biāo)全國(guó)2卷理數(shù)2021年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷理科新課標(biāo)n、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。1 . 5分2021?新課標(biāo)n二1-2145A.5 1丄c.B.3Z D34551 D.5$1= 2 . 5分2021?新課標(biāo)A. 9B. 8 C. 53 . 5分2021?新課標(biāo)的圖象大致為函數(shù)f X=n集合A=x, y| x2+y2w 3, x Z, y Z，那么A中兀素的個(gè)數(shù)為D. 4e2B.向量-I,.滿足| i| =1,，D. 0A. 4 B. 3 C. 25. 5分2021?新課標(biāo)雙曲線=1 a> 0, b> 0的離心率為xA. y= ±公 殳x

2、B. y= ±打*C. y=±c.;，那么其漸近線方程為,BC=1, AC=5,那么 AB=7.5分2021?新課標(biāo)n為計(jì)算S=1 -丄99100，設(shè)計(jì)了如圖的程序框圖，那么在空白框中應(yīng)6. 5分2021?新課標(biāo)n在厶ABC中,A. 4一7 B.卜-廠:C. J D. 2 .-填入5分2021?新課標(biāo)I我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜測(cè)的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜測(cè) 每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和"，如30=7+23.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的概率是A.112B.14C.115D.1S9. 5分2021?新課標(biāo)I在長(zhǎng)

3、方體 ABCD- A1B1C1D1中，AB=BC=1, AA1=；，那么異面直線 AD1與DB1所成角 的余弦值為<55A.B.C.D.V2210. 5 分4A.B.2021?新課標(biāo)I丨假設(shè)fx=cosx-sinx在-a, a是減函數(shù)，那么a的最大值是兀C.3 IT2021?新課標(biāo)If X是定義域?yàn)?=2,那么 f 1+f2+f311. 5 分A.- 50 B. 0C. 2 D.5012. 5 分2021?新課標(biāo) IIF1,巨是橢圓=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)， A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn) Pg,+8的奇函數(shù)，滿足 f 1 -x=f 1+x，假設(shè)f 1+ 50=在過(guò)A且斜率為習(xí)的直線上

4、， PF1F2為等腰三角形，/ F1F2P=120°那么C的離心率為A.B.C.D.二、填空題:此題共4小題，每題5分，共20分。13.5 分2021?新課標(biāo)I丨曲線y=2ln x+1在點(diǎn)0, 0處的切線方程為14.5分2021?新課標(biāo)n丨假設(shè)x, y滿足約束條件勿十，那么z=x+y的最大值為 L x-5 015. 5 分2021?新課標(biāo) nsin +cos 3 =lcos as in 3 =0那么 sin a+B=-，SA與圓錐底面所成角為16. 5分2021?新課標(biāo)n圓錐的頂點(diǎn)為 S,母線SA SB所成角的余弦值為假設(shè) SAB的面積為51匚那么該圓錐的側(cè)面積為 三、解答題：共 7

5、0分。解容許寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根要求作答。一）必考題：共60分。17. 12分2021?新課標(biāo)n記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a1=-7, S = - 15.1求an的通項(xiàng)公式；2求各，并求Sn的最小值.18. 12分2021?新課標(biāo)n如圖是某地區(qū)2000年至2021年環(huán)境根底設(shè)施投資額 y單位：億元的折線圖.為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2021年的環(huán)境根底設(shè)施投資額， 建立了 y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000年至2021 年的數(shù)據(jù)時(shí)間變量 t的值依次為1, 2,，17建立模型：，.= -30.4+13

6、.5t;根據(jù)2021年至2021年的數(shù)據(jù)時(shí)間變量t的值依次為1, 2,，7建立模型：=99+17.5t.1分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2021年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；2你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由.19. 12分2021?新課標(biāo)n丨設(shè)拋物線C: y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k k> 0的直線l與C交于A, B 兩點(diǎn)，|AB|= 8.1求I的方程；2求過(guò)點(diǎn)A, B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.20. 12分2021?新課標(biāo)n如圖，在三棱錐 P-ABC中，AB=BC=2】：，PA=PB=PC=AC=4 O為AC的中點(diǎn).1證明：PO丄平面ABC;2假設(shè)點(diǎn)M在棱BC

7、上，且二面角 M - PA- C為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.21. 12 分2021?新課標(biāo) n 丨函數(shù) fx=ex- ax2.1假設(shè) a=1，證明：當(dāng) x> 0 時(shí)，f x> 1;2假設(shè)fx在0, +8只有一個(gè)零點(diǎn)，求 a.選修直線I的二選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，那么按所做的第一題計(jì)分。4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程22. 10分2021?新課標(biāo)n在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 L " /, B為參數(shù)，ly=4sin 9參數(shù)方程為， t為參數(shù).I y=2+tsin 口1求C和I的直角坐標(biāo)方程；2假設(shè)

8、曲線C截直線I所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為1, 2，求I的斜率.選修4-5 :不等式選講23. 2021?新課標(biāo) n設(shè)函數(shù) fX=5- |x+a| - |x-2| .1當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f xA 0的解集；2假設(shè)fxw 1,求a的取值范圍.2021年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷理科新課標(biāo)n參考答案與試題解析一、選擇題：此題共 12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目 要求的。1. D; 2. A; 3. B; 4. B; 5. A; 6. A; 7. B; 8. C; 9. C; 10. A; 11. C; 12. D;、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。13.

9、 y=2x; 14. 9;15.丄;一、選擇題：此題共 求的。12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要1. 5 分2021?新課標(biāo) n1-1A.5【分析】【解答】:i Bi B.禾U用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法那么化簡(jiǎn)求解即可.4 .2尋芒i D.1+厲=a+2fra+厲):=311-21 (1-21) (1+21)5解:應(yīng)選：D.2.5分2021?新課標(biāo)n丨集合A=x, y|x2+y2w 3, x Z, y Z，那么A中元素的個(gè)數(shù)為A. 9 B. 8C. 5D. 4【分析】分別令x=- 1, 0, 1，進(jìn)展求解即可.【解答】解：當(dāng)x=- 1時(shí)，y2< 2

10、,得y=- 1, 0, 1, 當(dāng) x=0 時(shí)，y2< 3,得 y=- 1 , 0, 1, 當(dāng) x=1 時(shí)，y2<2,得 y=- 1 , 0, 1,即集合A中元素有9個(gè)，應(yīng)選：A.3. 5分2021?新課標(biāo)n函數(shù)f X=的圖象大致為=-fX，【解答】解：函數(shù)f- X=_ (-幻那么函數(shù)f X為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A,當(dāng) x=1 時(shí)，f 1=e-丄0，排除 D.e當(dāng) xt+8時(shí)，fxt+8,排除 C,應(yīng)選：B.=1 H*-1-*H4. 5 分2021?新課標(biāo) II 丨向量.1,滿足 | .i|=1, = - 1,那么 1? 2r ，=A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【分

11、析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可.【解答】解：向量宮，b滿足I 口 =1,目 b= 1，那么a? 2方一b=2且-過(guò)可=2+1=3, 應(yīng)選：B.25. 5分2021?新課標(biāo)I雙曲線=1 a> 0, b> 0的離心率為二 那么其漸近線方程為A. y=±t、：如 B. y=±A；x C. y=± _ x D.dj【解答】解：雙曲線的離心率為e2那么22 2 W 一旦ba即雙曲線的漸近線方程為y=±Ex=L “ 土 “j- x,a應(yīng)選：A.6. 5分2021?新課標(biāo)I在厶ABC中,A. 4 . : B.冶：C.D. 2 .口BC=1, AC=5,那

12、么 AB=【分析】【解答】利用二倍角公式求出 c的余弦函數(shù)值，利用余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可.解：在 ABC 中，cos _=1_ 1cos2,cosC=2X.=_3_亍BC=1, AC=5,那么 AB=-ji i 2=.im . - =J :'-.【分析】根據(jù)雙曲線離心率的定義求出a, c的關(guān)系，結(jié)合雙曲線 a, b, c的關(guān)系進(jìn)展求解即可.應(yīng)選：A.7.5分2021?新課標(biāo)I為計(jì)算S=1-+99片，設(shè)計(jì)了如圖的程序框圖，那么在空白框中應(yīng)填入S=N T,【分析】模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程知該程序運(yùn)行后輸出的 由此知空白處應(yīng)填入的條件.【解答】解：模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程知,199該程序運(yùn)行后輸出

13、的是8.5分2021?新課標(biāo)H我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜測(cè)的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜測(cè) 是每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和"，其和等于丄12A.30的概率是115B.C.D.14利用列舉法先求出不超過(guò)30的所有素?cái)?shù),解：在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中有，2, 3, 5, 從中選2個(gè)不同的數(shù)有cf a=45種，【分析】【解答】如30=7+23.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),1S利用古典概型的概率公式進(jìn)展計(jì)算即可.乙 11, 13, 17, 19, 23, 29 共 10 個(gè),和等于 30 的有乙 23， 11, 19， 13, 17，共 3 種, 那么對(duì)應(yīng)的概

14、率 P=：=,45 15應(yīng)選：c.9. 5分2021?新課標(biāo)H在長(zhǎng)方體 ABCD- A1B1C1D1中，AB=BC=1, AA=；，那么異面直線 AD1與DB1所成角 的余弦值為A.B. T C . D-【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DDi為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，禾U用向量法能求出異面直線 ADi與DBi所成角的余弦值.【解答】 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DDi為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,T在長(zhǎng)方體 ABCD- AiBiCiDi 中，AB=BC=1,AA1 =.：, A i ,0,0，Di 0, 0,二，D 0,0,0,Bi i , i,:，“ .=-i, 0

15、,.-;，r = i, i,；，|AD；DB；|-2IadJ-Idb；25設(shè)異面直線 ADi與DBi所成角為0,那么cos 0異面直線ADi與DBi所成角的余弦值為i0.5 分KVA.B.202i?新課標(biāo)n丨假設(shè)fx=cosx sinx在-a, a是減函數(shù)，那么a的最大值是2C.【分析】利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)f x丨，由7T7171<-y+2kn的最大值.也兀兀吃k兀，k Z,取k=0,得fx的一個(gè)減區(qū)間為,-，-，結(jié)合條件即可求出a【解答】 解：fx=cosx sinx= sinx cosx=-7Ty+2k 兀 < x <-2k 兀,k Z,得-兀乜kTT，M z,取k

16、=o,得fx的一個(gè)減區(qū)間為,A-jr,44由f x在-a, a是減函數(shù),那么a的最大值是4應(yīng)選：A.11.5分2021?新課標(biāo)nfX是定義域?yàn)?3+R的奇函數(shù)，滿足f 1-x=f 1+x，假設(shè)f 1=2,那么 f 1+f2+f3+50=A. - 50 B. 0C. 2D. 50【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期是4，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性進(jìn)展轉(zhuǎn)化求解即可.【解答】 解：T f X是奇函數(shù)，且f 1 - X=f 1+X， f 1 - x=f 1+x= - f x - 1，f 0=0,那么 fx+2= - f x，那么 fx+4= - f x+2=f x，即函數(shù)fX是周期為4的周

17、期函數(shù)，/ f 1=2 , f 2=f 0=0, f 3=f 1 - 2=f- 1=- f 1=- 2,f 4=f 0=0,那么 f 1+f 2+f 3+f 4=2+0 - 2+0=0,那么 f 1+f2+f 3+f 50=12f 1+f 2+f 3+f4+f 49+f50=f 1+f 2=2+0=2,應(yīng)選：C.12. 5分2021?新課標(biāo)nF1, F2是橢圓C:2 2- =1a>b>0的左、右焦點(diǎn)， A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn) P在過(guò)A且斜率為23【分析】A.B.I的直線上， PF1F2為等腰三角形，/ F1F2P=120 °那么C的離心率為13C.D.2求得直線AP的方程：根

18、據(jù)題意求得 P點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率.【解答】解：由題意可知:直線AP的方程為:A- a, 0，F(xiàn)1- c,x+a,0，F(xiàn)2c, 0，由/ RF2P=120° | PF>| =| F1F2| =2c，那么 P2c, . ；c, 代入直線 AP： #'.：5c= ' 2c+a，整理得：a=4c,6、填空題：此題共 4小題，每題5分，共20分。13. 5分2021?新課標(biāo)n丨曲線y=2ln x+1在點(diǎn)0, 0處的切線方程為y=2x .【分析】欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線

19、的斜率.從而問(wèn)題解決.【解答】解：I y=2ln x+1，當(dāng) x=0 時(shí)，y' =2曲線y=2ln x+1在點(diǎn)0, 0處的切線方程為 y=2x.故答案為：y=2x.14. 5分2021?新課標(biāo)n丨假設(shè)x, y滿足約束條件 7-勿十，那么z=x+y的最大值為 9L 0【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.k+2/-5>0-2y43>0作出可行域如圖，k-bCo化目標(biāo)函數(shù) z=x+y為y= - x+z,由圖可知，當(dāng)直線 y= - x+z過(guò)A時(shí)，z取得最大值，J V R由，解得A 5,4，x-2y+3=0目標(biāo)函數(shù)有最大值，為 z=

20、9.故答案為：9.15. 5 分2021?新課標(biāo) nsin +cos 3 =lcos asin 3 =0那么 sin a+B=_丄_.【分析】 把等式兩邊平方化簡(jiǎn)可得2+2sin a cos+Bos a sin=1，再利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)為2sin a+3=-1,可得結(jié)果.【解答】 解：sin acos 3 =l兩邊平方可得：sin2 a+2sin a co+cos2 3 =1 ，cos asin 3 =0兩邊平方可得：cos2 a+2cos a sir+sjn2 3 =0 ，由 + 得：2+2 sin a cosmos a sin=1，即 2+2sin a+3=1, 2sin a+ 3

21、= - 1. sin a+ 3= -.2故答案為：二.245 °16. 5分2021?新課標(biāo)圓錐的頂點(diǎn)為 S,母線SA SB所成角的余弦值為 一，SA與圓錐底面所成角為 假設(shè) SAB的面積為5 1 那么該圓錐的側(cè)面積為40. 'n.S,母線SA, SB所成角的余弦值為1可得 sin / AMB=,【分析】利用條件求出圓錐的母線長(zhǎng)，利用直線與平面所成角求解底面半徑，然后求解圓錐的側(cè)面積.【解答】解：圓錐的頂點(diǎn)為 SAB的面積為5 .，可得丄 L) sin/AMB=5 一 乙即丄1=5 I 口，即 SA=4 .iz1：SA與圓錐底面所成角為 45 °可得圓錐的底面半徑為

22、：孚 X 砸= .那么該圓錐的側(cè)面積：一- : n =40 -兀故答案為：40.n1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必三、解答題：共 70分。解容許寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第2021新課標(biāo)全國(guó)2卷理數(shù)須作答。第22、23題為選考題，考生根要求作答。一）必考題：共60分。17. 12分2021?新課標(biāo)H記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，ai=-7, & = - 15.1求an的通項(xiàng)公式；2求Sn,并求Sn的最小值.【分析】1根據(jù)a1=-7,S3=-15,可得a1=-7, 3a1+3d= - 15,求出等差數(shù)列an的公差，然后求出an即可；2由 a1= - 7 , d=2, an=

23、2n- 9,得暫十遼口）（2 J16口）=n2- 8n=n - 42- 16,由此可求出 S 以及S的最小值.【解答】解：1：等差數(shù)列an中，a1=- 7, Ss=- 15,二 a1=- 7 , 3a1+3d=- 15,解得 a1= - 7, d=2,-an= 7 +2 n 1=2n 9;2T a1=- 7, d=2, an=2n - 9,=二九-汁=n2-8n=n - 42- 16,當(dāng)n=4時(shí)，前n項(xiàng)的和Sn取得最小值為-16.18. 12分2021?新課標(biāo)n如圖是某地區(qū)2000年至2021年環(huán)境根底設(shè)施投資額 y單位：億元的折線圖.為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2021年的環(huán)境根底設(shè)施投資額， 建立了 y

24、與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000年至2021 年的數(shù)據(jù)時(shí)間變量 t的值依次為1, 2,，17建立模型： =-30.4+13.5t;根據(jù)2021年至2021年的數(shù)據(jù)時(shí)間變量t的值依次為1, 2,，7建立模型：=99+17.5t.1分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2021年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；2你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由.【分析】1根據(jù)模型計(jì)算t=19時(shí)丁的值，根據(jù)模型計(jì)算 t=9時(shí)的值即可；2從總體數(shù)據(jù)和2000年到2021年間遞增幅度以及 2021年到2021年間遞增的幅度比擬，即可得出模型的預(yù)測(cè)值更可靠些.【解答】解：1根據(jù)模型：=-30.4+13.5t

25、,計(jì)算 t=19 時(shí)，.尸-30.4+13.5 X 19=226.1；2021新課標(biāo)全國(guó)2卷理數(shù)利用這個(gè)模型，求出該地區(qū) 2021年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值是226.1億元；根據(jù)模型：.=99+17.5t, 計(jì)算 t=9 時(shí)，?=99+17.5 X 9=256.5利用這個(gè)模型，求該地區(qū) 2021年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值是256.5億元；2模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠；因?yàn)閺目傮w數(shù)據(jù)看，該地區(qū)從2000年到2021年的環(huán)境根底設(shè)施投資額是逐年上升的，而從2000年到2021年間遞增的幅度較小些，從2021年到2021年間遞增的幅度較大些，所以，利用模型的預(yù)測(cè)值更可靠些.19. 12分2021

26、?新課標(biāo)n丨設(shè)拋物線 C: y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k k> 0的直線I與C交于A, B 兩點(diǎn)，|AB|= 8.1求I的方程；2求過(guò)點(diǎn)A, B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.【分析】1方法一：設(shè)直線 AB的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式即可求得k的值，即可求得直線I的方程；方法二：根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式|AB|="，求得直線AB的傾斜角，即可求得直線I的斜率，求得直線Isin2e的方程；2根據(jù)過(guò)A, B分別向準(zhǔn)線I作垂線，根據(jù)拋物線的定義即可求得半徑，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得圓心，求得圓的方程.【解答】解：1方法一：拋物線 C: y2=4x的焦點(diǎn)為F 1,

27、 0，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，|AB|=4,不滿足；設(shè)直線 AB 的方程為：y=k x-1，設(shè) A X1,y1，B x2 ,y2，那么 '，整理得：k2/- 2 k2+2x+k2=0,那么 X1 +x2 , X1 X2=1 ,由 |AB|=X1+x2+p=，'+2=8，解得：k2=1,那么 k=1,直線I的方程y=x- 1；方法二：拋物線C： y2=4x的焦點(diǎn)為F 1 , 0，設(shè)直線AB的傾斜角為0 ,由拋物線的弦長(zhǎng)公式| AB| = " ='=8 ,解得：sin2 0=,sin2e sin2 e2 0,那么直線的斜率 k=1 ,直線I的方程y=x- 1；2過(guò)A

28、 , B分別向準(zhǔn)線x=- 1作垂線,垂足分別為A1 , B1 ,設(shè)AB的中點(diǎn)為D,過(guò)D作DD1丄準(zhǔn)線I ,垂足為D ,那么 | DD1| =亍| AA1|+| BB1|由拋物線的定義可知：| AA1| =| AF| , | BB1| =| BF| ,那么r=| DD1| =4 ,以AB為直徑的圓與x=- 1相切，且該圓的圓心為 AB的中點(diǎn)D ,由1可知：X1+X2=6 , y什 y2=x 什X2-2=4 ,2021新課標(biāo)全國(guó)2卷理數(shù)那么 D 3, 2,x 32+y - 22=16.1證明：PO丄平面ABC;20. 12 分2021?新課標(biāo) H如圖，在三棱錐 P ABC中，AB=BC=2 】:,

29、PA=PB=PC=AC=,4 O 為 AC的中點(diǎn).M PA C為30°求PC與平面PAM所成角的正弦值.【分析】1利用線面垂直的判定定理證明PO丄AC, PO丄OB即可;2根據(jù)二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到結(jié)論.【解答】 解：1證明：T AB=BC=2 :, O是AC的中點(diǎn)， BO丄 AC,且 BO=2,又 PA=PC=PB=AC=2 PO 丄 AC, PO=2 一；,那么 PB2=po2+BO2,那么PO丄OB,/ OBn AC=Q PO丄平面ABC;2建立以O(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)，OB, OC, OP分別為x, y, z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖:A 0, 2 , 0，P

30、 0 , 0 , 2 ：C 0 , 2 , 0, B 2 , 0 , 0,BC=- 2 , 2 , 0，2021新課標(biāo)全國(guó)2卷理數(shù)設(shè) BJt 入BO 2 入，2 入，0，0 VX 1那么 ES幀-BA = 2 入，2 人 0 2, 2, 0= 2 - 2 人 2 入+2, 0， 那么平面PAC的法向量為口= 1 , 0, 0，設(shè)平面 MPA的法向量為,'=x，y，z，那么.= 0，- 2，- 2 一 ；，那么 口?可=-2y- 2jz=0，口？戰(zhàn)=2- 2 Ax+2 入+2y=0令z=1，那么 滬-品X=I巴亞，1-X即異。41屮，-血,1，面角 M - PA- C 為 30°

31、; ° cos30°|=,2I （匯+i）逅即=.,J （令+亦厲1二J 2解得入丄或入=3舍,3那么平面 MPA的法向量= 2. ；,- _ ；, 1，I = 0, 2, - 2；，"> I =1J =.；164PC與平面PAM所成角的正弦值 sin B|=osv I,21. 12 分2021?新課標(biāo) n 丨函數(shù) fx=ex- ax2.1假設(shè) a=1，證明：當(dāng) x>0 時(shí)，f x> 1;2假設(shè)fx在0, +8只有一個(gè)零點(diǎn)，求 a.【分析】1通過(guò)兩次求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可證明，2別離參數(shù)可得a=._在0, +8只有一個(gè)根，即

32、函數(shù) y=a與GX=一 ：的圖象在0, +只有一個(gè)交點(diǎn)結(jié)合圖象即可求得a.2021新課標(biāo)全國(guó)2卷理數(shù)【解答】 證明：1當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)fx=ex- x2.那么 f' x=ex - 2x,令 gx=ex- 2x,那么 g'x=ex- 2,令 g'x=0,得 x=ln2.當(dāng) h解:0, ln2 丨時(shí)，h'xv 0，當(dāng) In2 , +8時(shí)，h'x> 0,xh In2=eln2 - 2?ln2=2 - 2ln2 > 0,X在0, +8單調(diào)遞增，fx> f 0=1,2，f乂在0, +8只有一個(gè)零點(diǎn)？方程ex- ax2=0在0, +8只有一個(gè)根,e? a0, +8只有一個(gè)根,即函數(shù)y=a與G x吟勺圖象在0+8只有一個(gè)交點(diǎn).GJ當(dāng) x 0, 2時(shí)，G xv 0,當(dāng) 2, +8時(shí)，G x> 0, G乂在0, 2遞增，在2, +8遞增,當(dāng) T0 時(shí)，G XT+8，當(dāng) T + 8時(shí)，G XT+8,2 f劉在0, +8只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，