思想引領(lǐng)+縱橫聯(lián)系——一道比較二次函數(shù)的函數(shù)值大小的試題分析與講評

1、案例點評2()14年7月思想引領(lǐng)縱橫聯(lián)系道比較二次函數(shù)的函數(shù)值大小的試題分析與講評江蘇省揚州市江都區(qū)楊莊中學(xué)肖世兵案例點評2()14年7月案例點評2()14年7月試卷講評課是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要課型.如何講 評，是許多一線教師關(guān)注的熱點和焦點問題從障礙的 診斷,到障礙的矯治,都是永恒的話題筆者擷取一道實 際案例，拋磚引玉，以期人家更熱烈的探討交流.、試題再現(xiàn)題目 已知兩點A （-5）、（3,力）均在拋物線尸 ar+6x+c（a0 ）上，點0（如,旳）是該拋物線的頂點,若” 力工血貝的取值范圍是.二、解答分析此題是我區(qū)九年級期末試卷的填空題的顯后一題. 本題全區(qū)正確率為3.5%造成解題的障礙有哪

2、些?筆者 嘗試從學(xué)生埜錯解分析，尋找學(xué)生解題的障礙.從學(xué)生的解答來看，錯誤答案五花八門.便于研究, 筆者將借解分為三大類.第一類錯解：-53, -5s）W 3, -5 Wx（）3，錯解分析:此類錯解是出鏡率最高的.可見，絕人數(shù) 學(xué)生處于無法理解題意，以及題目所考查的知識要點， 無法尋找問題的突破口，只能憑借平時常見練習(xí)的習(xí) 慣湖亂寫出牝的取值范圍.第二類錯解：*o3,卻M3.錯解分析：此類問題，主要足學(xué)生從條件“：力M 旳”,錯謀地得出勺隨丫的增大而減小”或只畫出拋物線的 對稱軸在直線“3的右側(cè)的一種情況，進(jìn)而片面地認(rèn)為 “%&3”或“心3”,對二次函數(shù)的性質(zhì)理解不到位.第三類錯解：-10：岳

3、3或%&3,-1丫003.錯解分析：此類學(xué)生作答冇點遺憾，都能想到了 “-1”,錯謀屮不乏正確的想法.對二次函數(shù)的性質(zhì)有較 為淸晰的認(rèn)識，能從條件5丫2 M %”知道拋物線的開口 向上,但還未能明確“二次函數(shù)的函數(shù)值的大小與點到 坐標(biāo)軸的距蔑有關(guān)”，或還不能通過合理的分類，準(zhǔn)確完 整地確定肌的取值范圍對錯誤“-15W3或*23”來說, 主要是學(xué)生重復(fù)了.三、試題講評本題是一道有關(guān)二次函數(shù)的函數(shù)值大小比較的試 題，主要考杳拋物線的頂點與最值的關(guān)系、最值與開【I 方向的關(guān)系、對稱軸與兩數(shù)值大小的關(guān)系，涉及了數(shù)形 結(jié)合思想、分類討論思想.這類問題的常規(guī)解法是根據(jù) 圖像的大致位置（開口方向、對稱軸）比

4、較函數(shù)值的大 小，聞此題創(chuàng)新之處在于將條件與結(jié)論倒置，由函數(shù)值 的大小關(guān)系,確定對稱軸的位置.從學(xué)生的錯誤悄況來看，難點之一:學(xué)生不能運川 二次函數(shù)的性質(zhì),判斷岀拋物線的開口方向;難點二:忽 視二次函數(shù)在變化趨勢上與一次函數(shù)、反比例函數(shù)的不 同，不能全面、正確地畫出大致圖像為了幫肋學(xué)生破解 這一難點，筆者嘗試從不同的角度看手講解，以求對試 題價值的最人效益化.1. 立足思想，數(shù)形分類本融解答，亦可采用圖像法，只是圖像不唯一，需要 分類討論首先,根據(jù)條件“點C&。,為）是該拋物線的頂點,/, 旳刁，?！?劉斷出拋物線開口向上其次，分類討論.當(dāng)對稱軸在也線3的右側(cè)時,符合題意.故A3.當(dāng)對稱軸為*

5、3時,符合題意,故妒3.當(dāng)對稱軸在直線*-5和*3之間時,考慮特殊悄況, 假設(shè)丁刊：時，妒-1故當(dāng),牝-1.綜上可知,心的取值范圍是心-1.2縱向串講，融會貫通除了上述結(jié)合圖像分類討論的方法外，還可以直接 運用二次函數(shù)的特性解決問題.為了便于學(xué)生很好地理 解這一特性,筆者設(shè)計了以下題組.（1）已知點A （1 ,yJ,B（22,C（-l，旳）在拋物線尸 &1尸+1上側(cè)關(guān)于“55的大小關(guān)系正確的是（）.案例點評2()14年7月案例點評2()14年7月18 十了農(nóng)7初中版2014年7月案例點評A.yi2.nBy”/C.yj）syiD.y2yiT3設(shè)計意圖：通過具體數(shù)值，直觀感受二次函數(shù)的函 數(shù)值大小

6、.（2）U知點人（知）,（%2,力）在拋物線y=-x2+2x+1 上. 曲總 1，貝収1、力的大小關(guān)系是; 若曲1*2,則（填“能”或“不能”）確定722的大小關(guān)系.設(shè)計意圖：設(shè)計兩問，感知二次函數(shù)值的大小 與對禰軸的位置有關(guān).即若兩點在對稱軸同側(cè)時，可 接根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),判斷函數(shù)值的大小;若網(wǎng)點在 對稱軸的兩側(cè)時,則具體情況具體分析.（3）若二次函數(shù)尸疋_4丄+“的圖像經(jīng)過點A （-1 ,力）， （2,旳）,C （3+VT,旳）貝!1關(guān)于y 1、旳、旳的大小關(guān)系正確 的是（ ）.C.g”D.y2yi73設(shè)計意圖：通過不完全給出函數(shù)解析式，即不能直 接求解出函數(shù)值的悄形，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合大致圖

7、像，比較 函數(shù)值大小,進(jìn)-步感受二次函數(shù)值的大小與對稱軸的 位置的關(guān)聯(lián).（4）若二次函數(shù)尸皿疋+2加+加* 1（*0）的圖像經(jīng)過 點A （-2,yJ,（0,y2），C（ 1 ,旳），則關(guān)于JiSS的人小關(guān) 系正確的是（）.A.yi=y2yjB.y3yi=y25 今心D.y2yi旳”可知，點A離頂點（或?qū)ΨQ軸）遠(yuǎn)些, 假設(shè)點片、離對稱軸的距離相等,則Xo=-1,故滿足條件 的忌的取值范圍是對-1.3橫向輻射，以點及面二次函數(shù)的變化趨勢不同于一次函數(shù)和反比例函 數(shù)，它不具冇單調(diào)性為了加深印象，避免混淆.筆者又給 出了兩個變式：變式一：已知點4（-5,y,）.B（3,y2）.CGo,yo）均在直 線

8、尸ax+b上，若），刁2 M血則t血取值范圍是.變式二：已知點A （-5J、B（3,y2）、C（%o,y。）均在雙 曲線y=E上,若“旳 yo，則處的取值范圍是.X設(shè)計意圖：它們的共同點，首先都是要根據(jù)函數(shù)值 的大小關(guān)系，得出函數(shù)的圖像與性質(zhì)撚后再結(jié)合圖像 和性質(zhì)，呦定取值范圍.四、一些感悟1函數(shù)值大小比較試題的解答應(yīng)注重思想引領(lǐng)關(guān)于函數(shù)值比較大小類的試題一也是中考的熱點 問題.這類試題一方面凸顯了對初中常見函數(shù)（一次函 數(shù)仮比例函數(shù)、二次函數(shù)）的圖像與性質(zhì)的基本知識、 核心知識的考査，另一方面體現(xiàn)了對數(shù)形結(jié)合、分類討 論等重要思想方法的考查.此類試題的解答,不少老師給出了很好的策略和方 法.

9、文1提出了：以動制靜，讓學(xué)生“從上向卜畫”，要求學(xué) 生在畫線的過程中關(guān)注最先接觸到哪-條線，從而得到 “誰在上面誰就人”的結(jié)論.當(dāng)然，可以借助一把直尺，從 圖像的左側(cè)一直平移到右側(cè)，結(jié)合圖像,觀察函數(shù)值的 大小關(guān)系變化;針対反比例函數(shù)圖像的不連續(xù)性.文2提 出“三線閃區(qū)法”的函數(shù)値大小比較方法;本文結(jié)合拋物 線的軸對稱性，很容易H觀地得出結(jié)論:開口向上的拋 物線，離頂點越近的點，函數(shù)值越小;開口向下的拋物 線,離頂點越近的點,函數(shù)值越大.無論是以動制靜法，還是三線四區(qū)法，都是具體操 作層面上解答經(jīng)驗的總結(jié)和歸納,是數(shù)學(xué)思想方法的外 顯，有助于學(xué)牛對此類試題的有效達(dá)成和數(shù)形結(jié)合思想 的力效班解.

10、當(dāng)然,如果不注重數(shù)學(xué)思想方法的I領(lǐng),此 類試題的解答易被學(xué)I模式化，而忽視了數(shù)學(xué)思想在解 題中發(fā)揮的價值，本文岀現(xiàn)的第一類錯解就是模式化訓(xùn) 練下的后遺癥.2關(guān)于試題評講對于一份試卷或多份試卷的有效評講，常采用將錯 誤試題作歸類講、對比講、串講、聯(lián)想講等方法同時,文 6提到了對于一些客觀試題別忽略“對而不懂”的現(xiàn)象, 也需關(guān)注對正確試題的評講.聚焦到對一道典型試題的 評講,首先要高度重視對典型錯誤的分析，努力尋找錯 因;其次,有效落實糾錯、鞏固本題在評講中為了達(dá)成 共識,采用了縱向上的申講，以求知識的（下轉(zhuǎn)第22頁）2014年7月案例點評2014年7月案例點評初中版中了我719案例點評2014年

11、7月FH示現(xiàn)實世界中豐富多彩的一面數(shù)學(xué)教育只有在傳授知 識、培養(yǎng)能力的同時注帝人文精神的滲透，才是健全的、 完整的教育能成為真正意義上的數(shù)學(xué)教育.所謂的 人文精神，是一種普遍的人類自我關(guān)懷,表現(xiàn)為對人的 尊嚴(yán)、價值、命運的維護(hù)、追求和關(guān)切，對人類遺留下來 的各種精神文化現(xiàn)象的高度重視,對一種全面發(fā)展的理 想人格的肯定和刻造從某種意義上說，人之所以是萬 物之靈,就在于它冇人文，冇自已獨特的精神文化數(shù)學(xué) 槪念的傳授.其實質(zhì)&對人的教仔與優(yōu)口傳統(tǒng)的同化. 因此,在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中關(guān)注人文價值，使得學(xué)生將 科學(xué)精神和人文精神的培養(yǎng)能和諧地統(tǒng)一起來,培養(yǎng)學(xué) 生形成一種良好的人生觀顯得不容缺失,引導(dǎo)他們更

12、好 地洞察人生、完善心智、凈化靈魂、理解人生的意義與目 的、找到正確的生活方式.在“相反數(shù)”的教學(xué)中，教師先提出問題1、問題2,讓 學(xué)生從已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，通過動手摘錄數(shù)字、合作 交流的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成 數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解釋與探索的過程在這個過程中,學(xué)牛 充分展示出自己的思考方法和探究過程,既反映了學(xué)生 善于獨立思索、善于分析問題與解決問題、善于追求獨 特新穎的思考方式的思維品質(zhì)，也無聲地向?qū)W生傳達(dá)了 在處事時不盲從、有條理、善思辨,在錯綜復(fù)雜的問題面 前不被表面現(xiàn)象所迷惑,而能夠透過現(xiàn)絞洞察事物的本 質(zhì)，揭示事物相互之間的關(guān)系等人文價值.從上述“相反數(shù)”教學(xué)設(shè)計的過程

13、中我們可以看到, 在相反數(shù)概念學(xué)習(xí)過程中還貫穿再另一條線索,就是相 反數(shù)的產(chǎn)生過程，由于教師滲透了數(shù)學(xué)史的知識，這對 學(xué)生人文底蘊的加深會起到一定的效果,對真理的熱愛 與追求，求真、求實的客觀椿神;對新事物的好奇、探索 (上接第19頁)深刻理解，講與題口冇關(guān)的車難點，集中 精力消化重點、分解難點，更好地發(fā)揮典熨試題的“教學(xué) 功能”和“發(fā)展功能”;同時,也采用了橫向上的對比講, 以求觸類旁通，講與題目相關(guān)的知識、方法鏈接,揭示知 識間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生形成良好的知識網(wǎng)絡(luò).當(dāng)然,不管足縱向上的串講，以求融會貫通,還足橫 向上的對比講,達(dá)到以點及而，都應(yīng)建立在以數(shù)學(xué)思想 為核心的弓I領(lǐng)之下.參考文獻(xiàn)

14、：與獨立思考，合理懷疑、批判、創(chuàng)新的精神:實事求是、頑 強執(zhí)著、鍥而不舍的精神:勤奮、自強，不懈努力，為科學(xué) 獻(xiàn)身，為真理而奮斗的粘神，都會對學(xué)生產(chǎn)生一定程度 的影響.利用相反數(shù)的定義，化簡類似如-(-。)的式子是 教學(xué)中的難點，學(xué)生往往感到符號表示的突然性，為突 破難點,教者首先是教給學(xué)生如何讀，從讀的順序去理 解相反數(shù)的表示方法的應(yīng)用讓學(xué)生通過例1和例2的練 習(xí)和反思后.在學(xué)少的心理需要I 再給出相反數(shù)的符號 表示，接著簡要介紹符號“-/的發(fā)展史,這種自然的教 學(xué)處理既融入符號表示的數(shù)學(xué)簡單美,又融入數(shù)學(xué)的 發(fā)展史,挖掘數(shù)學(xué)中蘊含的審美教育素材，引導(dǎo)學(xué)生去 發(fā)現(xiàn)美、創(chuàng)造美、感受美，喚醍學(xué)生

15、對美的欣賞和追求. 這樣,數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)就不再枯燥而變得主動、有趣.最后,值得指出的是,要教好數(shù)學(xué)概念，一是在授課 前教師要對數(shù)學(xué)概念有深刻的理解，并能尋找到學(xué)生認(rèn) 識概念的最佳視角(選擇最佳的“情景”切人點):二是在 授課中要善于“有意識”地關(guān)注以上三個“節(jié)點”,并使三 個節(jié)點自然地融合到課堂的探究中(捕捉融入“節(jié)點”的 最佳時機).只冇這樣，數(shù)學(xué)概念教學(xué)才能落到實處，贏 得髙效,才會為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ).參考文獻(xiàn)：1 .中華人民共和國教肓部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課 程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿)MJ.北京：北京師范大學(xué)出版社.2001.2. 李樹臣.赭心做好教學(xué)設(shè)計.努力提高教學(xué)效率 J.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2011(2).3. 金立淑.“異構(gòu)”指向鼓佳教學(xué)路徑J.中學(xué)數(shù)學(xué) (下),2012(1