追擊相遇問題1

1、V后V前問題一：問題一：兩物體能追及的主要條件是什么？兩物體能追及的主要條件是什么？能追及的特征：能追及的特征：兩物體在追及過程兩物體在追及過程中在中在同一時刻同一時刻處于處于同一位置同一位置后面物體的速度要大于前面物體的速度后面物體的速度要大于前面物體的速度問題二：問題二：解決追及問題的關(guān)鍵在哪？解決追及問題的關(guān)鍵在哪？關(guān)鍵：關(guān)鍵：位移關(guān)系、時間關(guān)系、速度關(guān)系位移關(guān)系、時間關(guān)系、速度關(guān)系1：位移關(guān)系：位移關(guān)系追及到時追及到時:前者位移前者位移+兩物起始距離兩物起始距離=后者位移后者位移2：時間關(guān)系：時間關(guān)系同時出發(fā)：同時出發(fā)：兩物體運動時間相同。兩物體運動時間相同。 思考：思考：兩物體在同一

2、直線上同向作勻速兩物體在同一直線上同向作勻速運動運動. .則兩者之間距離如何變化則兩者之間距離如何變化? ?3：速度關(guān)系：速度關(guān)系結(jié)論：結(jié)論： 當(dāng)前者速度當(dāng)前者速度等于等于后者時，兩者距離后者時，兩者距離不變不變。 當(dāng)前者速度當(dāng)前者速度大于大于后者時，兩者距離后者時，兩者距離增大增大。 當(dāng)前者速度當(dāng)前者速度小于小于后者時，兩者距離后者時，兩者距離減小減小。思考：思考：那勻變速直線運動呢？結(jié)論那勻變速直線運動呢？結(jié)論還成立嗎？還成立嗎？結(jié)論依然成立：結(jié)論依然成立： 當(dāng)前者速度當(dāng)前者速度等于等于后者時，兩者距離后者時，兩者距離不變不變。 當(dāng)前者速度當(dāng)前者速度大于大于后者時，兩者距離后者時，兩者距離

3、增大增大。 當(dāng)前者速度當(dāng)前者速度小于小于后者時，兩者距離后者時，兩者距離減小減小。問題三：問題三：解決追及問題的突破口在哪？解決追及問題的突破口在哪？突破口：突破口：研究兩者研究兩者速度相等速度相等時的情況時的情況 在追及過程中兩物體在追及過程中兩物體速度相速度相等等時，是能否追上或兩者間距時，是能否追上或兩者間距離有極值的離有極值的臨界條件臨界條件。常見題型一：常見題型一： 勻加速勻加速(速度小速度小)直線運動追及勻速直線運動追及勻速(速度大速度大)直線運動直線運動 開始兩者距離開始兩者距離增加增加，直到兩者，直到兩者速度相等速度相等，然后兩者距離開始然后兩者距離開始減小減小，直到，直到相遇

4、相遇，最后距，最后距離一直離一直增加增加。即能追及上且只能即能追及上且只能相遇一次相遇一次，兩者之間，兩者之間在追上前的在追上前的最大距離最大距離出現(xiàn)在兩者出現(xiàn)在兩者速度相速度相等等時。時。例例1：一小汽車從靜止開始以一小汽車從靜止開始以3m/s2的的加速度啟動，恰有一自行車以加速度啟動，恰有一自行車以6m/s的的速度從車邊勻速駛過，速度從車邊勻速駛過，（1）汽車在追上自行車前經(jīng)過多長）汽車在追上自行車前經(jīng)過多長時間后兩者距離最遠？此時距離是多時間后兩者距離最遠？此時距離是多少？少？（2）經(jīng)過多長時間汽車能追上自行）經(jīng)過多長時間汽車能追上自行車？車？此時汽車的速度是多少？此時汽車的速度是多少？

5、解法一：解法一：物理分析法物理分析法(1)解：解：當(dāng)汽車的速度與自行車的速度相等時，當(dāng)汽車的速度與自行車的速度相等時，兩車之間的距離最大。由上述分析可知當(dāng)兩車兩車之間的距離最大。由上述分析可知當(dāng)兩車之間的距離最大時有：之間的距離最大時有： v汽汽atv自自 tv自自 /a6/32sx自自v自自t x汽汽 at2/2xmx自自x汽汽xmv自自tat2/262322/26m例例1：一小汽車從靜止開始以一小汽車從靜止開始以3m/s2的加速度啟動，恰有一自行車以的加速度啟動，恰有一自行車以6m/s的的速度從車邊勻速駛過，（速度從車邊勻速駛過，（1）汽車在追上自行車前經(jīng)過多長時間后兩者距）汽車在追上自行

6、車前經(jīng)過多長時間后兩者距離最遠？此時距離是多少？離最遠？此時距離是多少？例例1：一小汽車從靜止開始以一小汽車從靜止開始以3m/s2的加速度啟動，恰有一自行車以的加速度啟動，恰有一自行車以6m/s的速度從車邊勻速駛過，（的速度從車邊勻速駛過，（1）汽車在追上自行車前經(jīng)過多長時）汽車在追上自行車前經(jīng)過多長時間后兩者距離最遠？此時距離是多少？間后兩者距離最遠？此時距離是多少？解法二：解法二：數(shù)學(xué)極值法數(shù)學(xué)極值法(1)解：解：設(shè)經(jīng)過時間設(shè)經(jīng)過時間t 汽車和自行車之間的距離汽車和自行車之間的距離xxx自自x汽汽v自自tat2/26t3t2/2二次函數(shù)求極值的條件可知：二次函數(shù)求極值的條件可知：當(dāng)當(dāng) tb

7、/2a6/32s 時，時，兩車之間的距離有極大值，兩車之間的距離有極大值，且且 xm62322/26m(1)解：當(dāng)解：當(dāng) tt0 時矩形與三角形的面積之差最大時矩形與三角形的面積之差最大。xm6t0/2 （1）因為汽車的速度圖線的斜率等于因為汽車的速度圖線的斜率等于汽車的加速度大小汽車的加速度大小a6/t0 t06/a6/32s （2）由上面（由上面（1）、（）、（2）兩式可得）兩式可得 xm6m 例例1：一小汽車從靜止開始以一小汽車從靜止開始以3m/s2的加速度啟動，恰有一自行車以的加速度啟動，恰有一自行車以6m/s的速度從車邊勻速駛過，（的速度從車邊勻速駛過，（1）汽車在追上自行車前經(jīng)過多

8、長時）汽車在追上自行車前經(jīng)過多長時間后兩者距離最遠？此時距離是多少？間后兩者距離最遠？此時距離是多少？解法三：解法三：圖像法圖像法例例1：一小汽車從靜止開始以一小汽車從靜止開始以3m/s2的加速度啟動，恰有一自行車以的加速度啟動，恰有一自行車以6m/s的速度從車邊勻速駛過，（的速度從車邊勻速駛過，（2）經(jīng)過多長時間汽車能追上自行車？）經(jīng)過多長時間汽車能追上自行車？此時汽車的速度是多少？此時汽車的速度是多少？ v自自t at2/2 6t3t2/2 t4s v汽汽at12m/s(2)解：解：汽車追上自行車時兩者位移相等汽車追上自行車時兩者位移相等解法一：解法一：物理分析法物理分析法解法二：數(shù)學(xué)極值

9、法解法二：數(shù)學(xué)極值法例例1：一小汽車從靜止開始以一小汽車從靜止開始以3m/s2的加速度啟動，恰有一自行車以的加速度啟動，恰有一自行車以6m/s的速度從車邊勻速駛過，（的速度從車邊勻速駛過，（2）經(jīng)過多長時間汽車能追上自行車？）經(jīng)過多長時間汽車能追上自行車？此時汽車的速度是多少？此時汽車的速度是多少？xx自自x汽汽v自自tat2/26t3t2/2=0 t=4s v汽汽at12m/s(2)解：解：汽車追上自行車時兩者位移相等，汽車追上自行車時兩者位移相等， 即即x=0例例1：一小汽車從靜止開始以一小汽車從靜止開始以3m/s2的加速度啟動，恰有一自行車以的加速度啟動，恰有一自行車以6m/s的速度從車

10、邊勻速駛過，（的速度從車邊勻速駛過，（2）經(jīng)過多長時間汽車能追上自行車？）經(jīng)過多長時間汽車能追上自行車？此時汽車的速度是多少？此時汽車的速度是多少？解法三：解法三：圖像法圖像法t由圖象可知，經(jīng)過由圖象可知，經(jīng)過ts自自行車和汽車的位移相等，行車和汽車的位移相等，即即Vt圖象圍成的面積圖象圍成的面積相等，相等， 6t3t2/2 t4s v汽汽at12m/s常見題型二：常見題型二：勻速直線運動勻速直線運動追及追及勻加速直線運動勻加速直線運動 （兩者相距一定距離，開始時勻速運動的速度大）（兩者相距一定距離，開始時勻速運動的速度大） 開始兩者距離開始兩者距離減小減小，直到兩者，直到兩者速度相等速度相等

11、，然后兩者距離開始然后兩者距離開始增加增加。所以：。所以：到達同一位置前到達同一位置前,速度相等，速度相等，則追不上。則追不上。到達同一位置時到達同一位置時,速度相等，速度相等，則只能相遇一次。則只能相遇一次。到達同一位置時，到達同一位置時， v加加 v勻勻，則相遇兩次。則相遇兩次。例例2、車從靜止開始以車從靜止開始以1m/s2的加速度的加速度前進，車后相距前進，車后相距x0為為25m處，某人同處，某人同時開始以時開始以6m/s的速度勻速追車，能的速度勻速追車，能否追上？如追不上，求人、車間的否追上？如追不上，求人、車間的最小距離。最小距離。 解析：解析：依題意依題意,人與車運動的時間相等人與

12、車運動的時間相等,設(shè)為設(shè)為t, 當(dāng)人追上車時當(dāng)人追上車時,兩者之間的位移關(guān)系為：兩者之間的位移關(guān)系為： x人人x0 x車車 即：即： v人人tx0at2/2由此方程求解由此方程求解t,若有解若有解,則可追上則可追上;若無解若無解;則則不能追上。不能追上。代入數(shù)據(jù)并整理得：代入數(shù)據(jù)并整理得： t212t500 b24ac122450560 所以，人追不上車。所以，人追不上車。 在剛開始追車時在剛開始追車時,由于人的速度大于車由于人的速度大于車的速度的速度,因此人車間的距離逐漸減小因此人車間的距離逐漸減小;當(dāng)車速當(dāng)車速大于人的速度時大于人的速度時,人車間的距離逐漸增大人車間的距離逐漸增大因因此此,

13、當(dāng)人車速度相等時當(dāng)人車速度相等時,兩者間距離最小兩者間距離最小 at6 t6s 在這段時間里，人、車的位移分別為：在這段時間里，人、車的位移分別為： x人人v人人t6636m x車車at2/2162/218m xx0 x車車x人人2518367m題型三：題型三：速度大速度大的勻減速直線運動追的勻減速直線運動追速度小速度小的的勻速運動：勻速運動：當(dāng)兩者速度相等時當(dāng)兩者速度相等時, ,若追者仍未追上被追者，若追者仍未追上被追者，則永遠則永遠追不上追不上, ,此時兩者有此時兩者有最小距離最小距離。若追上時若追上時,兩者速度剛好相等兩者速度剛好相等,則稱恰能則稱恰能相遇相遇,也是兩者避免碰撞的也是兩者

14、避免碰撞的臨界條件臨界條件。若追上時，追者速度仍大于被追者的速度若追上時，追者速度仍大于被追者的速度,(若若不出現(xiàn)碰撞不出現(xiàn)碰撞)則先前的被追者還有一次追上先前則先前的被追者還有一次追上先前的追者的機會的追者的機會,其間其間速度相等速度相等時時,兩者相距最遠兩者相距最遠解答：設(shè)經(jīng)時間解答：設(shè)經(jīng)時間t追上。依題意：追上。依題意： v甲甲tat2/2Lv乙乙t 15tt2/2329t t16s t4s (舍去舍去) 甲車剎車后經(jīng)甲車剎車后經(jīng)16s追上乙車追上乙車 例例2、甲車在前以甲車在前以15 m/s的速度勻速行駛，乙車的速度勻速行駛，乙車在后以在后以9 m/s的速度勻速行駛。當(dāng)兩車相距的速度勻

15、速行駛。當(dāng)兩車相距32m時，甲車開始剎車，加速度大小為時，甲車開始剎車，加速度大小為1m/s2。問經(jīng)。問經(jīng)多少時間乙車可追上甲車？多少時間乙車可追上甲車？解答：甲車停止后乙再追上甲。解答：甲車停止后乙再追上甲。 甲車剎車的位移甲車剎車的位移 x甲甲v02/2a152/2112.5m 乙車的總位移乙車的總位移 x乙乙x甲甲32144.5m tx乙乙/v乙乙144.5/916.06s 例例2、甲車在前以甲車在前以15 m/s的速度勻速行駛，乙的速度勻速行駛，乙車在后以車在后以9 m/s的速度勻速行駛。當(dāng)兩車相距的速度勻速行駛。當(dāng)兩車相距32m時，甲車開始剎車，加速度大小為時，甲車開始剎車，加速度大

16、小為1m/s2。問經(jīng)多少時間乙車可追上甲車？問經(jīng)多少時間乙車可追上甲車？例例3、 A、B兩車沿同一直線向同一方向運動兩車沿同一直線向同一方向運動,A車車的速度的速度vA4 m/s,B車的速度車的速度vB10 m/s.當(dāng)當(dāng)B車運車運動至動至A車前方車前方7 m處時處時,B車以車以a2 m/s2的加速度開的加速度開始做勻減速運動始做勻減速運動,從該時刻開始計時從該時刻開始計時,則則A車追上車追上B車需要多長時間車需要多長時間?在在A車追上車追上B車之前車之前,二者之間的二者之間的最大距離是多少？最大距離是多少？解答：設(shè)經(jīng)時間解答：設(shè)經(jīng)時間t追上。依題意：追上。依題意： vBtat2/2x0vAt

17、10tt274t t7s t1s (舍去舍去) A車剎車后經(jīng)車剎車后經(jīng)7s追上乙車追上乙車解答：解答：B車停止后車停止后A車再追上車再追上B車。車。 B車剎車的位移車剎車的位移 xBvB2/2a102/425m A車的總位移車的總位移 xAxB732m txA/vA32/48s vAvBatT6/23sxx0 xBxA7211216m例例3、 A、B兩車沿同一直線向同一方向運動兩車沿同一直線向同一方向運動,A車車的速度的速度vA4 m/s,B車的速度車的速度vB10 m/s.當(dāng)當(dāng)B車運車運動至動至A車前方車前方7 m處時處時,B車以車以a2 m/s2的加速度開的加速度開始做勻減速運動始做勻減速

18、運動,從該時刻開始計時從該時刻開始計時,則則A車追上車追上B車需要多長時間車需要多長時間?在在A車追上車追上B車之前車之前,二者之間的二者之間的最大距離是多少？最大距離是多少？題型四：速度大題型四：速度大的勻速運動追的勻速運動追速度小速度小的勻的勻減速直線運動減速直線運動兩者距離一直變小，一定能追上。要注意兩者距離一直變小，一定能追上。要注意追上時，勻減速運動的速度是否為零。追上時，勻減速運動的速度是否為零。題型五：題型五：勻變速運動追勻變速運動勻變速運動追勻變速運動總結(jié)：總結(jié)：解答追及，相遇問題時，首先根據(jù)速解答追及，相遇問題時，首先根據(jù)速度的大小關(guān)系判斷兩者的距離如何變度的大小關(guān)系判斷兩者

19、的距離如何變化，把整個運動過程分析清楚，再注化，把整個運動過程分析清楚，再注意明確兩物體的意明確兩物體的位移關(guān)系、時間關(guān)系、位移關(guān)系、時間關(guān)系、速度關(guān)系速度關(guān)系，這些關(guān)系是我們根據(jù)相關(guān)，這些關(guān)系是我們根據(jù)相關(guān)運動學(xué)公式列方程的依據(jù)。運動學(xué)公式列方程的依據(jù)。（2）常用方法常用方法 1 1、物理解析法、物理解析法 2 2、數(shù)學(xué)極值法、數(shù)學(xué)極值法 3 3、圖像法、圖像法 4 4、相對運動法、相對運動法1、甲乙兩車同時同向從同一地點、甲乙兩車同時同向從同一地點出發(fā)，甲車以出發(fā)，甲車以v116m/s的初速度，的初速度，a12m/s2的加速度作勻減速直線的加速度作勻減速直線運動運動,乙車以乙車以v24m/

20、s的速度的速度, a21m/s2的加速度作勻加速直線運動，的加速度作勻加速直線運動，求兩車相遇前兩車相距最大距離和求兩車相遇前兩車相距最大距離和相遇時兩車運動的時間。相遇時兩車運動的時間。 解法一解法一(物理公式法）：當(dāng)兩車速度相同時物理公式法）：當(dāng)兩車速度相同時,兩車相距兩車相距最遠最遠,此時兩車運動時間為此時兩車運動時間為t1，兩車速度為，兩車速度為v對甲車：對甲車： vv1a1t1對乙車：對乙車： vv2a2t1兩式聯(lián)立得兩式聯(lián)立得 t1(v1v2)/(a2a1)4s此時兩車相距此時兩車相距 xx1x2(v1t1a1t12/2)(v2t1a2t12/2)24m當(dāng)乙車追上甲車時，兩車位移均

21、為當(dāng)乙車追上甲車時，兩車位移均為x，運動時間為，運動時間為t，則：則：v1ta1t2/2v2t2 a2t2/2得得 t8s 或或 t0(出發(fā)時刻，舍去。出發(fā)時刻，舍去。) 解法二（數(shù)學(xué)函數(shù)法）：解法二（數(shù)學(xué)函數(shù)法）：甲車位移甲車位移 x1v1ta1t2/2乙車位移乙車位移 x2v2ta2t2/2某一時刻兩車相距為某一時刻兩車相距為x x x1x2 (v1ta1t2/2)(v2ta2t2/2) 12t3t2/2當(dāng)當(dāng)tb/2a 時，即時，即 t4s 時，兩車相距最遠時，兩車相距最遠 x124342/224m當(dāng)兩車相遇時，當(dāng)兩車相遇時，x0，即，即12t3t2/20 t8s 或或 t0(舍去舍去)2

22、、一列火車以、一列火車以v1的速度直線行駛的速度直線行駛,司機忽然司機忽然發(fā)現(xiàn)在正前方同一軌道上距車為發(fā)現(xiàn)在正前方同一軌道上距車為x處有另一處有另一輛火車正沿著同一方向以較小速度輛火車正沿著同一方向以較小速度v2做勻速做勻速運動運動,于是他立即剎車于是他立即剎車,為使兩車不致相撞為使兩車不致相撞,則則a應(yīng)滿足什么條件？應(yīng)滿足什么條件？ 方法方法1：設(shè)兩車經(jīng)過時間：設(shè)兩車經(jīng)過時間t相遇，則相遇，則 v1tat2/2v2tx化簡得：化簡得：at22(v1v2)t2x0當(dāng)當(dāng) 4(v1 v2)2 8ax0即即a(v1v2)2/2x時，時，t無解，即兩車不相撞無解，即兩車不相撞. 方法方法2：當(dāng)兩車速度

23、相等時，恰好相遇，是：當(dāng)兩車速度相等時，恰好相遇，是兩車相撞的臨界情況，則兩車相撞的臨界情況，則 v1atv2 v1tat2/2v2tx解得解得 a(v1v2)2/2x為使兩車不相撞，應(yīng)使為使兩車不相撞，應(yīng)使 a(v1v2)2/2x2、一列火車以、一列火車以v1的速度直線行駛的速度直線行駛,司機忽然司機忽然發(fā)現(xiàn)在正前方同一軌道上距車為發(fā)現(xiàn)在正前方同一軌道上距車為x處有另一處有另一輛火車正沿著同一方向以較小速度輛火車正沿著同一方向以較小速度v2做勻速做勻速運動運動,于是他立即剎車于是他立即剎車,為使兩車不致相撞為使兩車不致相撞,則則a應(yīng)滿足什么條件？應(yīng)滿足什么條件？ 方法方法3: 后面的車相對前

24、面的車做勻減速運動，初狀后面的車相對前面的車做勻減速運動，初狀態(tài)相對速度為態(tài)相對速度為(v1v2)，當(dāng)兩車速度相等時，相對速度，當(dāng)兩車速度相等時，相對速度為零，為零， 根據(jù)根據(jù) vt2v022ax ，為使兩車不相撞，應(yīng)有，為使兩車不相撞，應(yīng)有 (v1v2)2 2ax a (v1v2)2/2x2、一列火車以、一列火車以v1的速度直線行駛的速度直線行駛,司機忽然司機忽然發(fā)現(xiàn)在正前方同一軌道上距車為發(fā)現(xiàn)在正前方同一軌道上距車為x處有另一處有另一輛火車正沿著同一方向以較小速度輛火車正沿著同一方向以較小速度v2做勻速做勻速運動運動,于是他立即剎車于是他立即剎車,為使兩車不致相撞為使兩車不致相撞,則則a應(yīng)

25、滿足什么條件？應(yīng)滿足什么條件？ 3、在一條公路上并排停著、在一條公路上并排停著A、B兩車，兩車，A車車先啟動，加速度先啟動，加速度a120m/s2，B車晚車晚3s啟動，啟動，加速度加速度a230m/s2，以，以A啟動為計時起點，啟動為計時起點，問：在問：在A、B相遇前經(jīng)過多長時間兩車相距相遇前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠？這個距離是多少？最遠？這個距離是多少？ 解一、兩車速度相等時，相距最遠。解一、兩車速度相等時，相距最遠。 a1ta2(t3)得得 t9s xa1t2/2a2(t3)2/2270m解二、解二、 xa1t2/2a2(t3)2/2 5t290t135 5(t218t27)二次項系數(shù)為負(fù)

26、，有極大值。二次項系數(shù)為負(fù)，有極大值。 x5(t9)2270當(dāng)當(dāng)t9s時，時，x有極大值，有極大值，x270m3、在一條公路上并排停著、在一條公路上并排停著A、B兩車，兩車，A車車先啟動，加速度先啟動，加速度a120m/s2，B車晚車晚3s啟動，啟動，加速度加速度a230m/s2，以，以A啟動為計時起點，啟動為計時起點，問：在問：在A、B相遇前經(jīng)過多長時間兩車相距相遇前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠？這個距離是多少？最遠？這個距離是多少？ 解三、用圖象法。解三、用圖象法。作出作出vt圖象。由圖可知，圖象。由圖可知，在在t9s時相遇。時相遇。x即為圖中斜三角形的面積。即為圖中斜三角形的面積。x3180

27、/2270m 3、在一條公路上并排停著、在一條公路上并排停著A、B兩車，兩車，A車車先啟動，加速度先啟動，加速度a120m/s2，B車晚車晚3s啟動，啟動，加速度加速度a230m/s2，以，以A啟動為計時起點，啟動為計時起點，問：在問：在A、B相遇前經(jīng)過多長時間兩車相距相遇前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠？這個距離是多少？最遠？這個距離是多少？ 4、A、B兩車在一條水平直線上同向勻速兩車在一條水平直線上同向勻速行駛行駛,B車在前車在前,車速車速v210m/s,A車在后車在后,車速車速v120m/s,當(dāng)當(dāng)A、B相距相距100m時時,A車用恒定車用恒定的加速度的加速度a減速減速.求求a為何值時為何值時,A車與車與B車相車相遇時不相撞。遇時不相撞。解一：分析法。解一：分