地圖數(shù)學(xué)投影ppt課件

1、第四章第四章 .地圖數(shù)學(xué)投影地圖數(shù)學(xué)投影地圖數(shù)學(xué)投影概念地圖數(shù)學(xué)投影概念地圖投影的變形地圖投影的變形地圖投影的分類地圖投影的分類控制測量對地圖投影的要求控制測量對地圖投影的要求高斯平面直角坐標(biāo)系高斯平面直角坐標(biāo)系上一講應(yīng)掌握的內(nèi)容上一講應(yīng)掌握的內(nèi)容1 1、什么是大地測量主題解算、什么是大地測量主題解算2 2、大地主題解算基本思路、大地主題解算基本思路1112122221(,),(,),P B L S A P B L A12大地主題正算: 已知 求:以大地線的微分方程為基礎(chǔ)進(jìn)行積分運算，但積分式不能直接計算，必須將積分式進(jìn)行變換。主要方法是用勒讓德級數(shù)展開為大地線S的升冪級數(shù)。以白塞爾大地投影為

2、基礎(chǔ)，即在球面上解算大地問題。3 3、勒讓德級數(shù)式、勒讓德級數(shù)式cossincostansinAdBdSMAdLdSNBBdAAdSN1122121221(,),(,),P B L P B L S A A12大地主題反算: 已知 ，求:上一講應(yīng)掌握的內(nèi)容上一講應(yīng)掌握的內(nèi)容4 4、勒讓德級數(shù)大地主題正算公式、勒讓德級數(shù)大地主題正算公式5 5、高斯平均引數(shù)正算公式推導(dǎo)思路、高斯平均引數(shù)正算公式推導(dǎo)思路首先把勒讓德級數(shù)在首先把勒讓德級數(shù)在 P P點展開改為在大地線長度中點點展開改為在大地線長度中點M M展展開，以使級數(shù)公式項數(shù)減少，收斂快，精度高；開，以使級數(shù)公式項數(shù)減少，收斂快，精度高；其次，考慮

3、到求定中點其次，考慮到求定中點 M M 的復(fù)雜性，將的復(fù)雜性，將 M M 點用大地線兩點用大地線兩端點平均緯度及平均方位角相對應(yīng)的端點平均緯度及平均方位角相對應(yīng)的 m m 點來代替，并借點來代替，并借助迭代計算便可順利地實現(xiàn)大地主題正解。助迭代計算便可順利地實現(xiàn)大地主題正解。6 6、高斯平均引數(shù)正算公式需疊代計算）、高斯平均引數(shù)正算公式需疊代計算） （如何疊代？）（如何疊代？） 此方法適合于此方法適合于200200公里以下的大地問題解算公里以下的大地問題解算( (保持保持4 4次項次項) )，其計算經(jīng)緯計算精度可達(dá)到其計算經(jīng)緯計算精度可達(dá)到0.0001, 0.0001, 方位角計算精度方位角計

4、算精度可達(dá)到可達(dá)到0.0010.001。7 7、高斯平均引數(shù)反算公式不需疊代計算）、高斯平均引數(shù)反算公式不需疊代計算）230 12 10 3AtLtBLtL 2301210323101230mmSArLrBLrLSAsBsBLsBsincos （如何求（如何求S 、A12， A21 ？）？）為了計算為了計算 的級數(shù)展開式，關(guān)鍵問題是推求各階導(dǎo)數(shù)。的級數(shù)展開式，關(guān)鍵問題是推求各階導(dǎo)數(shù)。22332111112323nnndBSdBd BSd BSBBBSdSndSdSdS()()()()! 22332111112323nnnd LSdLd LSd LSLLLS dSndSdSdS()()()()!

5、 22332111112318023nnnd ASdAd ASd ASAAASdSndSdSdS()()()()! B L A,勒讓德級數(shù)式勒讓德級數(shù)式 當(dāng)取至4次項時，對于60km以下的大地線，計算經(jīng)緯度可精確至0.0001，方位角可精確至0.001。2221BB S LL S AA S( ),( ),( ) 1112000BB LL AA( ),( ),( ) 1:cos令uSA 1sinvSA 勒讓德級數(shù)短于勒讓德級數(shù)短于30km30km的公式的公式 ）211() cosLLB21()AA高斯平均引數(shù)正算公式高斯平均引數(shù)正算公式222222222221232243195cossin()c

6、os()次mmmmmmmmmmmmVSBSAAtNN At 22222222124195mmmmmmmmmmSLSBAAtNN Atsecsinsincos() 次22222242221279245225mmmmmmmmmmmmSASA tAtNN Atsincos()sin() 次21212112,180BBB LLL AAA21111()22mBBBBB12211211()22m AAAAA 所謂地圖數(shù)學(xué)投影，簡略地說,就是將橢球面上元素(包括坐標(biāo)，方位和距離)按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上可展的曲面） ，研究這個問題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)。坐標(biāo)投影公式： 不同的投影條件有不同的投影函數(shù)。投

7、影變形一般分為方向變形、角度變形、長度變形、面積變形。可以根據(jù)需要使某一種變形為零，即產(chǎn)生了),(),(21BLFyBLFx一、地圖數(shù)學(xué)投影概念一、地圖數(shù)學(xué)投影概念4.8 地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念等角投影等角投影等積投影等積投影等距離投影等距離投影（一長度比（一長度比長度比長度比m m就是投影面上一段無限小的微分線段就是投影面上一段無限小的微分線段dsds，與橢球面上相應(yīng)的微分線段與橢球面上相應(yīng)的微分線段dSdS二者之比。二者之比。 一般情況下，不同點上的長度比不相同，而且同一一般情況下，不同點上的長度比不相同，而且同一點上不同方向的長度比也不相同。點上不同方向的長

8、度比也不相同。 1212012p pPPmP Plim dsmdS 二、地圖投影的變形二、地圖投影的變形dsdS（二主方向和變形橢圓（二主方向和變形橢圓投影后一點的長度比依方向不同而變化。其中最大投影后一點的長度比依方向不同而變化。其中最大及最小長度比的方向，稱為主方向。及最小長度比的方向，稱為主方向。若將橢球面上過一點的兩個互為正交的方向投影在若將橢球面上過一點的兩個互為正交的方向投影在平面上，一般不能保持正交。但其中總有一組在橢平面上，一般不能保持正交。但其中總有一組在橢球面上正交的方向投影后仍然正交?？梢宰C明這兩球面上正交的方向投影后仍然正交。可以證明這兩個方向就是長度比的極值方向，也就

9、是主方向。個方向就是長度比的極值方向，也就是主方向。 二、地圖投影的變形二、地圖投影的變形 ,O AO Ba bOAOB 221微分圓：, xyab22221xyab變形橢圓：1rmr對于單位微分圓，有：（二主方向和變形橢圓續(xù)）（二主方向和變形橢圓續(xù)） 如果已知主方向上的長度比，就可計算任意其他方向上如果已知主方向上的長度比，就可計算任意其他方向上的長度比。以定點為中心，以長度比的數(shù)值為向徑，構(gòu)成以的長度比。以定點為中心，以長度比的數(shù)值為向徑，構(gòu)成以兩個長度比的極值為長、短半軸的橢圓，稱為變形橢圓。兩個長度比的極值為長、短半軸的橢圓，稱為變形橢圓。變形橢圓的形狀、大小及方向，完全由投影條件確定

10、。隨投影條件不同而不同，同一投影中因點位不同也不同。r二、地圖投影的變形二、地圖投影的變形（三投影變形（三投影變形投影后同原來的距離、方向、角度及圖形產(chǎn)生差異，投影后同原來的距離、方向、角度及圖形產(chǎn)生差異，稱為投影變形。稱為投影變形。 1.1.長度變形長度變形 byax,2222sincosbarm1 mvv值可能為正、負(fù)或0。sin ,cosbyax,22rxy（三投影變形（三投影變形2.2.方向變形方向變形設(shè)從主方向量起設(shè)從主方向量起OPOP的的方向角為方向角為，投影后，投影后OPOP的方向角為的方向角為那么那么 稱為方向變形稱為方向變形tantanababxy) sin() sin(ba

11、ba00sinsin( )abab最大方向變形：)(3.角度變形角度變形 (設(shè)設(shè)OA與與OB分別為最大的變形方分別為最大的變形方向向)角度變形就是投影前的角度角度變形就是投影前的角度u與投影后對應(yīng)角度與投影后對應(yīng)角度u之之差。差。211111801802u 211111801802u 112uuuaa() 2uababsin 22abuabarcsin （三投影變形（三投影變形最大角度變形可用最大方向變形計算，且是最大方向變形的兩倍。兩個方向與兩個方向與y軸對稱軸對稱（三投影變形（三投影變形4.面積變形：面積變形：原面上單位的面積為原面上單位的面積為，投影后變形橢圓的，投影后變形橢圓的面積為面

12、積為ab。那么：那么：abPab面積比： 在地圖投影中，盡管投影變形是不可避免的，但是人們在地圖投影中，盡管投影變形是不可避免的，但是人們可以根據(jù)需要來掌握和控制它，可使某種變形為零，而使可以根據(jù)需要來掌握和控制它，可使某種變形為零，而使其他變形最小。其他變形最小。如：高斯投影，角度變形為零，其他變形最小。如：高斯投影，角度變形為零，其他變形最小。1PP三、地圖投影的分類三、地圖投影的分類( (一按變形性質(zhì)分類一按變形性質(zhì)分類1 1等角投影：投影前后的角度不變形。等角投影：投影前后的角度不變形。由由可知：可知：a-b=0 a-b=0 或或 a=ba=b推論：等角投影的長度比與方向無關(guān)，即某點的

13、長推論：等角投影的長度比與方向無關(guān)，即某點的長度比是一個常數(shù)。又把等角投影稱為正形投影。度比是一個常數(shù)。又把等角投影稱為正形投影。2 2等積投影：投影前后的面積不變形。等積投影：投影前后的面積不變形。 ab=1ab=13 3等距離投影：既不保持等角又不保持等積的投影，等距離投影：既不保持等角又不保持等積的投影，稱為任意投影。其中，使某一主方向的長度比等于稱為任意投影。其中，使某一主方向的長度比等于1 1的投影稱為等距離投影。的投影稱為等距離投影。即：即：a=1 a=1 或或 b=1b=122abuabarcsin （二按經(jīng)緯網(wǎng)投影形狀分類（二按經(jīng)緯網(wǎng)投影形狀分類 (按投影面分類）按投影面分類）

14、 1方位投影方位投影 取一平面與橢球極點相切，取一平面與橢球極點相切，將極點附近區(qū)域投影在該將極點附近區(qū)域投影在該平面上。緯線投影后為以平面上。緯線投影后為以極點為圓心的同心圓，而極點為圓心的同心圓，而經(jīng)線則為它的向徑，且經(jīng)經(jīng)線則為它的向徑，且經(jīng)線交角不變。線交角不變。 Light SourcelBf),(三、地圖投影的分類三、地圖投影的分類 2圓錐投影: 取一圓錐面與橢球某條緯線相切，將緯圈附近的區(qū)域投影于圓錐面上，再將圓錐面沿某條經(jīng)線剪開成平面。 Standard LineTrue Length ExaggeratedlBf),(（二按經(jīng)緯網(wǎng)投影形狀分類（二按經(jīng)緯網(wǎng)投影形狀分類3圓柱圓柱(

15、或橢圓柱或橢圓柱)投影投影 取圓柱取圓柱(或橢圓柱或橢圓柱)與橢球赤道相切，將赤道附近區(qū)域投與橢球赤道相切，將赤道附近區(qū)域投影到圓柱面影到圓柱面(或橢圓柱面或橢圓柱面)上，然后將圓柱或橢圓柱展開成上，然后將圓柱或橢圓柱展開成平面。平面。 Standard LineTrue Length Exaggerated（二按經(jīng)緯網(wǎng)投影形狀分類（二按經(jīng)緯網(wǎng)投影形狀分類1)1)正軸投影：圓錐軸正軸投影：圓錐軸( (圓柱軸圓柱軸) )與地球自轉(zhuǎn)軸相重合的投與地球自轉(zhuǎn)軸相重合的投影，稱正軸圓錐投影或正軸圓柱投影。影，稱正軸圓錐投影或正軸圓柱投影。2)2)斜軸投影：投影面與原面相切于除極點和赤道以外的斜軸投影：投

16、影面與原面相切于除極點和赤道以外的某一位置所得的投影。某一位置所得的投影。3)3)橫軸投影：投影面的軸線與地球自轉(zhuǎn)軸相垂直，且與橫軸投影：投影面的軸線與地球自轉(zhuǎn)軸相垂直，且與某一條經(jīng)線相切所得的投影。比如橫軸橢圓柱投影等。某一條經(jīng)線相切所得的投影。比如橫軸橢圓柱投影等。 除此之外，投影面還可以與地球橢球相割于兩條標(biāo)準(zhǔn)除此之外，投影面還可以與地球橢球相割于兩條標(biāo)準(zhǔn)線，這就是所謂割圓錐、割圓柱投影等。線，這就是所謂割圓錐、割圓柱投影等。（三按投影面和原面的相對位置關(guān)系分類（三按投影面和原面的相對位置關(guān)系分類投投影影分分類類圖圖 地圖投影的分類匯總地圖投影的分類匯總 按投影變形性質(zhì)分類: 等角投影

17、等距投影 等積投影 a=b a=1 or b=1 ab=1 按投影面分類 : 圓錐面 圓柱(橢圓柱) 面 平面投影 按投影的中心軸線: 正軸投影 橫軸投影 斜軸投影 按橢球面與投影面的切割情況分: 切投影 割投影四、控制測量對地圖投影的要求四、控制測量對地圖投影的要求 應(yīng)當(dāng)采用等角投影正形投影）：角度投影前后不變，避應(yīng)當(dāng)采用等角投影正形投影）：角度投影前后不變，避免大量投影計算；在有限范圍內(nèi)使圖上圖形與橢球上原形免大量投影計算；在有限范圍內(nèi)使圖上圖形與橢球上原形相似。在正形投影中，長度比相似。在正形投影中，長度比m僅與點的位置有關(guān)，而與僅與點的位置有關(guān)，而與方向無關(guān)，這給在圖上量算帶來極大方便

18、。方向無關(guān)，這給在圖上量算帶來極大方便。 要求長度和面積變形不大：能夠應(yīng)用簡單公式計算由變形要求長度和面積變形不大：能夠應(yīng)用簡單公式計算由變形帶來的改正數(shù)。應(yīng)限制在不大的投影范圍。帶來的改正數(shù)。應(yīng)限制在不大的投影范圍。 對于一個國家，投影后應(yīng)該保證具有一個單一起算點的統(tǒng)對于一個國家，投影后應(yīng)該保證具有一個單一起算點的統(tǒng)一的坐標(biāo)系，可這是不可能的。往往將大的區(qū)域按一定規(guī)一的坐標(biāo)系，可這是不可能的。往往將大的區(qū)域按一定規(guī)律分成若干個小區(qū)域或帶），每帶單獨投影，再將這些律分成若干個小區(qū)域或帶），每帶單獨投影，再將這些帶用簡單的數(shù)學(xué)方法聯(lián)接在一起，組成統(tǒng)一的系統(tǒng)。帶用簡單的數(shù)學(xué)方法聯(lián)接在一起，組成統(tǒng)一

19、的系統(tǒng)。高斯投影完全滿足上述要求，故我國采用高斯投影。五、高斯投影的基本概念復(fù)習(xí)）五、高斯投影的基本概念復(fù)習(xí)）橫切橢圓柱等角分帶投影橫切橢圓柱等角分帶投影 想象有一個橢圓柱面橫套在想象有一個橢圓柱面橫套在地球橢球體外面，并與某一條地球橢球體外面，并與某一條子午線子午線(此子午線稱為中央子午此子午線稱為中央子午線或軸子午線線或軸子午線)相切，橢圓柱的相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后中心軸通過橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午用一定投影方法，將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面柱面展開

20、即成為投影面 。高斯投影特性高斯投影特性中央子午線投影后為一直線，且長度不變；其它經(jīng)線為凹向中央子午線的曲線，且長度改變。投影后，赤道為一直線，但長度改變，其它緯線呈凸向赤道的曲線。投影后，中央子午線與赤道線正交，經(jīng)線與緯度也互相垂直，即高斯投影為等角投影。 由中央子午線的投影線與赤道線的投影線可構(gòu)成一個直角坐標(biāo)系。xyNS中央子午線中央子午線赤道赤道緯線緯線O高斯投影分帶高斯投影分帶 6投影帶: 從首子午線開始 0- 6，6-12，12-24 1帶 ， 2帶 ， 3帶 N我國的6帶投影自13帶至23帶共11帶，中央子午線75-135 3投影帶：投影帶：從從1.5子午線開始子午線開始1.54.

21、5，4.57.5，7.510.5 1帶帶 ， 2帶帶 ， 3帶帶 劃分的目的：六度帶的中央子午線與三度帶的中央子午線重合劃分的目的：六度帶的中央子午線與三度帶的中央子午線重合 帶號及中央子午線經(jīng)度的關(guān)系帶號及中央子午線經(jīng)度的關(guān)系 對于對于6帶：帶： N=（L/6的進(jìn)整數(shù)的進(jìn)整數(shù) L=N-3 對于對于3帶：帶： n=L/3(四舍五入四舍五入) L=3n求帶號及中央子午線經(jīng)度求帶號及中央子午線經(jīng)度例：某控制點例：某控制點 P 點點按按3帶：帶：按按6帶：帶：84 .255130 ,21 .5023122 BL3122.540.841333341123LnLn中帶123321636214.2065.

22、1226NLN中帶高斯平面直角坐標(biāo)系高斯平面直角坐標(biāo)系 中央子午線作為縱軸，即x軸； 赤道投影線作為橫軸，即y軸 我國有十幾(6)個高斯平面直角坐標(biāo)系。 自然坐標(biāo)：A3795231.024 ，157680.231） B4246752.780 ，-174240.734） 國家統(tǒng)一坐標(biāo)：A3795231.024 ，20657680.231） (通用坐標(biāo)) B4246752.780 ，2032559.266） 把坐標(biāo)縱軸向西平移500km， 在橫坐標(biāo)值前冠以帶號。六、橢球面元素化算到高斯投影面的內(nèi)容六、橢球面元素化算到高斯投影面的內(nèi)容 3) 將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角。這是通過計算方向的曲率相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角。這是通過計算方向的曲率改化即方向改化來實現(xiàn)的。