數(shù)值分析矩陣特征值特征向量計算PPT課件

1、1本章內(nèi)容n 特征值基本性質(zhì)特征值基本性質(zhì)n 冪法與反冪法冪法與反冪法n 正交變換與矩陣分解正交變換與矩陣分解n QR 方法方法第1頁/共22頁2本講內(nèi)容n 特征值基本性質(zhì)特征值基本性質(zhì)n 冪法冪法n 冪法的加速冪法的加速n 反冪法反冪法第2頁/共22頁3特征值性質(zhì)A x = x( C, x 0 )l 性質(zhì)性質(zhì)(1) q 特征值與特征向量特征值與特征向量 ()()AxxAI xx (2) kkAxxA xx(3) 11 , , BPAP AxxByyyPx (4) 若若 A 對稱，則存在正交矩陣對稱，則存在正交矩陣 Q，使得，使得12diag(,)TnQ AQ 第3頁/共22頁4圓盤定理定理定

2、理：(Gerschgorin 圓盤定理圓盤定理) 設(shè)設(shè) 是是 A 的特征值，則的特征值，則i=1, 2, . , n設(shè)設(shè) A=(aij) Rn n ，記，記1,C |niiiijjj iDaa Gerschgorin 圓盤圓盤1niiD 若有若有 m 個圓盤互相連通，且與其它圓盤都不相連，則這個圓盤互相連通，且與其它圓盤都不相連，則這 m 個圓盤內(nèi)恰好包含個圓盤內(nèi)恰好包含 m 個特征值。個特征值。第4頁/共22頁5Rayleigh 商定理：定理：設(shè)設(shè) A 是是 n 階實對稱矩陣，其特征值為階實對稱矩陣，其特征值為則對任意非零向量則對任意非零向量 x，有，有1(, )( , )nAx xx x1

3、00(, )(, )max, min( , )( , )nxxAx xAx xx xx x 12n且且l 稱為矩陣稱為矩陣 A 關(guān)于關(guān)于 x 的的 Rayleigh 商商。(, )( )( , )Ax xR xx x第5頁/共22頁6(1) 任取一個非零向量任取一個非零向量 v0，要求滿足，要求滿足 (x1,v0) 0 (2) 對對 k = 1, 2, . ，直到收斂，計算直到收斂，計算 冪法l 計算矩陣的計算矩陣的主特征值主特征值（按模最大）（按模最大）及其特征向量及其特征向量假設(shè)：假設(shè)：(1) | 1| | 2| | n| 0(2) 對應(yīng)的對應(yīng)的 n 個個線性無關(guān)線性無關(guān)特征向量為：特征向

4、量為：x1, x2, ., xn計算過程：計算過程：q 冪法（乘冪法，冪迭代）冪法（乘冪法，冪迭代）1kkvAv 第6頁/共22頁7冪法的收斂性l 收斂性分析收斂性分析012112(0) nnvxxx 10111222nnnvAvxxx 1111222kkkkknnnvAvxxx 21112211kkknnnxxx 111kx 設(shè)設(shè)21 越小，收斂越快越小，收斂越快第7頁/共22頁8冪法的收斂性當(dāng)當(dāng) k 充分大時，有充分大時，有111kkvx 11111kkvx 11kkvv 又又1kkvAv 1kkAvv 11kjkjvv ( j =1, 2, . , n )vk 為為 1 的近似特征向量的

5、近似特征向量第8頁/共22頁9冪法的收斂性定理：定理：設(shè)設(shè) A 有有 n 個線性無關(guān)的特征向量，其特征值滿足個線性無關(guān)的特征向量，其特征值滿足則由冪法生成的向量滿足則由冪法生成的向量滿足11111()lim, lim()kjkkkkkjvvxv 123nl 注：冪法的收斂速度取決于注：冪法的收斂速度取決于 的大小的大小21 第9頁/共22頁10冪法111kkvx 1| 1, 1|10, | 改進(jìn)方法：改進(jìn)方法：規(guī)范化規(guī)范化1, kkkkkvuvAuv 1kkvAv l 冪法中存在的問題冪法中存在的問題11limkkxux 第10頁/共22頁11冪法l 1 的計算的計算1limkkv 00kkk

6、kkvA vuvA v 1111112101011121knkiiikikkkknkiiiixxAvvAuA vxx 第11頁/共22頁12改進(jìn)的冪法定理：定理：設(shè)設(shè) A 有有 n 個線性無關(guān)的特征向量，其特征值滿足個線性無關(guān)的特征向量，其特征值滿足則由改進(jìn)的冪法生成的向量滿足則由改進(jìn)的冪法生成的向量滿足111lim, limkkkkxuvx 123n(1) 任取一個非零向量任取一個非零向量 v0，要求滿足，要求滿足 (x1,v0) 0 (2) 對對 k = 1, 2, . ，直到收斂，計算直到收斂，計算 q 改進(jìn)的冪法改進(jìn)的冪法1, kkkkkvuvAuv 第12頁/共22頁13舉例例：例：

7、用改進(jìn)的冪法計算下面矩陣的主特征值和對應(yīng)的特征向量用改進(jìn)的冪法計算下面矩陣的主特征值和對應(yīng)的特征向量 1.01.00.51.01.00.250.50.252.0A 第13頁/共22頁14冪法的加速冪法的收斂速度取決于冪法的收斂速度取決于 的大小的大小21r 當(dāng)當(dāng) r 接近于接近于 1 時，乘冪法收斂會很慢！時，乘冪法收斂會很慢！q 冪法的加速：冪法的加速：原點平移法原點平移法令令 B = A pI，則，則 B 的特征值為：的特征值為： i - p選擇適當(dāng)?shù)倪x擇適當(dāng)?shù)?p 滿足：滿足：(1) ( j = 2, . , n )1| |jpp2211maxjj npp (2)用冪法計算矩陣用冪法計算

8、矩陣 B 的主特征值：的主特征值： 1 - p保持主特征值保持主特征值加快收斂速度加快收斂速度帶位移的冪法帶位移的冪法第14頁/共22頁15舉例例：例：用帶位移的冪法計算下面矩陣的主特征值和對應(yīng)的特征向量，取用帶位移的冪法計算下面矩陣的主特征值和對應(yīng)的特征向量，取 p=0.75 1.01.00.51.01.00.250.50.252.0A 第15頁/共22頁16反冪法l 計算矩陣的計算矩陣的按模最小按模最小的特征值的特征值及其特征向量及其特征向量假設(shè)：假設(shè)：(1) | 1| | 2| | n-1| | n| 0q 反冪法反冪法(2) 對應(yīng)的對應(yīng)的 n 個個線性無關(guān)線性無關(guān)特征向量為：特征向量為

9、：x1, x2, ., xn A-1 的特征值為：的特征值為：1211111nn 對應(yīng)的特征向量仍然為對應(yīng)的特征向量仍然為 x1, x2, ., xnl 反冪法反冪法：對矩陣：對矩陣 A-1 使用冪法使用冪法第16頁/共22頁17反冪法定理：定理：設(shè)設(shè) A 有有 n 個線性無關(guān)的特征向量，其特征值滿足個線性無關(guān)的特征向量，其特征值滿足則由反冪法生成的向量滿足則由反冪法生成的向量滿足1lim, limnkkkknnxuvx 1210nn (1) 任取一個非零向量任取一個非零向量 v0，要求滿足，要求滿足 (x1,v0) 0 (2) 對對 k = 1, 2, . ，直到收斂，計算直到收斂，計算 q

10、 反冪法反冪法11, kkkkkvuvuvA 第17頁/共22頁18反冪法的加速反冪法的收斂速度取決于反冪法的收斂速度取決于 的大小的大小1nnr 當(dāng)當(dāng) r 接近于接近于 1 時，反乘冪法收斂會很慢！時，反乘冪法收斂會很慢！可以使用原點平移法對反冪法進(jìn)行加速可以使用原點平移法對反冪法進(jìn)行加速問題：問題：如何選擇參數(shù)如何選擇參數(shù) p ？離離 n 越近越好越近越好（但不能相等）（但不能相等）第18頁/共22頁19冪法的Rayleigh商加速定理設(shè)設(shè) A 是是 n 階實對稱矩陣，其特征值為階實對稱矩陣，其特征值為12n對應(yīng)的特征向量 x1, x2, ., xn 滿足： ， (,)ijijx x 使用

11、改進(jìn)的乘冪法計算 A 的按模最大特征值 1 時， uk 的Rayleigh商給出了 1 的較好的近似，即2211(,)(,)kkkkkAu uOu u 00,max()kkkA uuA u1010max()kkkAuvA u證：2212100211220011(,)(,)(,)(,)nkkkkiikkinkkkkkiiiAu uAu A uOu uA u A u 第19頁/共22頁20Rayleigh 商加速q Rayleigh 商加速商加速(1) 任取一個非零向量任取一個非零向量 v0，要求滿足，要求滿足 (x1,v0) 0 (2) 對對 k = 1, 2, . ，直到收斂，計算直到收斂，計算 11(,), (,)kkkkkkkkkkkvuAuAp Iupvu uvu limnkknxux (,)(,)lim(,)(,)kknnnkkknnuAuxAxu uxx 第20頁/共22頁21幾點注記l 帶位移的反冪法中需要計算帶位移的反冪法中需要計算