微分方程及其定解條件、等效積分ppt課件

1、這一部分里，我們將看到以下內(nèi)容幾個(gè)典型物理問(wèn)題及其數(shù)學(xué)描畫(huà)微分方程和定解條件微分方程的類型微分方程的邊境條件微分方程及其邊境條件的等效積分原理幾個(gè)典型的問(wèn)題弦振動(dòng)問(wèn)題的微分方程及定解條件傳熱問(wèn)題的微分方程及定解條件位勢(shì)方程及定解條件弦是一種籠統(tǒng)模型，工程實(shí)踐中，可以模擬繩鎖、電纜等構(gòu)造，如遠(yuǎn)間隔輸電線路、一些橋梁的懸索、拉鎖等；幾何上可以用一條線段不一定是直線段來(lái)表示弦。這里所說(shuō)的弦的振動(dòng)是弦的微小橫振動(dòng)，一定長(zhǎng)度的、柔軟、均勻的弦，兩端拉緊，在垂直于弦線的外力下做微小橫振動(dòng)，弦的運(yùn)動(dòng)發(fā)生在同一平面內(nèi)，弦的各點(diǎn)位移與平衡位置垂直x,u x t弦的長(zhǎng)度l，線密度為 ，弦的張力為T(mén)O弦振動(dòng)的微分方

2、程為：22222uuaftx2/aTf是垂直于平衡位置的外力這個(gè)微分方程雖然描畫(huà)了弦振動(dòng)時(shí)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形狀，但單純依托這個(gè)微分方程，我們還不能獨(dú)一確定弦的振動(dòng)，必需給出定解條件，定解條件主要有兩種，一種是初始時(shí)辰弦的運(yùn)動(dòng)形狀，稱為初始條件： ,00,00u xxxluxxxlt初始時(shí)辰各點(diǎn)的位移初始時(shí)辰各點(diǎn)的速度另外一種定解條件是邊境條件，對(duì)于弦振動(dòng)問(wèn)題來(lái)說(shuō)給定弦的兩個(gè)端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，普通來(lái)說(shuō)邊境條件有三種：第一種給定弦端點(diǎn)的位移 120,utgtu l tgt第二種給定位移梯度的端點(diǎn)值 0,uttxul ttx位移的梯度表示弦線的撓度第三種邊境條件是端點(diǎn)的位移和速度的線性組合是一個(gè)知函數(shù)，對(duì)于

3、弦振動(dòng) 010,0,uTtk uttxuTl tk u l ttx這個(gè)邊境條件的物理意義是，弦的端點(diǎn)固定在兩個(gè)彈性支撐上，兩個(gè)彈性支撐的彈性系數(shù)為：k0，k1以上是弦振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，是由微分方程與相應(yīng)的定解條件初值條件，邊值條件共同組成的，這一樣問(wèn)題又稱為混合初邊問(wèn)題。定解條件中只需初值條件的問(wèn)題稱為初值問(wèn)題。定解條件中只需邊值條件的，稱為邊值問(wèn)題。下面來(lái)看第二個(gè)典型問(wèn)題：熱傳導(dǎo)問(wèn)題三維非定常熱傳導(dǎo)問(wèn)題的微分方程為：0TTTTckkkftxxyyzzck0f物體的比熱容物體的密度物體的熱傳導(dǎo)系數(shù)物體內(nèi)部熱源強(qiáng)度與弦振動(dòng)問(wèn)題類似，要想確定物體內(nèi)部的溫度場(chǎng)，除了上面那個(gè)微分方程以外，還需求定解條件

4、，定解條件也包括兩種：初值條件和邊值條件初值條件，是初始時(shí)辰物體的溫度場(chǎng)0, ,tTx y z邊值條件也有三種第一種：給定邊境的溫度, ,Tx y z第二種：給定邊境的熱流量, , ,Tx y z tn第三種：給定邊境的熱流量和溫度線性組合, ,ThTx y znxyzTTTTTnnnnxyzn下面來(lái)看第三個(gè)典型問(wèn)題：位勢(shì)方程在三維熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，假設(shè)溫度不隨時(shí)間變化，即定常熱傳導(dǎo)，三維熱傳導(dǎo)方程可以寫(xiě)為00TTTkkkfxxyyzz假定物體是均勻的，那么這個(gè)方程可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化222222TTTgxyz這個(gè)方程又稱為泊松Poisson方程再進(jìn)一步，假設(shè)均勻物體中沒(méi)有熱源，穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程為2222

5、220TTTxyz這就是我們熟習(xí)的拉普拉斯方程Laplace以上給出的是泊松方程和拉普拉斯方程在笛卡爾坐標(biāo)系下的方式，下面給出它們的算子方式，它們?cè)谄渌鴺?biāo)也成立系2TTg 20TT 泊松方程拉普拉斯方程其中，在笛卡爾坐標(biāo)系下：xyz ijk 稱為哈密頓Hamilton算子2222222xyz 稱為拉普拉斯算子從上面的算子表達(dá)式，再回想我們學(xué)過(guò)的高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，哈密頓算子運(yùn)算的結(jié)果，是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)向量場(chǎng)，而反過(guò)來(lái)說(shuō)，假設(shè)一個(gè)向量場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度，這個(gè)向量場(chǎng)稱為有勢(shì)場(chǎng)，這個(gè)標(biāo)量場(chǎng)稱為有勢(shì)場(chǎng)的位勢(shì)場(chǎng)或位勢(shì)函數(shù)在定常熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，溫度場(chǎng)的梯度為T(mén)TTTxyzijk 也就是說(shuō)，這個(gè)向量場(chǎng)

6、是溫度場(chǎng)的梯度，是一個(gè)有勢(shì)場(chǎng)而溫度場(chǎng)是這個(gè)有勢(shì)場(chǎng)的位勢(shì)場(chǎng)或位勢(shì)函數(shù)，這就是泊松方程和拉普拉斯方程稱為位勢(shì)方程的緣由如今我們來(lái)看位勢(shì)方程的定解條件。由于待求變量與時(shí)間無(wú)關(guān)，不需求初值條件因此位勢(shì)方程的定解條件類似三維熱傳導(dǎo)方程的三種邊境條件，, ,Tx y z, , ,Tx y z tn, ,ThTx y zn如今我們來(lái)回想一下剛剛引見(jiàn)的幾個(gè)微分方程22222uuaftx0TTTTckkkftxxyyzz222222TTTgxyz2222220TTTxyz第一個(gè)微分方程，方程兩邊微分的最高階數(shù)都是2，如果做移項(xiàng)整理22222uuaftx這個(gè)方程的方式和雙曲線方程的方式很類似2222xycab這類

7、的方程又稱為雙曲型微分方程再看第二個(gè)方程，如今加上物體均勻，為了幾何上更直觀這個(gè)方程可以，我們寫(xiě)出一維的情況202TTckftx這個(gè)方程方式和拋物線方程方式類似2yaxc這類方程又稱為拋物型微分方程最后再看位勢(shì)方程，為了幾何直觀，我們寫(xiě)成二維的情況2222TTgxy這個(gè)方程方式和橢圓方程方式類似22221xyab這類方程又稱為橢圓型微分方程微分方程主要就分為這三個(gè)類型：拋物型；雙曲型；橢圓型請(qǐng)大家留意，我們并不是要討論三種類型的微分方程的準(zhǔn)確定義。準(zhǔn)確的定義，大家可以參考數(shù)學(xué)物理方程的有關(guān)書(shū)籍和資料有限元方法特別適宜求解橢圓微分方程或方程組。如今來(lái)總結(jié)一下邊境條件，我們看到，在以上的三個(gè)典型問(wèn)

8、題的微分方程中，給定的邊境條件都有三種：第一種是給定待求函數(shù)在邊境處的數(shù)值，這種邊境條件稱為第一邊境條件、Direchlet邊境條件、強(qiáng)迫邊境條件第二種是給定待求函數(shù)在邊境處梯度或方導(dǎo)游數(shù)，這種邊境條件稱為第二邊境條件、Neumann邊境條件第三種是給定邊境上待求函數(shù)及其方導(dǎo)游數(shù)的線性組合，這種邊境條件稱為第三邊境條件我們總結(jié)一下這一小節(jié)的內(nèi)容描畫(huà)物理過(guò)程的微分方程主要分為三個(gè)類型：橢圓型、雙曲型、拋物型有限元法特別適宜求解橢圓型微分方程邊境條件主要有三種：第一邊境條件Direchlet條件、強(qiáng)迫邊境條件、第二邊境條件Neumann條件和第三邊境條件思索題：這小節(jié)中，三維熱傳導(dǎo)問(wèn)題的微分方程和

9、位勢(shì)方程、以及哈密頓算子 給出的都是笛卡爾坐標(biāo)下的方式，試查閱資料，并推導(dǎo)這些微分方程和算子在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下的表達(dá)式。拓展前面我們看到了三個(gè)典型問(wèn)題的微分方程，實(shí)踐中遇到的、運(yùn)用的、包括我們本人在分析問(wèn)題時(shí)建立的微分方程是非常多的，為了便于研討，我們采用一種符號(hào)表示法來(lái)表示微分方程，例如： 0A這個(gè)表達(dá)式代表恣意一個(gè)微分方程，就像我們用f(x)表示恣意函數(shù)的道理一樣,同樣，邊境條件我們也可以用符號(hào)表達(dá) 0B例如，在一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)的拉普拉斯方程22220 xy并且有邊境條件0 22220Axy 0B這是一個(gè)微分方程和一個(gè)邊境條件，單個(gè)待求函數(shù)的情況，這種表示方法也可以拓展到微分方程組，多個(gè)待

10、求函數(shù)和多個(gè)邊境條件的情況?？梢杂孟蛄糠?hào)來(lái)表示待求解函數(shù)、微分方程組和邊境條件T12,nu uuu帶求解函數(shù)向量微分方程組向量 TT12,0mmAAAA uuuu邊境條件向量 TT12,0kkBBBB uuuu例如，在一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)的拉普拉斯方程22220 xy如今邊境條件有兩個(gè)，在一部分邊境上給定函數(shù)值，另一部分的邊境上給定函數(shù)方導(dǎo)游數(shù)，這樣 22220 xyA 00qkqn B了解微分方程的籠統(tǒng)數(shù)學(xué)表達(dá)對(duì)實(shí)際研討是很有協(xié)助的，由于在研討微分方程的普通性質(zhì)或推導(dǎo)一些微分方程的普通規(guī)律時(shí)，我們不能夠?qū)γ總€(gè)微分方程都推導(dǎo)一遍，這時(shí)籠統(tǒng)表達(dá)是 就發(fā)揚(yáng)重要作用了。下面我們就將見(jiàn)到一種微分方程的普遍

11、規(guī)律或者說(shuō)普遍的變換方式等效積分方式雖然是要推導(dǎo)一個(gè)普遍規(guī)律，但為了便于闡明，我們還是從一個(gè)簡(jiǎn)單的特例出發(fā)，這個(gè)特列就是剛剛提到的二維拉普拉斯方程及其邊境條件 22220 xyA 00qkqn B這個(gè)二維拉普拉斯方程的求解域是一個(gè)平面區(qū)域xy在求解域內(nèi)的一個(gè)小區(qū)域內(nèi)拉普拉斯方程也是成立的，也就是22220 xyxy 假設(shè)方程兩邊同時(shí)乘以這個(gè)小區(qū)域的面積，結(jié)果會(huì)是這樣222222220Sx yxyxyxy 想象把求解域劃分成假設(shè)干個(gè)小區(qū)域，也就是說(shuō)求解域的面積等于這些小區(qū)域面積和12niiiiiSSSSSxy 對(duì)于每一個(gè)小區(qū)域來(lái)說(shuō)，剛剛的推導(dǎo)也是成立的222222220iiiiiSx yxyxy

12、xy 如今我們把它對(duì)一切小區(qū)域求和如今我們把它對(duì)一切小區(qū)域求和22220iiixyxy 再進(jìn)一步，假設(shè)我們?nèi)〉男^(qū)域趨向無(wú)窮小，也就是0;0iixy回想一下，高等數(shù)學(xué)中定積分的概念，立刻就可以得到2222222200limd d0iiiixiyxyx yxyxy 對(duì)于邊境條件我們同樣可以做類似的分析2222d ddd0qx ylkqlxyn上面的積分式成立根本緣由是拉普拉斯方程及其邊境條件成立，拉普拉斯方程從以下這個(gè)角度對(duì)待222211 0 xy如今，我們把1換成其他的，恣意的函數(shù)，同樣成立222200vvxy對(duì)于邊境條件也可以這樣0v按照剛剛的思緒，同樣可以得到一個(gè)積分等式0v kqn222

13、2d ddd0qvx yvlv kqlxyn這個(gè)方程與拉普拉斯方程及其邊境條件是等效的，也就是說(shuō)，只需拉普拉斯方程成立這個(gè)積分式就成立，反過(guò)來(lái)只需這個(gè)積分式成立，拉普拉斯方程及其邊境條件就成立。這就是拉普拉斯方程及其邊境條件的等效積分形式。我們可以把它推行到普通情況。如今，我們來(lái)看普通的微分方程組的情況，之前曾引見(jiàn)過(guò)，微分方程組及其邊境條件可以表示為： TT12,0mmAAAA uuuu TT12,0kkBBBB uuuu像上面拉普拉斯方程等效積分方式分析的過(guò)程一樣，對(duì)微分方程組中每一個(gè)微分方程，以下的積分都是成立的 1122d0,d0,d0nnv Av Av A uuu12,nv vv都是恣

14、意的函數(shù)，把這些積分加起來(lái) 1122d0nnv Av Av A uuu對(duì)于邊境條件也一樣，只是積分是沿邊境積分 1122d0kkv Bv Bv B uuu上面這兩個(gè)積分，我們可以寫(xiě)成矢量方式 T1122dd0nnv Av Av A uuuv A u T1122dd0kkv Bv Bv B uuuv B uTT1212,nnv vvv vvvv這兩個(gè)積分加起來(lái)，就得到想要得到的結(jié)果了 TTdd0 v A uv B u這就是微分方程組等效積分方式的普通式，它與原微分方程完全等效，就像之前以拉普拉斯方程為例進(jìn)展討論的情況一樣。微分方程組的等效積分方式，是有限元方法的實(shí)際根底之一，推導(dǎo)有限元求解方程的

15、方法之一就是從微分方程組的等效積分出發(fā)，由于與原微分方程的等效性，從而保證了有限元求解的正確性。上面分析中對(duì)等效積分中運(yùn)用的恣意函數(shù)以及微分方程的解的性質(zhì)沒(méi)有做出任何限定，現(xiàn)實(shí)上，對(duì)它們是有一定限制的，那就是它們應(yīng)該使得等效積分式中的被積函數(shù)具有可積性或者說(shuō)使積分可以進(jìn)展計(jì)算 TTdd0 v A uv B u在這個(gè)積分式中， 要使這個(gè)積分存在，不能出現(xiàn)無(wú)窮大的情況, ,v v u要到達(dá)這個(gè)目的，就要對(duì) 做出一些限制, ,v v u對(duì) ，由于是我們可以選擇的函數(shù)，那就選擇那些單值，且在求解域和求解域邊境上可積分的函數(shù)就可以, v v對(duì) ，雖然是待求解，我們也可以定性的給出它的一個(gè)性質(zhì)，它的選擇要

16、根據(jù)微分方程的階數(shù)來(lái)選擇，假設(shè)微分方程組中最高微分階次為n，那么待求解必然是一個(gè)具有n-1階延續(xù)的導(dǎo)數(shù)，這樣的函數(shù)也稱為具有Cn-1延續(xù)性。這可以用于指點(diǎn)近似解或近似函數(shù)的選擇。u微分方程的最高階數(shù)對(duì)待求解提出了要求，但這種要求有時(shí)過(guò)于苛刻，例如下面這個(gè)微分方程：444422420wwwxxyx 這個(gè)微分方程的等效積分假設(shè)可以計(jì)算，那么要求待解函數(shù)具有3階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。這個(gè)要求太過(guò)嚴(yán)厲，實(shí)踐上只需待求解函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，這個(gè)微分方程就曾經(jīng)得到滿足了，只需二階延續(xù)導(dǎo)數(shù)就可以了，假設(shè)能有方法降低偏微分方程的階數(shù)，就可以降低對(duì)待求解函數(shù)延續(xù)性的要求了。 TTdd0 v A uv B u從微分方程

17、等效積分方式出發(fā)，假設(shè)要降低等效積分中微分方程的階數(shù)要怎樣辦呢？經(jīng)過(guò)分步積分的方法可以降低等效積分中微分方程的階數(shù)，代價(jià)是對(duì) 進(jìn)展微分，等于說(shuō)降低對(duì)待求函數(shù)的要求，卻提高了對(duì) 延續(xù)性的要求。TvTvTvTv我們用一個(gè)一維問(wèn)題的微分方程來(lái)闡明這個(gè)問(wèn)題。一個(gè)微分方程22d001duuxxx這個(gè)微分方程的等效積分方式2211122000ddddd0dduuvuxxvxv uxxxx 要求待求解函數(shù)具有一階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，如今對(duì)二階導(dǎo)數(shù)部分進(jìn)展分步積分111000dd ddd0dd duv uvxv uxxxxx 經(jīng)過(guò)這樣的分步積分之后，對(duì)待求函數(shù)的要求由原來(lái)的具有一階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，下降為延續(xù)可導(dǎo)，而對(duì)函數(shù)v的

18、要求那么有原來(lái)的單值可積提高為延續(xù)可導(dǎo)。對(duì)于二維、三維的情形，分步積分能夠復(fù)雜一些，但根本思想是一致的，如今把這種思想拓展到普通情況。類似之前用符號(hào)表達(dá)微分方程一樣，我們把對(duì) 中每一個(gè)函數(shù)的微分運(yùn)算用一個(gè)符號(hào)來(lái)表示，那么等效積分分步積分后的表達(dá)式可以寫(xiě)為：TvTv d0TTd Cv D uEv F u這就是等效積分的“弱方式對(duì)于二維和三維的情況，直接從分步積分的方法推導(dǎo)等效積分的“弱方式，能夠有些困難，可以利用數(shù)學(xué)分析中“格林公式和“高斯公式推導(dǎo)。最后還有一個(gè)小問(wèn)題，在等效積分“弱方式的推導(dǎo)過(guò)程中，由于分步積分，一方面使得在積分項(xiàng)中待求函數(shù)的最高微分階數(shù)降低了，同時(shí)還產(chǎn)生了另外一項(xiàng)例如，之前引

19、見(jiàn)的一維問(wèn)題里面111000dd ddd0dd duv uvxv uxxxxx 第一項(xiàng)，就是由于分布積分而產(chǎn)生的，普通來(lái)說(shuō)，這一項(xiàng)往往可以合并掉或者消去，因此在等效積分“弱方式的普通表達(dá)式里，并沒(méi)有專門(mén)寫(xiě)出這一項(xiàng)。總結(jié)與思索請(qǐng)大家了解用普通符號(hào)表示微分方程及邊境條件的方法請(qǐng)大家了解微分方程等效積分的概念，弄清楚為什么等效積分與微分方程及其邊境條件是等效的請(qǐng)牢記，微分方程及其邊境條件的等效積分是有限元的重要實(shí)際根底微分方程等效積分“弱方式是從何而來(lái)，它與等效積分有什么關(guān)系？等效積分“弱方式較之等效積分有什么益處？就是為什么要推導(dǎo)等效積分“弱方式例題：二維導(dǎo)熱微分方程及其邊境條件的等效積分及等效積分“弱方式。0kkQxxyy00qkqn 這個(gè)例子中，第一個(gè)邊境條件，我們?cè)?jīng)知道這是第一邊境條件或Direchlet邊境條件，在有限元或其他基于等效積分的近似解求解方法中，普通要事先選擇待求函數(shù)的近似函數(shù)，在選擇這個(gè)近似函數(shù)時(shí)，就事先滿足第一邊境條件了，相當(dāng)于強(qiáng)迫要求近似函數(shù)滿足第一邊境條件，因此這個(gè)邊境條件普通不出如今等效積分中，這也是為什么第一邊境條