211正弦定理(1)

1、北師大課標(biāo)必修北師大課標(biāo)必修5 5 2.12.1.1 正弦定理(1)問題提出問題提出回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系? ABCcba222cbaAbatan 90BAAcasin Bcbsin 兩等式間有聯(lián)系嗎？兩等式間有聯(lián)系嗎？cBbAa sinsin1sin CCcBbAasinsinsin 即正弦定理，定理對任意三角形均成立即正弦定理，定理對任意三角形均成立分析理解分析理解 向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積 ， 為向量為向量a 與與b 的夾角的夾角 cos|baba 如何構(gòu)造向量及等式？如何構(gòu)造向量及等式？ 利用向量如何在三角形的邊長與利用向量如何在三角形的邊長與三角函數(shù)

2、建立聯(lián)系？三角函數(shù)建立聯(lián)系？分析理解分析理解jACB在銳角在銳角 中，中，過過A作單位向量作單位向量j 垂直于垂直于 ， ACABC A)(ABjC)(CBjACj 90cos90cos90cosAcCasinsin 即即CcAasinsin 同理，過同理，過C作單位向量作單位向量j 垂直于垂直于 ，可得，可得CBCcBbsinsin 則有則有j 與與 的夾角為的夾角為 ， j 與與 的夾角為的夾角為 . 等式等式A 90CBC 90ABCBAC ABABjCBACj )(CcBbAasinsinsin 正弦定理正弦定理:在一個三角形中，各邊和它所在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，

3、即對角的正弦的比相等，即CcBbAasinsinsin 正弦定理可以解什么類型的三角形問題？正弦定理可以解什么類型的三角形問題？ 已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角 已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的邊和角其他的邊和角.正弦定理正弦定理例例1 某地出土一塊類似三角形刀狀的古代玉佩，其某地出土一塊類似三角形刀狀的古代玉佩，其一角已破壞一角已破壞.現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù)：現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù)：BC2.57cm，CE3.57cm，BD4.38cm，B45，C120.為了為了復(fù)原，請計算原玉佩兩邊的長復(fù)原，請計

4、算原玉佩兩邊的長(結(jié)果精確到結(jié)果精確到0.01cm)BCDEA分析分析 如圖，將如圖，將BD，CE分別延長相分別延長相交于一點交于一點A，在，在ABC中，已知中，已知BC的長及角的長及角B與與C，可以通過正弦定，可以通過正弦定理求理求AB，AB的長的長.例題講解例題講解解：將解：將BD，CE分別延長相交于一點分別延長相交于一點A ，在，在ABC中中，BC2.57cm，B45，C120A180(B+C)=180-(45+120)=15sinsinBCACAB因為sin2.57sin45sinsin15BCBACA所以利用計算器算得利用計算器算得7.02(cm)AC 同理同理 8.60(cm)AB

5、 例題講解例題講解 例例2 在在 中，已知中，已知 ，求求b（保留兩個有效數(shù)字）（保留兩個有效數(shù)字）. . ABC 30,45,10CAc解：解： 且且CcBbsinsin 105)(180CAB1930sin105sin10sinsin CBcb例題講解例題講解 例例3 在在 中，已知中，已知 ，求求 .ABC 45,24, 4BbaA解：由解：由 BbAasinsin 得得 21sinsin bBaA 在在 中中 ABC ba A 為銳角為銳角 30A例題講解例題講解 例例4 在在 中，中， ， 求求 的面積的面積S ABC )13(2,60,45 aCBABC 解：解：180() AB

6、C75由正弦定理得由正弦定理得 4426)22)(13(2sinsin ABab326)23(4)13(221sin21 CabSABC 例題講解例題講解（1）在）在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（ ） ABC BbAaA.sinsin BbAaBcoscos. AbBaC.sinsin AbBaDcoscos. CABC （2）在）在 中，若中，若 ，則，則 是是( ) A等腰三角形等腰三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形 C直角三角形直角三角形 D等邊三有形等邊三有形2cos2cos2cosCcBbAa ABC D課內(nèi)練習(xí)課內(nèi)練習(xí)（3）在任一）在任一 中，求證：中，求證： ABC 0)sin(sin)sin(sin)sin(sin BAcACbCBa證明：由于正弦定理：令證明：由于正弦定理：令 CkcBkBAkasin,sin,s