工程力學(xué)靜力學(xué)課件第六章

1、第六章 空間力系 重心 力在空間坐標(biāo)軸上的投影力對(duì)軸之矩空間力系的平衡方程重心【本章重點(diǎn)內(nèi)容】6-1 工程中的空間力系問題工程中的空間力系問題空間力系空間力系 ： 作用在物體上的力系，其作用線分布在空間，而且也不能簡(jiǎn)化到某一平面時(shí)，這種力系就稱為空間力系。 徑向軸承約束反力：AxFAzF徑向止推軸承約束反力：BxFBzFByF切削力：xFyFzFD點(diǎn)：A點(diǎn)：B點(diǎn)：右圖：空間力系實(shí)例：RxFRyFRzFOxMOyMOzM有效推進(jìn)力飛機(jī)向前飛行有效升力飛機(jī)上升飛機(jī)側(cè)移飛機(jī)繞x軸滾轉(zhuǎn)飛機(jī)轉(zhuǎn)彎飛機(jī)仰頭側(cè)向力滾轉(zhuǎn)力矩偏航力矩俯仰力矩空間一般力系空間一般力系空間平行力系空間平行力系空間匯交力系空間匯交力系

2、空間力系的分類空間力系的分類平面力平面力 在在x軸，軸，y軸投影分別為軸投影分別為F cosFFx cosFFy 合力的大小為：合力的大小為：22yxFFF 方向?yàn)椋悍较驗(yàn)椋?作用點(diǎn)為力的匯交點(diǎn)作用點(diǎn)為力的匯交點(diǎn). .22cosyxxxFFFFF 22cosyxyyFFFFF 6-2 力在空間坐標(biāo)軸上的投影力在空間坐標(biāo)軸上的投影1、直接投影法一、力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影一、力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影 coscoscosFFFFFFzyx 6-2 力在空間坐標(biāo)軸上的投影力在空間坐標(biāo)軸上的投影（6-1a）已知力F與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角力F直接向坐標(biāo)軸投影的方法稱為直接投影法。力F在坐標(biāo)軸的投影為：直

3、接投影法直接投影法 、2、間接（二次）投影法sinFF sincosxFFcoszFF一、力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影一、力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影sinsinyFF（6-1b）先將力F投影到xoy平面上已知力F與z軸正向間的夾角 及將力F投影到z軸上。一次投影二次投影二次投影間接投影法（二次投影法）間接投影法（二次投影法）以及 先將力向一個(gè)坐標(biāo)平面投影，再求出力在三個(gè)軸的投影。再將力 投影到x、y軸上，F(xiàn) coscoscos222222222222zyxzzyxyzyxxzyxFFFFFFFFFFFFFFFF（6-2）反過來，如果已知力反過來，如果已知力F在三個(gè)軸在三個(gè)軸x、y、z上的投影上的

4、投影Fx、Fy、Fz，求力，求力F1coscoscos222 例6-1已知：nF、求：力 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。nFsinnzFFcosnxyFFsincossinnxyxFFFcoscoscosnxyyFFF二、例題二、例題力對(duì)點(diǎn)之矩（力矩）力對(duì)點(diǎn)之矩（力矩） hFFM06-3 力對(duì)軸之矩力對(duì)軸之矩( )( )zoM FM FF h 6-3 力對(duì)軸之矩力對(duì)軸之矩一、力對(duì)軸之矩一、力對(duì)軸之矩平面里的力對(duì)點(diǎn)之矩，實(shí)際是空間里力對(duì)軸之矩。只不過軸通過該點(diǎn)，與該平面垂直空間的力對(duì)軸之矩： 定義:力使物體繞某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量,稱為力對(duì)該軸之矩. 力對(duì)軸之矩的定義力對(duì)軸之矩的定義力對(duì)軸之矩實(shí)例FFFz

5、FxFy（a）力與軸平行，力對(duì)軸的力矩等于零；（b）力與軸垂直，力對(duì)軸的力矩等于零；（c）力在軸垂直的平面，力對(duì)軸的力矩等于零( )()zoxyxyM FM FFh正負(fù)號(hào)規(guī)定：從坐標(biāo)軸正向看，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。d、力不在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)、力不在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)空間力系中，力對(duì)z軸之矩 等于力在垂直于z軸 zMF的平面內(nèi)的投影Fxy 與力臂d（即軸與平面的交點(diǎn)O到力Fxy的垂直距離）的乘積。右手螺旋法 力對(duì)軸之矩代數(shù)量的正負(fù)號(hào)力對(duì)軸之矩代數(shù)量的正負(fù)號(hào)力對(duì)軸之矩：力對(duì)軸之矩：用來量度力使物體用來量度力使物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量的物理量例題例題6-1 半徑為半徑為r的斜齒輪，其上

6、作用有力的斜齒輪，其上作用有力F，見下圖。，見下圖。求力求力F沿坐標(biāo)軸的投影及沿坐標(biāo)軸的投影及力力F對(duì)對(duì)Y軸之矩軸之矩例例6-1解：力F在三軸上的投影為：sincoscossincosFFFFFFFFFrzaytx（圓周力）（圓周力）（軸向力）（軸向力）（徑向力）（徑向力）F對(duì)y軸之矩為： sincosrFFmFmtyy二、合力矩定理二、合力矩定理 空間力系的合力對(duì)某一軸之矩等于力系中各分力對(duì)同一軸之矩的代數(shù)和，稱為空間力系的合理矩定理。 xRxiMFMFvv空間力系合力矩定理空間力系合力矩定理常用來確定物體的常用來確定物體的重心位置重心位置，以及用分力矩計(jì)算，以及用分力矩計(jì)算合力矩合力矩6-

7、4 空間力系的平衡方程空間力系的平衡方程一、空間力系的簡(jiǎn)化一、空間力系的簡(jiǎn)化 空間力系的簡(jiǎn)化空間力系的簡(jiǎn)化 與平面一般力系的簡(jiǎn)化方法一樣，空間力系也可以簡(jiǎn)化為一個(gè)合力和一個(gè)合力偶。 222()()()cos,cos,cosRRRRxxRyyRxyzRzzyxzRRRFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 空間匯交力系的合力稱為力系的主矢力系的主矢在三個(gè)坐標(biāo)軸的投影分別為222( )( )( )( )( )( )cos,cos,cosoooxxoyyozzoxyzoyoxozoooMMMMFMMFMMFMMFMFMFMMMMMM合力偶稱為空間力系的主矩力系的主矩在三個(gè)坐標(biāo)軸的投影分別為空間力

8、系平衡的充要條件：該力系的主矢、主矩分別為零?？臻g力系的平衡方程：空間一般力系平衡的充要條件： 各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零投影的代數(shù)和等于零，以及這些力對(duì)于每一個(gè)坐標(biāo)軸之矩的代數(shù)和也等于零軸之矩的代數(shù)和也等于零。二、空間力系的平衡方程二、空間力系的平衡方程0RF 0RM F000 xyzFFF 000 xyzMFMFMF（6-5）空間力系滿足上述六個(gè)方程，則物體必然保持平衡狀態(tài)。四、空間平行力系的平衡方程：四、空間平行力系的平衡方程： 000 zxyFMFMF三、空間匯交力系的平衡方程三、空間匯交力系的平衡方程000 xyzFFF（6-6）（6-7）由于：0 ,0 ,0 xyzMFM

9、FMF 由于： 0 ,0 ,0 xyzFFMF 求解空間力系的平衡問題時(shí)，求解空間力系的平衡問題時(shí)， 可以直接利用可以直接利用空間一般力系的空間一般力系的6個(gè)平衡方程個(gè)平衡方程，也可以將空間，也可以將空間力系轉(zhuǎn)化為三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)的力系轉(zhuǎn)化為三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)的平面力系平面力系來處理。來處理。例題例題6-2方法一：直接利用空間力系平衡方程求解方法一：直接利用空間力系平衡方程求解方法二：將方法二：將空間力系平衡問題空間力系平衡問題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為平面力系平衡問題平面力系平衡問題來求解來求解在在Axz平面平面在在Ayz平面平面在在Axy平面平面例題例題6-3在在Axz平面平面在在Ayz平面平面在在Axy平面

10、平面1. 平行力系中心平行力系中心6-5 平行行力系中心和重心平行行力系中心和重心 重心的位置影響物體的平衡和穩(wěn)定、又與許多動(dòng)重心的位置影響物體的平衡和穩(wěn)定、又與許多動(dòng)力學(xué)問題有關(guān)。力學(xué)問題有關(guān)。 因此需要了解什么是重心？重心的位置怎樣確定？因此需要了解什么是重心？重心的位置怎樣確定？ 結(jié)論結(jié)論:平行力系中平行力系中,合力作用點(diǎn)合力作用點(diǎn)C的位置只與各平行力的位置只與各平行力的作用點(diǎn)的位置及各力的大小有關(guān)的作用點(diǎn)的位置及各力的大小有關(guān),而與力的方向無關(guān)。而與力的方向無關(guān)。點(diǎn)點(diǎn)C稱為該平行力系的中心稱為該平行力系的中心。F1 A1 F2A2 FnAn zyxox1 y1 z1 CRzC xC y

11、C )()(iFmRmxxRyC=F1y1+ F2y2+Fnyn = Fiyi而 R= FiiiiCFyFyiiiCFxFxiiiCFzFz 重力是地球?qū)ξ矬w的吸引力，如果將物體想象成由重力是地球?qū)ξ矬w的吸引力，如果將物體想象成由無數(shù)的質(zhì)點(diǎn)組成，則每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都受地球引力作用，則這無數(shù)的質(zhì)點(diǎn)組成，則每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都受地球引力作用，則這些引力便構(gòu)成空間匯交力系（交與地心）。由于物體的些引力便構(gòu)成空間匯交力系（交與地心）。由于物體的尺寸比地球半徑小得多，因此可近似地認(rèn)為個(gè)這力系是尺寸比地球半徑小得多，因此可近似地認(rèn)為個(gè)這力系是一空間平行力系，此平行力系的合力一空間平行力系，此平行力系的合力W,W,就是物體的

12、就是物體的重力重力。通過實(shí)驗(yàn)我們知道，不論物體如何放置，這些平行力系通過實(shí)驗(yàn)我們知道，不論物體如何放置，這些平行力系的合力的總是通過物體內(nèi)的一個(gè)確定的點(diǎn)的合力的總是通過物體內(nèi)的一個(gè)確定的點(diǎn)平行力系平行力系的中心的中心，這個(gè)點(diǎn)稱為這個(gè)點(diǎn)稱為物體的重心物體的重心。 重心的概念平行力系的合力平行力系的合力W, 就是物體的就是物體的重力重力平行力系的中心平行力系的中心，這個(gè)點(diǎn)稱為這個(gè)點(diǎn)稱為物體的重心物體的重心。6-6 重心坐標(biāo)公式1、重心坐標(biāo)的一般分式、重心坐標(biāo)的一般分式Y(jié)XZW1W2WnWx1y1z1x2y2z 2ynx nz nCx cy cz c由合力矩定理，合力由合力矩定理，合力W對(duì)軸之矩等對(duì)

13、軸之矩等于各分力對(duì)同軸之矩的代數(shù)和。如于各分力對(duì)同軸之矩的代數(shù)和。如對(duì)對(duì)x, y, z軸之矩有：軸之矩有： nnCniizznnCniiyynnCniixxzWzWzWzWWmWmxWxWxWxWWmWmyWyWyWyWWmWm221112211122111.,.,.,WzWzWyWyWxWxiiCiiCiiC重心重心坐標(biāo)坐標(biāo)公式公式MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC:,可得質(zhì)心的坐標(biāo)公式代入如以MgWgmWiiWzWzWyWyWxWxiiCiiCiiC重心重心坐標(biāo)坐標(biāo)公式公式在均勻重力場(chǎng)內(nèi)，質(zhì)心與其重心位置重合在均勻重力場(chǎng)內(nèi)，質(zhì)心與其重心位置重合對(duì)于均質(zhì)連續(xù)體對(duì)于均質(zhì)連續(xù)體設(shè)設(shè)i為物

14、體單位體積的重量為物體單位體積的重量,則則: wi= i vi,對(duì)于連續(xù)體對(duì)于連續(xù)體,nVViininiiininCdVdVxvxvx11limlim2、均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式、均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式均質(zhì)物體的重量是均布的，如物體單位體積的重量為，物體體積為V，則：nnVWVWVWVW,:2211量分別為物體每個(gè)微小部分的重VVzzVVyyVVxxiiCiiCiiC重心坐標(biāo)式均質(zhì)物體的重心也稱為物體的形心對(duì)于均質(zhì)連續(xù)體對(duì)于均質(zhì)連續(xù)體設(shè)設(shè)i為物體單位體積的重量為物體單位體積的重量,則則: wi= i vi,對(duì)于連續(xù)體對(duì)于連續(xù)體,nVViininiiininCdVdVxvxvx11limlim體積

15、重心體積重心:VxdVxCVydVyCVzdVzC設(shè)設(shè)i為物體單位面積的重量為物體單位面積的重量,則則: pi= i Ai, 對(duì)于連續(xù)體對(duì)于連續(xù)體,n面積重心面積重心:（均質(zhì)等厚物體，如薄殼）（均質(zhì)等厚物體，如薄殼）AxdAxCAydAyCAzdAzClxdlxC線重心線重心:（均質(zhì)等截面曲桿，如繩、索等）均質(zhì)等截面曲桿，如繩、索等）lydlyClzdlzC3、均質(zhì)薄板的重心、均質(zhì)薄板的重心設(shè)板厚度為h，面積為A，將薄板分成若干微小部分，每個(gè)微小部分的面積為A1，A2，AnnnhAVhAVhAVhAV,2211AAyyAAxxiiCiiC重心坐標(biāo)式y(tǒng)xoxcycCVVzzVVyyVVxxiiC

16、iiCiiC重心坐標(biāo)式6-7 物體重心的求法對(duì)稱性法對(duì)稱性法當(dāng)研究的物體具有對(duì)稱軸、對(duì)稱面或?qū)ΨQ中心的均勻物體，其當(dāng)研究的物體具有對(duì)稱軸、對(duì)稱面或?qū)ΨQ中心的均勻物體，其重心一定在對(duì)稱軸、對(duì)稱面或?qū)ΨQ中心上。例：球體、立方體、等腰三角形等。重心一定在對(duì)稱軸、對(duì)稱面或?qū)ΨQ中心上。例：球體、立方體、等腰三角形等。分割法分割法將形狀較復(fù)雜的物體分成具有簡(jiǎn)單幾何形狀的幾個(gè)部分，每一部將形狀較復(fù)雜的物體分成具有簡(jiǎn)單幾何形狀的幾個(gè)部分，每一部分容易確定，然后，再根據(jù)重心坐標(biāo)求出組合形體的重心（簡(jiǎn)單幾何圖形的重分容易確定，然后，再根據(jù)重心坐標(biāo)求出組合形體的重心（簡(jiǎn)單幾何圖形的重心坐標(biāo)公式可以查表）。心坐標(biāo)公式

17、可以查表）。例題例題6-4：試求圖示截面重心的位置。：試求圖示截面重心的位置。解：解：將圖示截面分成圖示三部分將圖示截面分成圖示三部分cmycmxcmAcmycmxcmAcmycmxcmA39,6,3020,75. 0,541,10,40332322221121可得Z形截面重心位置為：cmAAyycmAAxxiiCiiC47.18305440303954204011 . 230544030)6(5475. 04010若在物體內(nèi)切去一部分，要求剩余部分物體的重心。此時(shí)，仍可若在物體內(nèi)切去一部分，要求剩余部分物體的重心。此時(shí)，仍可應(yīng)用分割法，但切取的部分面積在計(jì)算時(shí)取負(fù)值。應(yīng)用分割法，但切取的部分

18、面積在計(jì)算時(shí)取負(fù)值。例題例題6-5：試求圖示偏心塊截面的重心。：試求圖示偏心塊截面的重心。R =10 cm, r =1.3 cm, b=1.7 cm解：將圖示截面分成三部分：解：將圖示截面分成三部分：半徑為半徑為 R 的半圓、半徑為（的半圓、半徑為（r+b）的半圓和半徑為）的半圓和半徑為 r 的整圓。圖示形狀相當(dāng)于從的整圓。圖示形狀相當(dāng)于從 R 半圓和（半圓和（r+b）半）半圓中挖掉半徑為圓中挖掉半徑為 r 整圓。整圓。Rrbxy三部分的面積及其坐標(biāo)為：0;34;234;2323222121yrAbrybrARyRAcmrbrRbrRAAAAyAyAyAAyyiiC9 . 3342223332

19、1332211cmyxCC9 . 3, 0可得偏心塊C的坐標(biāo)分別為：Rrbxy實(shí)驗(yàn)法測(cè)算重心實(shí)驗(yàn)法測(cè)算重心出于以下兩種原因，需要運(yùn)用實(shí)驗(yàn)的方法來測(cè)算物體的重心。出于以下兩種原因，需要運(yùn)用實(shí)驗(yàn)的方法來測(cè)算物體的重心。（1）由于實(shí)際物體外形非常復(fù)雜，應(yīng)用前述的方法難以求出物體的重）由于實(shí)際物體外形非常復(fù)雜，應(yīng)用前述的方法難以求出物體的重心，需要通過實(shí)驗(yàn)測(cè)算。心，需要通過實(shí)驗(yàn)測(cè)算。（2）對(duì)復(fù)雜物體進(jìn)行初步設(shè)計(jì)后，由于加工誤差，成型產(chǎn)品與設(shè)計(jì)值）對(duì)復(fù)雜物體進(jìn)行初步設(shè)計(jì)后，由于加工誤差，成型產(chǎn)品與設(shè)計(jì)值有一定的差別，為了準(zhǔn)確獲得物體（產(chǎn)品）重心，需要通過實(shí)驗(yàn)測(cè)算有一定的差別，為了準(zhǔn)確獲得物體（產(chǎn)品）重心

20、，需要通過實(shí)驗(yàn)測(cè)算物體的重心。物體的重心。實(shí)驗(yàn)方法主要有：懸掛法和稱重法。實(shí)驗(yàn)方法主要有：懸掛法和稱重法。 稱重法稱重法 0)(iBFm懸掛法懸掛法WLRxc0cxWLRABABCWABRxCL簡(jiǎn)單形體的形心 平面力系平面匯交力系平面力偶系平面平行力系空間力系：力的投影，平衡條件及平衡方程，簡(jiǎn)化為平面力系物體重心的求法 （1） 力的可傳性原理：作用于剛體上的力，其作用點(diǎn)可以沿著作用力的可傳性原理：作用于剛體上的力，其作用點(diǎn)可以沿著作用線移動(dòng)到該剛體上任意一點(diǎn)，而不改變力對(duì)剛體的作用效果。線移動(dòng)到該剛體上任意一點(diǎn)，而不改變力對(duì)剛體的作用效果。 必須強(qiáng)調(diào)的是，力的可傳性原理只適用于剛體而不適用于變

21、形體。必須強(qiáng)調(diào)的是，力的可傳性原理只適用于剛體而不適用于變形體。當(dāng)研究物體的內(nèi)力、變形時(shí)，將力的作用點(diǎn)沿著作用線移動(dòng)，必然使該力當(dāng)研究物體的內(nèi)力、變形時(shí)，將力的作用點(diǎn)沿著作用線移動(dòng)，必然使該力對(duì)物體的內(nèi)效應(yīng)發(fā)生改變。對(duì)物體的內(nèi)效應(yīng)發(fā)生改變。 在考慮剛體的平衡問題時(shí)，力的三要素可改為在考慮剛體的平衡問題時(shí)，力的三要素可改為“大小、方向、作用大小、方向、作用線線”。 （2） 三力平衡匯交原理：若剛體在三個(gè)互不平行的力作用下處于平衡，三力平衡匯交原理：若剛體在三個(gè)互不平行的力作用下處于平衡，則此三個(gè)力的作用線必在同一平面內(nèi)且匯交于一點(diǎn)。則此三個(gè)力的作用線必在同一平面內(nèi)且匯交于一點(diǎn)。 由此可知，剛體受

22、不平行的三力作用而平衡時(shí)，如果已知其中兩個(gè)由此可知，剛體受不平行的三力作用而平衡時(shí)，如果已知其中兩個(gè)力的方向，則第三個(gè)力的方向就可以按三力平衡匯交原理確定。力的方向，則第三個(gè)力的方向就可以按三力平衡匯交原理確定。靜力學(xué)基本原理的兩個(gè)推論：靜力學(xué)基本原理的兩個(gè)推論：約束反力類型：NFyFxFFyFxmFyFxT柔體約束 光滑接觸面約束 柱鉸鏈和固定鉸支座 可動(dòng)鉸支座 固定端支座 中間鉸滑槽與銷釘軸承約束 向心軸承集中力，力偶，分布載荷；ABbqml 2l / 3CRAabBqRCl / 2lq荷載按分布形式可分為 可將畫受力圖時(shí)應(yīng)注意的問題歸納如下： （1）不要漏畫力）不要漏畫力 必須搞清楚所研

23、究的對(duì)象(受力物體)與周圍哪些物體(施力物體)相接觸。在接觸點(diǎn)處 均可能有約束反力。 （2）不要多畫力）不要多畫力 力是物體間的相互作用。對(duì)受力圖上的每一個(gè)力，都應(yīng)能明確指出它是由哪一個(gè)施力 物體施加的。如某一個(gè)力指不出施力物體，該力則為多畫的力。 （3）不要畫錯(cuò)約束反力的方向）不要畫錯(cuò)約束反力的方向 約束反力的方向必須嚴(yán)格按照約束的性質(zhì)確定，不能憑主觀感覺猜測(cè)。 （4） 注意作用與反作用關(guān)系注意作用與反作用關(guān)系 在兩物體相互聯(lián)結(jié)處，注意兩物體之間作用力與反作用力的等值、反向、共線關(guān)系。 （5）注意區(qū)分內(nèi)力和外力）注意區(qū)分內(nèi)力和外力 所謂內(nèi)力，是指系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力。所謂外力，是指

24、系統(tǒng)以外的其他物體對(duì)系統(tǒng)的作用力。內(nèi)力和外力的區(qū)分不是絕對(duì)的，而是相對(duì)的。當(dāng)所取的脫離體不同時(shí)，原來是內(nèi)力的力可能轉(zhuǎn)化為外力。反之亦然。 內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)。 （6） 約束反力的一致性約束反力的一致性 同一個(gè)約束反力，在各受力圖中的表示、假設(shè)指向都必須一致。niiiniiOOniiRFrFMMFF1110)()(,0三、力系的平衡條件與平衡方程三、力系的平衡條件與平衡方程1、力系平衡的必要和充分條件力系平衡的必要和充分條件是：力系的主矢和力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩分別等于零。特例：（1）匯交力系平衡的必要和充分條件：力系的合力等于零。用幾何法求解時(shí)，平衡條件可理解為：力多邊形自行封閉。用解析法求解時(shí)，平衡條件可理解為：合力在任一坐標(biāo)軸上的投影為零。（2）力偶系平衡的必要和充分條件：合力偶矩等于零，即空間力偶系中所有力偶矩矢的矢量和等于零，平面力偶系中所有力偶的力偶矩代數(shù)和等于零。2、空間一般力系的平衡方程niiOzniiOyniiOxniizniiyniixFMFMFMFFF1111110)(,0)(,0)(0,0,0niiOzniiOyniiOxniiznii