第四章 統(tǒng)計(jì)估值

1、返回第四章 統(tǒng)計(jì)估值第第4.1節(jié)節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本概念第第4.2節(jié)節(jié) 分布密度的近似求法分布密度的近似求法第第4.3節(jié)節(jié) 期望與方差的點(diǎn)估計(jì)期望與方差的點(diǎn)估計(jì)第第4.4節(jié)節(jié) 期望、方差的區(qū)間估計(jì)及期望、方差的區(qū)間估計(jì)及Excel實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)第第4.5節(jié)節(jié) 點(diǎn)估計(jì)法點(diǎn)估計(jì)法返回返回第第4.1節(jié)節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本概念 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù): 觀察現(xiàn)象,收集資料,創(chuàng) 建方法,分析推斷。 統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷: 伴隨著一定概率的推測(cè)。其特點(diǎn)是:由“部分”推斷“整體”。 總體總體:研究對(duì)象的全體(整體)。個(gè)體個(gè)體:每一個(gè)研究對(duì)象。實(shí)際上是對(duì)總體的一次觀

2、察。有限總體有限總體無限總體無限總體返回返回 樣本樣本: 由部分個(gè)體構(gòu)成的集合。經(jīng)常說,來自(或取自 )某總體的樣本。樣本具有二重性樣本具有二重性: 在抽樣前,它是隨機(jī)向量,在抽樣后,它是數(shù)值向量(隨機(jī)向量的取值)。樣本選擇方式樣本選擇方式:(1)有放回抽樣.特別特別,樣本容量總體數(shù)量時(shí), 無放回抽樣可近似看作有放回抽樣.簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(s.r.s): 具有兩個(gè)特點(diǎn)的樣本: 代表性(組成樣本的每個(gè)個(gè)體與總體同分布), 獨(dú)立性 (組成樣本的個(gè)體間相互獨(dú)立)。 樣本容量樣本容量: 樣本中所含個(gè)體的個(gè)數(shù)。返回如如,檢驗(yàn)一批燈泡的質(zhì)量,從中選擇100只,則總體總體:這批燈泡(有限總體)個(gè)體個(gè)

3、體:這批燈泡中的每一只 樣本樣本:抽取的100只燈泡(簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本)樣本容量樣本容量:100樣本檢驗(yàn)值樣本檢驗(yàn)值: x1,x2,x100定義定義:設(shè)X為一隨機(jī)變量,X1,X2,Xn是一組獨(dú)立且與獨(dú)立且與X同分同分布布的隨機(jī)變量,稱X為總體總體;(X1,X2,Xn)為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本;n為樣本容量樣本容量;每一個(gè)Xi(i=1,2,n)稱為樣本的一個(gè)觀測(cè)值;在依次觀測(cè)中,樣本的具體觀測(cè)值x1,x2,xn稱為樣本值樣本值.XX1,X2,X100100樣本值注意注意:樣本是一組獨(dú)立同主體分布的隨機(jī)變量樣本是一組獨(dú)立同主體分布的隨機(jī)變量.返回總體總體選擇個(gè)體選擇個(gè)體樣本樣本觀測(cè)樣本觀測(cè)樣本樣本觀

4、察值樣本觀察值(數(shù)據(jù)數(shù)據(jù))數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理樣本有關(guān)結(jié)論樣本有關(guān)結(jié)論統(tǒng)計(jì)的一般步驟統(tǒng)計(jì)的一般步驟:推斷總體性質(zhì)推斷總體性質(zhì) 統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)量量為了集中簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本所帶來的總體信息,考慮樣本的函數(shù),且不含任何未知參數(shù),這樣的“不含未知未知參數(shù)的樣本的函數(shù)”稱為統(tǒng)計(jì)量。返回 是來自總體例例4.1.1 設(shè)nXXX,21),(2N 未知,則( )不是統(tǒng)計(jì)量。的s.r.s,其中已知,n2122221n1i2Xn1n1i2in1n1i2in1n1iin1.XXX62X5X)(4)X(X3)(X2X1i 統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布定義定義: :設(shè)X1,X2,Xn是來自總體X的一個(gè)樣本,g(X1,X2,Xn)是

5、n維隨機(jī)變量函數(shù),若g中除樣本函數(shù)外不含任何未知參數(shù),則稱g(X1,X2,Xn)為統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量.統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布抽樣分布.返回 樣本均值 常用統(tǒng)計(jì)量常用統(tǒng)計(jì)量: 樣本方差(修正) 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 樣本k階原點(diǎn)矩 樣本k階中心矩n1iiXn1Xn1i2i2)XX(1n1Sn1i2i)XX(1n1Sn1ikikXn1mn1ikik)XX(n1M返回1)(zz 例例4.1.24.1.2 設(shè)XN(0,1), 分別為0.05,0.025,0.25,求X關(guān)于的上側(cè)分位數(shù).X(x) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其上側(cè)分位數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其上側(cè)分位數(shù)定義定義:設(shè)XN(0,1),對(duì)任意0)=,則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的水平上側(cè)

6、分位數(shù)水平上側(cè)分位數(shù),記為z解解:=0.05時(shí),95. 0)(05. 0 z反查表得:z0.05=1.64類似可得:z0.025=1.96, z0.25=0.69z返回 分布及其性質(zhì)分布及其性質(zhì)21.1.定義定義: : 稱 n 個(gè)相互獨(dú)立同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和X的分布為自由度為 n 的 分布,記作2)n(X2(2 ) X1,X2,Xk獨(dú)立,Xi (ni),(i=1,2,k),則2)n.nn(Xk212k1ii 2. 2.性質(zhì)性質(zhì): : (1) X 1,X2,Xn獨(dú)立,XiN(0,1),(i=1,2,n),則 )n(X2n1i2i(3)X為總體, X1,X2,Xn為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣

7、本,則 )1n(S)1n(222返回 例例4.1.3 設(shè) 是來自總體 的s.r.s,則 服從( )分布。nXXX,21),(2NniXi12)( 例例4.1.4 (983) 設(shè) 是取自總體 N (0,4) 的s.r.s, 當(dāng)a= , b= 時(shí), ).2(2X243221)43()2(XXbXXaX4321,XXXX解解(1)服從)n(2(2)由題意得)1 ,0(N)X4X3(b)1 ,0(N)X2X(a43211)X4X3(bD1)X2X(aD4321a =1/20b=1/100返回3. 的密度曲線)(2nXf(x)n=1n=4n=10隨著n的增大,密度曲線逐漸趨于平緩,對(duì)稱.返回4. 分布的

8、右側(cè)(上側(cè))分位數(shù)2定義定義:設(shè) ,對(duì)于給定的(0)=,則稱為自由度為n的 分布的水平上側(cè)分位數(shù),記為)n(X22)n(2Xf(x)n(2查表求上側(cè)分位數(shù)查表求上側(cè)分位數(shù):(1)若P(X)=,則)n(2(1)若P(X1)=0.025, P(X2)=0.05,求1,2.2解解: )10(2025. 01查表得:483.201)10(295. 02查表得:940. 32返回t 分布及其性質(zhì)分布及其性質(zhì)1.1.定義定義 設(shè)隨機(jī)變量 ,隨機(jī)變量 ,Y 且它們互相獨(dú)立,則稱隨機(jī)變量的分布為自由度是 n 的t 分布,記作) 1 , 0( NX)(2n).(ntTnYXT/2.性質(zhì)性質(zhì):則），（若,NX)1

9、(2)1ntn/SX（返回 特點(diǎn)特點(diǎn): 關(guān)于y軸對(duì)稱;隨著自由度的逐漸增大,密度曲線逐漸接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度曲線.3.t3.t分布的密度曲線分布的密度曲線: :Xf(x)返回)n(t4. t分布的上側(cè)分位數(shù)分布的上側(cè)分位數(shù):Xf(x) 設(shè)Xt(n),對(duì)于給定(0)=,則稱為t(n)分布的水平上側(cè)分位數(shù), 記為:)n(t例例4.1.6. 設(shè)Xt(15),求(1)=0.005的上側(cè)分位數(shù);解解(1)=t0.005(15),查表得 =2.947t(n)返回 例例4.1.7. 設(shè) 是來自總體nXX,1),(2N的s.r.s, 分別是樣本均值和樣本方差,證明:隨機(jī)變量2,SX) 1()(ntTSXn例例4

10、.1.8(993) 設(shè) 是來自正態(tài)總體 X 的s.r.s,91,XX SYYiiZYXSXXXYXXY)(297222129873126161121,)(),(),(證明:統(tǒng)計(jì)量 Zt (2)返回例例4.1.9(994) 設(shè) 是來自總體nXX,1 的s.r.s, 是樣本均值,記),(2NXniinniinniinniinXSXSXXSXXS1212412112312122121121)(,)(,)(,)(則服從自由度為 n-1 的 t 分布的隨機(jī)變量是( )nSXnSXnSXnSXTTTT/1/1/4321返回 的s.r.s,而 分別是其樣本均值和樣本方差; 是取自總體 的s.r.s,而 分別

11、是其樣本均值和樣本方差;且這兩組樣本相互獨(dú)立,證明:隨機(jī)變量 2,YSY例例4.1.10 設(shè) 是取自總體2,XSX),2, 1(1niXi),(211N), 2 , 1(2njYj),(222N)2(2111)()(2121nntTnnSYXp其中:2) 1() 1(2212221nnSnSnpYXS(不妨稱為合樣本方差)。返回 例例4.1.11(974) 設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布 ,而和 分別是來自總體 X 和 Y 的 s.r.s,則統(tǒng)計(jì)量 服從( )分布,參數(shù)為( ).)9 ,0(N91,XX 91,YY 29Y21Y9X1XUt t9 9解解:),1 ,0(NX9

12、1X91ii)1 ,0(N3Yi故)9(Y91)3Y(Y291i2i91i2i 與 獨(dú)立,YX所以 )9( t9/YXU 返回F 分布及其性質(zhì)分布及其性質(zhì)1.1.定義定義 設(shè)隨機(jī)變量 隨機(jī)變量 且它們相互獨(dú)立,則稱隨機(jī)變量 的分布為自由度是 的 F 分布。記作),(12nX),(22nY21/nYnXF ),(21nn),(21nnFF2.性質(zhì)性質(zhì):),(1),() 1 (1221nnFFnnFX則若(2) 設(shè)X1,X2, 和Y1,Y2, 分別是來自總體1nX2nY則的樣本和),2n ,n(),(NY),(NX21222211)1n , 1n(F/S/SF2122222121返回3.F3.F分

13、布的密度曲線分布的密度曲線4.F4.F分布的上側(cè)分布的上側(cè)( (右側(cè)右側(cè)) )分位數(shù)分位數(shù)Xf(x)設(shè)X , 對(duì)于給定(0)=,則稱為F分布的水平上側(cè)分位數(shù),記為:)n ,n(F21)n ,n(F21)n ,n(F215.5.上側(cè)分位數(shù)的計(jì)算上側(cè)分位數(shù)的計(jì)算(1)若P(F)=,則)n ,n(F21(2)若P(F)=(比較大),則P(1/F1/)=1-,)n ,n(FX21),(1121nnF故),(1121nnF返回例例4.1.124.1.12 設(shè)F (24,15),分別求滿足.025. 0)3(;95. 0)2(;025. 0) 1 (的FPFPFP解解 (1)=F0.025(24,15)=

14、2.29(2)P(X)=0.05, 所以=F0.05(24,15)=2.70(3)P(X)=0.975,比較大,P(1/X1/)=0.02544. 2)24,15(F1025. 0所以=0.41返回 抽樣分布基本定理抽樣分布基本定理設(shè) 是來自總體 的 s.r.s,分別是樣本均值和樣本方差,則 nXXX,21),(2N2, SX),(NX2);1n(S )1n(222)1 ,0(Nn/X)1n( tn/SX返回 設(shè)XN(1,12),Y N(2,22),X,Y相互獨(dú)立,從中分別抽取容量為n1,n2的樣本,樣本均值和樣本方差分別記為.S,Y;S,X2221)n,(NY),n,(NX22221211,

15、)YX(E21222121nnYDXD)YX(D)nn,(NYX22212121)1 , 0(Nnn)()YX(22212121返回設(shè)1,21nXXX為取自總體),(211NX的樣本，2,21nYYY是取自總體),(222NY的樣本，且兩組樣本相互獨(dú)立，則可證明：)1n , 1n(F)1 ,0(Nnn)(YX21SS2221212122222121返回當(dāng)2221時(shí)，記2) 1() 1(212222112nnSnSnSp，則可證明：)2nn( tn1n1S)(YX2121p21返回3Excel實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)(1) 利用Excel計(jì)算樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差 Step1 在Excel數(shù)據(jù)編輯窗口中

16、，建立數(shù)據(jù)文件Step2 計(jì)算樣本平均調(diào)用 AVERAGE 函數(shù)： Step3 計(jì)算樣本方差調(diào)用 VAR 函數(shù)Step4 計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差調(diào)用 STDEV 函數(shù)：4.1.0返回(2) 利用利用Excel計(jì)算四大分布的分位數(shù)計(jì)算四大分布的分位數(shù) 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù))1(NORMSINVz 計(jì)算)(2n的上側(cè)分位數(shù))n ,(CHIINV)n(2 計(jì)算)(nt的上側(cè)分位數(shù))n,2(TINV)n(t 計(jì)算),(21nnF的上側(cè)分位數(shù))n ,n ,(FINV)n ,n(F2121返回 1. 頻率柱形圖頻率柱形圖(frequency histogram)首先, 對(duì)樣本值nxxx,21升序排列為 n

17、xxx21 , 稱1xxRn為樣本極差;其次, 選取a(略小于1x)和b(略大于nx), 則所有的樣本值全部落入?yún)^(qū)間,(ba內(nèi), 分該區(qū)間為m等份bcacmiccmii111, 2 , 1,(, 稱每一等份的長(zhǎng)度mabh為組距;然后, 統(tǒng)計(jì)樣本值落入各等份的頻數(shù)in, 并求出頻率nnfii;最后, 在直角坐標(biāo)平面以“組序號(hào)”為橫軸, 以if為縱軸畫柱形圖, 即得到頻率柱形圖. 畫平滑直線圖即得到總體X的密度近似曲線.第第4.2節(jié)節(jié) 分布密度的近似求法分布密度的近似求法返回 2.2. Excel實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)Step1 樣本值輸入Excel數(shù)據(jù)編輯窗口并升序排列Step2 確定hmba,并將a輸入單元

18、格1B中, 選定單元格mBB :1, 依次單擊“編輯” 、“填充” 、 “序列”指令，在步長(zhǎng)框輸入h, 單擊“確定”;Step3 選定單元格11:mCC, 輸入頻數(shù)分布公式Step4 計(jì)算11:mDD,計(jì)算公式為頻率 nCDiiStep5 以組別為橫軸, 以各組頻率為縱軸, 畫柱形圖Step6 按“圖形向?qū)А惫ぞ? 選“自定義類型” 、 “平滑直線圖” 、“下一步” 、 “系列”, 通過刪除或填加直到滿意后單擊“完成” ，即得到密度近似曲線.4.2.0返回XP(),XE(),XN(,2)用所獲得的樣本值去估計(jì)參數(shù)取值稱為參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì).參參數(shù)數(shù)估估計(jì)計(jì)點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)用某一數(shù)值作

19、為用某一數(shù)值作為參數(shù)的近似值參數(shù)的近似值在要求的精度范圍內(nèi)在要求的精度范圍內(nèi)指出參數(shù)所在的區(qū)間指出參數(shù)所在的區(qū)間 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要任務(wù)之一是依據(jù)樣本推斷總體數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要任務(wù)之一是依據(jù)樣本推斷總體.推斷的基本內(nèi)容包括兩個(gè)方面推斷的基本內(nèi)容包括兩個(gè)方面:一是依據(jù)樣本尋找一是依據(jù)樣本尋找總體未知參數(shù)的近似值和近似范圍總體未知參數(shù)的近似值和近似范圍;二是依據(jù)樣本二是依據(jù)樣本對(duì)總體未知參數(shù)的某種假設(shè)作出真?zhèn)闻袛鄬?duì)總體未知參數(shù)的某種假設(shè)作出真?zhèn)闻袛?本章先本章先介紹求近似值和近似范圍的方法介紹求近似值和近似范圍的方法.第第4.3節(jié)節(jié) 期望與方差的點(diǎn)估計(jì)期望與方差的點(diǎn)估計(jì)返回 1. 點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì) 1.1.定

20、義定義設(shè)總體X分布函數(shù)為F(x;1,2,m), i為未知參數(shù)(i=1,2,m),X1,X2,Xn為來自該總體的s.r.s,若以統(tǒng)計(jì)量 =i(x1,x2,xn)作為i的近似值,則稱 為i的估計(jì)值估計(jì)值( (抽樣后抽樣后) ),也稱 為i的估計(jì)量估計(jì)量( (抽樣前抽樣前) ).由于近似值(實(shí)數(shù))與實(shí)數(shù)軸的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),姑且又稱 為i的點(diǎn)估計(jì)(量或值).iiii即即:選擇統(tǒng)計(jì)量選擇統(tǒng)計(jì)量估計(jì)量帶入樣本值帶入樣本值估計(jì)值X分布為F(x;)待估返回 容易明白容易明白,對(duì)同一個(gè)未知參數(shù)對(duì)同一個(gè)未知參數(shù),采用不同的采用不同的方法找到的點(diǎn)估計(jì)可能不同方法找到的點(diǎn)估計(jì)可能不同,那么那么,自然要問自然要問:究究竟是

21、用哪一個(gè)更竟是用哪一個(gè)更“好好”些呢些呢?這里介紹三個(gè)評(píng)這里介紹三個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)價(jià)標(biāo)準(zhǔn). 2. 估計(jì)量?jī)?yōu)良性的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量?jī)?yōu)良性的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)一標(biāo)準(zhǔn)一:無偏性 設(shè) 為的一個(gè)點(diǎn)估計(jì),若 則稱 為的一個(gè)無偏估計(jì)無偏估計(jì).,)(E注意注意:無偏估計(jì)不是唯一存在.標(biāo)準(zhǔn)二標(biāo)準(zhǔn)二:有效性(方差最小性) 設(shè) 和 是 的兩個(gè)無偏估計(jì),若 則稱 比 更有效2)()(21DD112返回例例4.3.1.設(shè)X1,X2,X3為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣 本,EX=,DX=2,驗(yàn)證下列統(tǒng)計(jì)量哪個(gè)更有效.32133212211X31X32X21,X31X31X31,X21X21解解:X21X21EE21165EX65EX31EX

22、32EX21E3213,EXEX31EX31EX31E321221EX21EX21=EX=X21X21DD21121DX41DX41=DX/2=2/2同理, 3/DX91DX91DX91D23212所以21,為無偏估計(jì)量,DD212更有效.返回是來自X的s.r.s,試證: 為 的無偏估計(jì),且 比 更有效.)nk( ,X ,Xk1iik121)(XE12nXX,1例例4.3.2 設(shè)總體X X 的方差存在證明證明:n1ii1)Xn1(EXEEinEXn1k1ii2)Xk1(EEikEXk1n1ii1)Xn1(DXDDi2DXnn1n2k1ii2)Xk1(DDi2DXkk1k2,21DD樣本樣本容量

23、容量越大越大,樣本樣本均值均值估計(jì)估計(jì)值越值越精確精確.返回注意注意 例例4.3.3 設(shè) 是參數(shù)的兩個(gè)互相獨(dú)立的無偏估計(jì)量,且 ,找出常數(shù) 使 也是的無偏估計(jì),并使它在所有這種形狀的估計(jì)量中的方差最小.21,)(2)(21DD21,kk2211kk 類似地,設(shè) 是參數(shù)的兩個(gè)無偏估計(jì)量, 的相關(guān)系數(shù)為,可找出正數(shù) 使 也是的無偏估計(jì),并使它在所有這種形狀的估計(jì)量中方差最小21,21222211,)(,)(DD21,kk2211kk返回標(biāo)準(zhǔn)三標(biāo)準(zhǔn)三:相合性(一致性) 設(shè)統(tǒng)計(jì)量 是未知參數(shù) 的點(diǎn)估 計(jì)量,樣本容量為 n ,若對(duì)任意 ,則稱 為 的相合 估計(jì),又稱一致估計(jì).1limpn, 0 相合性表

24、明相合性表明: :當(dāng)樣本容量充分大時(shí)當(dāng)樣本容量充分大時(shí), ,事件事件“相合估計(jì)量充分接近被估計(jì)未知參數(shù)的概率相合估計(jì)量充分接近被估計(jì)未知參數(shù)的概率”接近于接近于1,1,換言之換言之, ,當(dāng)樣本容量充分大時(shí)當(dāng)樣本容量充分大時(shí), ,事件事件“相合估計(jì)量與被估未知參數(shù)偏離較大相合估計(jì)量與被估未知參數(shù)偏離較大”的概的概率接近于零率接近于零. .以后以后, ,將概率很小的事件被稱為小將概率很小的事件被稱為小概率事件概率事件. .返回獨(dú)立同分布, 和 分別為樣本均值和樣本方差,則( ), 1()(,)(2niXDXEiiX2SnXX,1例例4.3.44.3.4 設(shè) n 個(gè)隨機(jī)變量 是 的無偏估計(jì)量 不是

25、的無偏估計(jì)量S2S2 與 相互獨(dú)立 是 的相合估計(jì)量(即一致估計(jì)量)SXX返回 在實(shí)際中在實(shí)際中,常常以樣本均值作為總體均值的常常以樣本均值作為總體均值的點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì),以樣本方差作為總體方差的點(diǎn)估計(jì)以樣本方差作為總體方差的點(diǎn)估計(jì).3.期望和方差的點(diǎn)估計(jì)期望和方差的點(diǎn)估計(jì)期望的點(diǎn)估計(jì)期望的點(diǎn)估計(jì):選擇估計(jì)量選擇估計(jì)量n1iiXn1X(1)無偏性(2)樣本容量越大,估計(jì)值 越有效方差的點(diǎn)估計(jì)方差的點(diǎn)估計(jì):選擇估計(jì)量選擇估計(jì)量n1i2i2)XX(1n1S(無偏估計(jì)量)標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì):選擇估計(jì)量選擇估計(jì)量n1i2i)XX(1n1S(非無偏估計(jì)量)注意注意:n1i2i20)XX(n1S(非

26、無偏估計(jì)量)返回例例4.3.54.3.5驗(yàn)證: 是總體X方差的一個(gè)無偏估計(jì); 不是方差的無偏估計(jì).n1i2i2)XX(1n1Sn1i2i20)XX(n1S解:)X(nE)X(E1n1ES2n1i2i2n1i2i)XX(n1i2i2i)XXX2X(2n1iin1i2iXnXX2X2n1i2iXnX)X(E1nnEX1nn22)XE(XD)EX(DX1nn22XDDX1nnnDXDX1nn=DX所以,S2為DX的無偏估計(jì)量.ES2=DX,Sn1nS220故220ESn1nESDXn1n 所以, 不是DX的無偏估計(jì)量.20S返回 點(diǎn)估計(jì)有使用方便、直觀等優(yōu)點(diǎn)點(diǎn)估計(jì)有使用方便、直觀等優(yōu)點(diǎn),但他但他并沒

27、有提供關(guān)于估計(jì)精度的任何信息并沒有提供關(guān)于估計(jì)精度的任何信息,為此為此提出了未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)法提出了未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)法. 如如:對(duì)明年小麥的畝產(chǎn)量作出估計(jì)為: 即即:若設(shè)X表示明年畝產(chǎn)量,則估計(jì)結(jié)果為P(800X1000)=80%明年小麥畝產(chǎn)量八成為明年小麥畝產(chǎn)量八成為800-1000斤斤.區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)第第 4.4 節(jié)節(jié) 期望、方差的區(qū)間估計(jì)及期望、方差的區(qū)間估計(jì)及Excel實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)返回1. 區(qū)間估計(jì)的定義區(qū)間估計(jì)的定義設(shè)總體分布中含有未知參數(shù) ,根據(jù)來自該總體的s.r.s ,如果能夠找到兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 ,使得隨機(jī)區(qū)間 包含 達(dá)到一定的把握,那么,便稱該隨機(jī)區(qū)間為未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)

28、.即 當(dāng) 成立時(shí), 稱概率 為置信度或置信水平置信度或置信水平; 稱 為置信系數(shù)置信系數(shù); 稱區(qū)間 是 的置信度為 的置信區(qū)間置信區(qū)間; ; 分別稱為分別稱為置信下限置信下限和和置信上限置信上限. .21,),(21,121P) 10 (1)%1 (100),(21121,返回注意注意:點(diǎn)估計(jì)給出的是未知參數(shù)的一個(gè)近似值;區(qū)間估計(jì)給出的是未知參數(shù)的一個(gè)近似范圍,并且知道這個(gè)范圍包含未知參數(shù)值的可靠程度. 例例4.4.1 總體均值 的95%置信區(qū)間的意義是( )這個(gè)區(qū)間平均含總體的95%的值這個(gè)區(qū)間平均含樣本的95%的值這個(gè)區(qū)間有95%的機(jī)會(huì)含 的真值這個(gè)區(qū)間有95%的機(jī)會(huì)含樣本均值.返回例例4

29、.4.2 總體分布中未知參數(shù) 的 置信區(qū)間為 ,則在下列說法中,正確的說法有( )個(gè)),(2112 3 4 5說法1: 以概率 包含 ; 說法2: 以概率 落入 ; 說法3: 不包含 的概率為 ; 說法4: 以 的概率落在 之外; 說法5: 以 估計(jì) 所在范圍時(shí),所犯錯(cuò)誤的概率為),(211),(211),(21),(21),(21返回例例4.4.3.設(shè)總體XN(,2),其中 2已知,X1,X2,Xn為X 的 一個(gè)樣本,求一個(gè)區(qū)間,使之以1-的 概率 包含的真值.解解(1)選擇包含選擇包含的分布已知函數(shù)的分布已知函數(shù):nXZ/(2)構(gòu)造構(gòu)造Z的的 一個(gè)一個(gè)1-區(qū)間區(qū)間:不妨設(shè)P(|Z|)=1-

30、,則2z21)(2 z為Z的/2上側(cè)分位數(shù)即1)/(22znXzP)1 ,0(N(3)變形得到變形得到的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間:1)(22nzXnzXP所求1-置信區(qū)間為),(22nzXnzX返回 /2 /2X(x)1-=z/2-P(|Z|)=1- 置信區(qū)間不是唯一的.對(duì)于同一個(gè)置信度,可以有不同的置信區(qū)間.置信度相同時(shí),當(dāng)然置信區(qū)間越短越好.一般來說,置信區(qū)間取成對(duì)稱區(qū)間或概率對(duì)稱區(qū)間.注意注意:1-返回2. 求置信區(qū)間的方法與步驟求置信區(qū)間的方法與步驟: 第一步第一步 構(gòu)造一個(gè)含未知參數(shù)的分布已知的隨機(jī)變量(樣本的函數(shù))Z,Z中除待估參數(shù)外不含其它任何未知參數(shù),一般是從未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)著手

31、,再進(jìn)行加工來構(gòu)造; 第二步第二步 對(duì)給定的置信度 ,根據(jù)Z的分布定出滿足 的a,b(叫分位數(shù)或臨界點(diǎn));11bZaP 第三步第三步 利用不等式變形,求出未知參數(shù)的 置信區(qū)間.1返回3.3.一個(gè)正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計(jì)一個(gè)正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計(jì): : (1)選擇包含選擇包含的分布已知函數(shù)的分布已知函數(shù):(2)構(gòu)造構(gòu)造Z的的 一個(gè)一個(gè)1-區(qū)間區(qū)間:1)/(22znXzPnXZ/)1 ,0(N (3)變形得到變形得到的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間:),(22nzXnzX設(shè)總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，1）2已知已知,求求的自信度為的自信度為1-置信區(qū)間：置信區(qū)間：21)(2

32、 z返回例例4.4.4.設(shè)總體XN( ,0.92),X1,X2,X 9為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值為5，求的置信度為95%的置信區(qū)間。解解:由題意得:, 5 . 0,9 . 0, 5X22這是方差已知的總體均值的區(qū)間估計(jì)，結(jié)果為),(22nzXnzX其中n=9975. 0)(2zz0.025=1.96,代入得nzX24.412,nzX25.588,所求置信區(qū)間為(4.412，5.588)返回設(shè)總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，2）2未知未知,求求的置信度為的置信度為1-置信區(qū)間：置信區(qū)間： (1)選擇包含選擇包含的分布已知函數(shù)的分布已知函數(shù):(2)構(gòu)造構(gòu)造T的的 一個(gè)一個(gè)

33、1-區(qū)間區(qū)間: (3)變形得到變形得到的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間:n/SXT)1n( t) 1n (t2/Xf(x)/2/21)1n(t|T(|P2/1nS)1n(tXnS)1n(tXP2/2/)nS)1n(tX,nS)1n(tX(2/2/1-返回例例4.4.5設(shè)正態(tài)總體的方差為1, 根據(jù)取自該總體的容量為100的樣本計(jì)算得到樣本均值為5, 求總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間.Excel求置信區(qū)間使用 CONFIDENCE 函數(shù), 其語法格式如下:CONFIDENCE(, n) = 2zn置信下限為: X CONFIDENCE(, n)置信上限為: X CONFIDENCE(, n)4.4.

34、5返回4.4.6例例4.4.6 某種零件的重量服從正態(tài)分布. 現(xiàn)從中抽取容量為16的樣本, 其觀測(cè)到的重量(單位: 千克)分別為4.8, 4.7, 5.0, 5.2, 4.7, 4.9, 5.0, 5.0, 4.6, 4.7, 5.0, 5.1, 4.7,4.5, 4.9, 4.9. 需要估計(jì)零件平均重量, 求平均重量的區(qū)間估計(jì), 置信系數(shù)是0.95.返回設(shè)總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，3）求）求2置信度為置信度為1-的置信區(qū)間：的置信區(qū)間：(1) 總體均值總體均值已知已知2的無偏估計(jì)為niinX1212)(, 且)(222nnQ, 對(duì)給定的, 由于 1)()(22122n

35、QnP,解不等式 )()(22122nQn, 可得2的置信度為1的置信區(qū)間是:)n()X(,)n()X(21n1i2i2n1i2i22返回Xf(x) (a)選擇包含選擇包含2的分布已知函數(shù)的分布已知函數(shù): (c)變形得到變形得到2的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間:222) 1(Sn)1n(21221P/2/21-121-/2)1n(22) 1n(2121)1n(S)1n()1n(P2222212)S)1n(,S)1n()1n(2122)1n(222 (2) 總體均值總體均值未知未知(b)構(gòu)造構(gòu)造 的的 一個(gè)一個(gè)1-區(qū)間區(qū)間:2返回例例4.4.7 投資的回收利用率常常用來衡量投資的風(fēng)險(xiǎn). 隨機(jī)地調(diào)查了2

36、6個(gè)年回收利潤(rùn)率(%), 標(biāo)準(zhǔn)差(%). 設(shè)回收利潤(rùn)率為正態(tài)分布, 求它的方差的區(qū)間估計(jì)(置信系數(shù)為0.95).4.4.7返回4.4.兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì): :設(shè)原總體XN(1,12),改變后的總體Y N(2,22),X, Y相互獨(dú)立,從中分別抽取容量為n1,n2的樣本,樣本均值和樣本方差分別記為.,;,2221SYSX1) 12, 22已知已知, 1- 2的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間:) 1 , 0 (/)()(22212121NnnYXZ (1)選擇包含選擇包含1- 2的分布已知函數(shù)的分布已知函數(shù):(2)構(gòu)造構(gòu)造Z的的 一個(gè)一個(gè)1-區(qū)間區(qū)間: (3)變形得到

37、變形得到1- 2的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間:1)(22zZzP)(,)(22212122221212nnzYXnnzYX21)(2 z返回2) 12,=22=2, 2未知未知,1- 2的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間:) 2(/ 1/ 1)()(212121nntnnSYXTP (1)選擇包含選擇包含1- 2的分布已知函數(shù)的分布已知函數(shù):(2)構(gòu)造構(gòu)造T的的 一個(gè)一個(gè)1-區(qū)間區(qū)間: (3)變形得到變形得到1- 2的的1-置信區(qū)間置信區(qū)間:)11) 2()(,11) 2()(21212121nnSnntYXnnSnntYXPP1)2nn(t|T(|P21返回(三三) 當(dāng)當(dāng)21和和22均未知均未知, 但但 nnn21, 1-2的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì)令iiiYXZ, 則),(222121NZi,將nZZZ,21視為取自總體),(222121NZ的樣本,可得1-2的置信度為1的置信區(qū)間是)1n(tnSZ),1n(tnSZ(22zz其中 niinzZZSYXZ12112)(,3)返回例例 4.4.84.4.8某工廠利用兩條自動(dòng)化流水線灌裝番茄醬, 分別從兩條流水線上抽取隨機(jī)樣本:1221,XXX和1721,YYY, 計(jì)算出6 .10X(克), 5