北京導(dǎo)航高等數(shù)學(xué)講義下

1、第六章 多元函數(shù)微積分學(xué)（下）本章將復(fù)習(xí)多元函數(shù)微積分學(xué)中數(shù)學(xué)一、二、三、四共同要求的內(nèi)容，有利于大家的復(fù)習(xí)和把握。同時分散了數(shù)學(xué)一的難點，復(fù)習(xí)條理更加清晰。第一節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)是一元函數(shù)微分學(xué)的推廣與發(fā)展。復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時，要對二者加以比較，既要注意一元函數(shù)與多元函數(shù)在基本概念、理論和方法上的共同點，更要注意它們之間的區(qū)別。【大綱內(nèi)容】多元函數(shù)的概念；二元函數(shù)的幾何意義；二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念；有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分；全微分存在的必要條件和充分條件；多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法；二階偏導(dǎo)數(shù)；多元函數(shù)極值和條件的概念；多元函數(shù)極值的必要條件

2、；二元函數(shù)極值的充分條件；極值的求法；拉格朗日乘數(shù)法；多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用。 數(shù)學(xué)一要求了解二元函數(shù)的二階泰勒公式，而數(shù)學(xué)二、三、四不要求?！敬缶V要求】要理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義；了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念。在方法上，要掌握復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法；會求全微分；會求隱函（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)；了解二元函數(shù)的二階泰勒公式（數(shù)學(xué)二、三、四不要求）。在應(yīng)用方面，理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，解決一些簡單的最大最小值應(yīng)用問題?！究键c分析】應(yīng)用

3、鏈鎖規(guī)則求多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)問題，是考試的一個重點。另一個考試重點是求多元函數(shù)的條件極值和無條件極值。一、多元函數(shù)微分學(xué)的基本概念及其關(guān)系定義1 設(shè)二元函數(shù)的某心鄰域內(nèi)有定義，如果動點(x,y)以任何方式無限趨于點總是無限趨于一個常數(shù)A，則稱當時，。定義2 如果連續(xù)。如果在區(qū)域D上每一點都連續(xù)，則稱在區(qū)域D上連續(xù)。定理1 最大值和最小值定理 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值。定理2 介值定理 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，可以取到它在D上的最小值與最大值之間的任何值。定義3 偏導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)的某個鄰域內(nèi)有定義，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作

4、即 .類似地，函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義為 .定義4 如果二元函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D的每一點(x,y)處都有偏導(dǎo)數(shù)，一般地說，它們?nèi)允莤,y的函數(shù)，稱為f(x,y)的偏導(dǎo)函數(shù)，簡稱偏導(dǎo)數(shù)，記為定義5 高階偏導(dǎo)數(shù) 如果二元函數(shù) 仍然具有偏導(dǎo)數(shù)，則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，記作 其中稱為混合偏導(dǎo)數(shù)，類似地可以定義三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù)。定理3 如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)都在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在D內(nèi)，即二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求偏導(dǎo)的先后次序無關(guān)。定義6 全微分 設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，當f(x,y)的全增量可以表示為，其中A，B不依賴于，

5、而僅與x,y有關(guān)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處可微，稱為函數(shù)f(x,y)在點（x,y）處的全微分，記作定理4 若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處可微，則必在(x,y)處連續(xù)。定理5 可微的必要條件 如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處可微，則該函數(shù)在點(x,y)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，且。又對于自變量x,y有定理6 可微的充分條件 如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù) 連續(xù)，則函數(shù)在該點可微。偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：設(shè)有二元函數(shù)在幾何上分別表示曲線的切線對x軸和對y軸的斜率。【考點七十一】（1）求二元函數(shù)的極限值時，一般應(yīng)用兩邊夾定理或化為一元函數(shù)的極限進行求解。 （2）當點沿著不同的

6、路徑趨于點時，若函數(shù)的極限值不同，則二重極限 不存在?！纠?】求下列二重極限：（1） （2）（3）【考點七十二】多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在與可微之間的關(guān)系： 可微偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)存在. 可微連續(xù)，但連續(xù)，連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在。若一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則可微。【例2】考慮二元函數(shù)的下面4條性質(zhì)：的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在。若用“”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)，則有（ ）（A） （B）（C） （D）【例3】二元函數(shù)存在，是在該點連續(xù)的（ ）（A）充分條件而非必要條件。（B）必要條件而非充分條件。（C）充分必要條件。（D）既非充分條件又非必要條件。二、多元函數(shù)微分法 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則1若處偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)z=f(u,v)在對

7、應(yīng)點(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)處偏導(dǎo)數(shù)存在，且 2設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，都可導(dǎo)，則，這里稱為z對t的全導(dǎo)數(shù)。3設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，則 .【考點七十三】1. 求偏導(dǎo)數(shù)時，只需將中的非視為常數(shù)，利用一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則即可，類似地可求出表示先對求偏導(dǎo)，然后再對求偏導(dǎo)，其余類推。 2求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時，主要把握三點：（1） 關(guān)鍵問題是弄清復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，分清中間變量與自變量。（2）避免丟項。一般地，函數(shù)有幾個自變量就求幾個偏導(dǎo)數(shù)；函數(shù)有幾個中間變量，偏導(dǎo)數(shù)公式中就有幾項的和；函數(shù)有幾重復(fù)合，偏導(dǎo)數(shù)公式中就有幾項因子的乘積。（3） 對于求抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。首先必須設(shè)出中間變

8、量，構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)?！纠?】設(shè)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求【例5】設(shè)，求.【考點七十四】隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1設(shè)函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程在點的某鄰域內(nèi)恒能惟一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，并有 .2由方程組確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)方程組，上式兩邊分別對x求偏導(dǎo)，注意到u和v是x及y的函數(shù)，有當時，從上式中可解出。同理，原方程兩端對y求偏導(dǎo)，可求出【評注】計算由方程組所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)該使用直接法，其關(guān)鍵是事先要明確哪些變量是自變量，哪些變量是因變量，這應(yīng)根據(jù)具體問題來判定。例如求，可判定是因變量，一般地，在一定條件下，對于有個方程、個自變量的

9、方程組來說，有個因變量，有-個自變量。然后依次對所給方程的兩端關(guān)于求偏導(dǎo)，得到一個線性方程組，再解出所求（偏）導(dǎo)數(shù)即可。【例6】設(shè)有三元方程，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(0,1,1)的一個鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程(A) 只能確定一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)z=z(x,y). (B) 可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x,y). (D) 可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z). 【例7】設(shè)，其中是由方程確定的隱函數(shù)，則.【例8】設(shè)函數(shù)，方程確定是的函數(shù)，其中可微；連續(xù)，且

10、，求。【考點七十五】計算全微分的方法：（1） 先求和，然后代入公式：。（2） 對已知函數(shù)或方程取微分，根據(jù)微分形式的不變性，直到計算出和上為止，再解出即可。【例9】設(shè)，求與 .二、多元函數(shù)的極值與最值 定義1 設(shè)函數(shù)在點的某實心鄰域內(nèi)有定義，若對該鄰域內(nèi)異于的任意點，總有 （或）成立，則稱是函數(shù)在點處取得的極大值（或極小值），并取點為的極大值點（或極小值點）。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值；極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點。定義2 方程組的解，稱為函數(shù)的駐點。定理1（極值存在的必要條件） 設(shè)函數(shù)在點處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在，且為的極值點，則有 .定理2（極值存在的充分條件） 設(shè)函數(shù)在點處的某實心鄰域內(nèi)有連續(xù)

11、的二階偏導(dǎo)數(shù)，且。若，則點是的一個極值點。 （1）若（或），則為極大值； （2）若（或），則 為極大值； （3）若，則不是極值?！究键c七十六】在函數(shù)的定義域D上求極值，這是無條件極值。求多元函數(shù)無條件極值的程序是： （1） 求函數(shù)的駐點（可能極值點），即求解方程組 的一切實數(shù)解（或偏導(dǎo)數(shù)不存的點），即得函數(shù)的可有極值點。 （2）利用極值存在的充分條件判定所求駐點是否為極值點。（3）求出極值。 【評注】 駐點不一定是極值點。偏導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是極值點?！纠?0】求函數(shù)的極值?！究键c七十七】1. 求函數(shù)，在約束條件下的極值問題，稱為條件極值問題。求解條件極值的一般方法有兩種。一是利用所組的約束

12、條件把條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題；一是拉格朗日乘數(shù)法?！纠窭嗜粘藬?shù)法】 其步驟是： （1）作輔助函數(shù)（稱為拉朗日函數(shù)） ，其中為待定常數(shù)（稱為拉格朗日乘數(shù)）；（2）求解方程組 得可能極值點；（3） 判定在可能極值點處是否取得極值。（對于實際應(yīng)用問題，由實際確定，一般免去了這一步驟）。2二元函數(shù)的最大值與最小值：有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的駐點、偏導(dǎo)數(shù)不存在的點及其邊界點上取得最大值與最小值?！纠?1】求函數(shù)在條件及下的極值?！纠?2】求二元函數(shù)在由直線、軸和軸所圍成的閉區(qū)域D上的極值、最大值與最小值?！驹斀狻浚?）先求區(qū)域D內(nèi)部的極值。令解得惟一內(nèi)部駐點（2，1）。用充分條件判

13、定是否取得極值。 于是因此點點，極大值為.（1） 求最大值和最小值，當時，有由邊界是方程中得令上的惟一內(nèi)部駐點，即D邊界上點（4，2）. 以下比較所有懷疑點的函數(shù)值：由此知【評注】極值是鄰域中的最大值或最小值，因此極值點只能在區(qū)域的內(nèi)點處取得，而最大值和最小值可以在區(qū)域的任何點處（包括邊界點）取得。第二節(jié) 二重積分【大綱內(nèi)容與要求】理解二重積分的概念、幾何意義與基本性質(zhì)，了解二重積分的中值定理，掌握在直角坐標系下與極坐標系下二重積分的計算。會計算簡單的無界區(qū)域上的二重積分?！究键c分析】本節(jié)考點的核心是二重積分的計算，要熟練掌握。二重積分計算的關(guān)鍵是化二重積分為二（累）次積分.【考點七十八】在直

14、角坐標系下計算二重積分的公式：【型區(qū)域】若，則.【型區(qū)域】若，則.【例1】計算二重積分其中D是由雙曲線及直線所圍成的平面區(qū)域。【例2】設(shè)連續(xù)，且，其中是由所圍區(qū)域，則等于（ ）（A）（B）（C）（D）【例3】設(shè) ，求，其中。【考點七十九】如果在二重積分的被積函數(shù)中含有絕對值，則先令絕對值中的函數(shù)為零，將積分區(qū)域分割，再利用二重積分的可加性進行計算。 【例4】計算，其中【例5】計算二重積分【考點八十】當積分區(qū)域D為圓域、環(huán)域或圓域的某部分。被積函數(shù)為等形式時，選用極坐標較為方便。在極坐標系下計算二重積分的公式：【極點在區(qū)域D內(nèi)】，【極點在區(qū)域D外】，.【極點在區(qū)域D的邊界上】，.【例6】設(shè)具有連

15、續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且， 。（1）證明： （2）求（3）【例7】計算二重積分 其中積分區(qū)域D=【例8】設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且滿足方程, 求。【考點八十】計算無界區(qū)域上簡單的二重積分的方法：根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的情況，選用直角坐標或極坐標化成二次積分進行計算。無界區(qū)域上簡單的二重積分按無界區(qū)域分類，常見的有三類： （1），則 . （2），則 .（3）記為圓與無界區(qū)域的交集，則 ，在用極坐標計算.【例9】計算二重積分，其中是曲線和在第一象限所圍成的區(qū)域。【例10】化為極坐標下的二次積分，則.【考點八十一】利用區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性計算二重積分：（1） 若D關(guān)于x軸對稱，則 ，其中（2）若D關(guān)于y軸對稱

16、，則 ，其中（3）若D關(guān)于坐標原點對稱，則其中D1為D的右半平面或上半平面部分。（4）若D關(guān)于直線y=x對稱，則，（5）如果被積函數(shù)，積分區(qū)域關(guān)于變量x,y具有輪換對稱性（即x換成y，y換成x ，其表達式均不變），則.【例11】設(shè)D是xoy面上以（1，1），和為頂點的三角形區(qū)域，D1是D在第一有限的部分，則.（A）（B）（C）（D）0【例12】設(shè)區(qū)域，f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù)，a,b為常數(shù)，則（ ）(A) . (B) . (C) . (D) . 【例13】求二重積分的值，其中是由直線及圍成的平面區(qū)域?！究键c八十二】交換積分次序的程序是： （1）由二次積分推出積分區(qū)域由哪些曲線圍成； （2）

17、畫出積分區(qū)域的草圖； （3）由積分區(qū)域的圖形按新的積分次序?qū)懗龆畏e分.【例14】交換積分次序 .【例15】計算【例16】設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. 第七章 微積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用【大綱內(nèi)容與要求】了解導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟意義（含邊際與彈性的概念），會用定積分求簡單的經(jīng)濟應(yīng)用問題?！究键c分析】微積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用是數(shù)學(xué)三和數(shù)學(xué)四考試的重點，除了2005年和2006年的研究生試題外，其余每年均有一道大題出現(xiàn)?！緩?fù)習(xí)要點】一、經(jīng)濟學(xué)中常見的函數(shù)（1）需求函數(shù) 設(shè)某產(chǎn)品的需求量為x，價格為p。一般地，需求量x是價格p的函數(shù)，稱為需

18、求函數(shù)，并且價格p上升（下降），需求量x下降（上升）。需求函數(shù)的反函數(shù)稱為價格函數(shù)。也常稱為需求函數(shù)。（2）供給函數(shù) 設(shè)某產(chǎn)品的供給量為x，價格為p。一般地，供給量x是價格p的函數(shù)，稱為供給函數(shù)，并且價格上升（下降）供給量上升（下降）。（3）成本函數(shù) 成本生產(chǎn)產(chǎn)品的總投入。它由固定成本（常量）和可變成本兩部分組成，其中x表示產(chǎn)量。即稱為平均成本。記為或，即（4）收益（入）函數(shù) 收益產(chǎn)品售出后所得的收入。它是銷售量x與銷售單價p之積。即收益函數(shù)為（5）利潤函數(shù) 利潤收益扣除成本后的余額。它由總收益減去總成本組成。即利潤函數(shù)為（其中x為銷售量）二、邊際函數(shù)與邊際分析在經(jīng)濟學(xué)中，導(dǎo)函數(shù)稱為邊際函數(shù)。

19、若函數(shù)可導(dǎo)，則稱 為的邊際函數(shù)。稱為在點的邊際值。用邊際函數(shù)來分析經(jīng)濟量的變化叫邊際分析。令 即 ，取， 得 .于是，邊際值被解釋為：在點，當改變一個單位時，函數(shù)近似（實際問題中，經(jīng)常略去“近似”二字）改變個單位。的符號反映出自變量的改變與因變量的改變是同向還是近向。（1）邊際成本 設(shè)總成函數(shù)為（q為產(chǎn)量） 則邊際成本函數(shù)（記為MC）為 .產(chǎn)量為時的邊際收益表示：當產(chǎn)量為時，產(chǎn)量q改變一個單位，總成本C（q）將改變個單位。的符號反映出產(chǎn)量q的改變與成本C（q）的改變是同向還是反向。 （2）邊際收益 設(shè)總收益函數(shù)為（q為產(chǎn)量）則邊際收益函數(shù)（記為MR）為 .銷售量為時的邊際收益表示：當銷售量為時

20、，銷售量改變一個單位，總收益將改變個單位。的符號反映出銷售量的改變與總收益R的改變是同向還是反向。 （3）邊際利潤 設(shè)利潤函數(shù)為 （q為產(chǎn)量）則邊際利潤函數(shù)（記為ML）為.銷售量為時的邊際利潤表示：當銷售量為 時，銷售量改變一個單位，利潤將改變個單位，的符號反映出銷售量的改變與利潤L的改變是同向還是反向?！究键c八十七】1. 復(fù)利問題：（1） 假設(shè)本金為，年利率為r，存款期限為t年，t年后的本利和稱為t年后的期末價值。如按單利計息，t年后的期末價值為.如按復(fù)利計算，t的后的期末價值為.如按連續(xù)復(fù)利計息，t年后的期末價值為。（2） 反問題：t年后a元，其現(xiàn)值即貼現(xiàn)價值為多少？設(shè)年利率為r，如一年計

21、算復(fù)利一次，則，故a的貼現(xiàn)價值。如按連續(xù)復(fù)利計算，則2 收支流的貼現(xiàn)價值：（1） 設(shè)r表示年利率，若按連續(xù)復(fù)利計息，則在時間間隔0，T內(nèi)總收入（或支出）的貼現(xiàn)價值為：（2） 若按復(fù)利計息（非連續(xù)復(fù)利），則T期總收入的貼現(xiàn)價值【例1】某酒廠有一批新釀成的酒，若當即賣掉（t=0），收入元，若窖藏t年按陳年酒售出，售價為元。如果窖藏不需支付儲存費，問窖藏多少年按現(xiàn)值計算可使利潤最大（連續(xù)計息年利息為0.1）【詳解】設(shè)該酒的生產(chǎn)成本為c，則t年后出售得到利潤的貼現(xiàn)值為。令，得=25,且當t>時.所以，為最大值點，即在25年后出售該批酒按現(xiàn)值計算可獲最大利潤?！纠?】設(shè)一輛轎車，售價14萬元，現(xiàn)某

22、人分期支付，準備20年付清，按年利率0.05連續(xù)復(fù)利計息，問每年應(yīng)支付多少元？【詳解】設(shè)每年付款數(shù)（相同）均為a萬元，共付20年，即T=20，全部付款的總貼現(xiàn)價值N=14萬元，年利率r=0.05，則（萬元）所以每年應(yīng)付款 1.1006萬元。【考點八十八】經(jīng)濟問題中出現(xiàn)較多的是最值問題，特別是利潤最大化問題。其解題程序是：首先建立目標函數(shù)，然后求導(dǎo)數(shù)，該函數(shù)的極值點往往就是所求的最值點。【例3】假設(shè)某種商品的需求量是單價（單位：元）的函數(shù)：；商品的總成本是需求量的函數(shù)：，每單位商品需要納稅2元，試求使銷售利潤最大的商品單價和最大利潤額?！驹斀狻靠偝杀?。銷售利潤額為。令，解得惟一駐點。因為，所以當

23、時，有最大值，即最大利潤額（元）。【例4】已知某企業(yè)的總收入函數(shù)為，總成本函數(shù)為，其中表示產(chǎn)品的產(chǎn)量，求利潤函數(shù)，邊際收入函數(shù)，邊際成本函數(shù)，以及企業(yè)獲得最大利潤時的產(chǎn)量和最大利潤?！驹斀狻浚?）利潤函數(shù)為（2）邊際收入函數(shù)為。（3）邊際成本函數(shù)為。（4）由得（舍去）。又，知當時取極大值為 ，因為時，只有一個極大值，故此極大值是就是最大值。于是，當產(chǎn)量為1時利潤最大，最大利潤為11?！纠?】假設(shè)某企業(yè)在兩個相互分割的市場上出售同一種產(chǎn)品，兩個市場的需求函數(shù)分別是其中和分別表示該產(chǎn)品在兩個市場的價格（單位：萬元/噸），和分別表示該產(chǎn)品在兩上市場的銷售量（即需求量，單位：噸），并且該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)

24、品的總成本函數(shù)是，其中表示該產(chǎn)品在兩個市場的銷售總量，即。（1）如果該企業(yè)實行價格差別策略，試確定兩個市場上該產(chǎn)品的銷售量和價格，使該企業(yè)獲得最大利潤；（2）如果該企業(yè)實行價格無差別策略，試確定兩上市場上該產(chǎn)品的銷售量及其統(tǒng)一的價格，使該企業(yè)的總利潤最大化；并比較兩種價格策略下的總利潤大小?！驹斀狻浚?）根據(jù)題意，總利潤函數(shù)為令解得，則（萬元/噸），（萬元/噸）。因駐點（4，5）惟一，且實孫問題一定存在最大值，故最大值必在駐點處達到。最大利潤為（萬元）（2）若實行價格無差別策略，則，于是有約束條件。因此數(shù)學(xué)模型為構(gòu)造接格朗日函數(shù) 令解得，則，最大利潤為（萬元）。由上述結(jié)果可知，企業(yè)實行差別定價

25、所得總利潤要大于統(tǒng)一價格的總利潤?！究键c八十九】彈性函數(shù)與彈性分析：在經(jīng)濟學(xué)中，把因變量對自變量變化的的應(yīng)的靈敏度，稱為彈性或彈性系數(shù)。設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，稱 為函數(shù)的彈性函數(shù)。稱 為函數(shù)在處的（點彈性。表示在處，當自變量x改變1%時，因變量y將改變。其符號表示自變量x與因變量y的改變是同向還是反向。用彈性函數(shù)來分析經(jīng)濟量的變化叫彈性分析 （1）需求的價格彈性 設(shè)需求函數(shù)為（其中p為價格，Q 為需求彈性）則 .由于需求函數(shù)單調(diào)遞減，從而。 其經(jīng)濟意義是：當價格為p時，若提價（降價）1%，則需求量將減少（增加）。 （2）供給的價格彈性 設(shè)供給函數(shù)為Q=（p為價格，Q為供給量），則供給彈性為 .由于供給函

26、數(shù)單調(diào)增加，從而。 其經(jīng)濟意義是：當價格為p時，若提價（降價）1%，則供給量將增加（減少）?！纠?】設(shè)某商品需求量Q是價格P的單調(diào)減少函數(shù)：，其需求彈性.（1）設(shè)R為總收益函數(shù)，證明（2）求P=6時，總收益對價格的彈性，并說明其經(jīng)濟意義?！驹斀狻浚?）。上式兩邊對P求導(dǎo)數(shù)，得.(2) ， 經(jīng)濟意義：當P=6時，若價格上漲1%，則總收益將增加0.54%?！究键c九十】積分學(xué)在經(jīng)濟中的應(yīng)用 ： 總成本函數(shù)，總收益函數(shù)等，統(tǒng)稱總函數(shù)。用微分法對總函數(shù)求導(dǎo)數(shù)可得邊際成本、邊際收益等；已知邊際成本，邊際收益等邊際函數(shù)，用積分法對邊際函數(shù)積分可得總成本、總收益等。（1）用不定積分表示總函數(shù) ，用（固定成本）

27、確定積常數(shù)C，則 ，用定積分常數(shù)C。（2）用定積分表示總函數(shù) （表示固定成本）， （3）由個單位變化到個單位，總成本的改變量、總收益的改變量分別為 .【例7】設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為10，而產(chǎn)量為時的邊際成本函數(shù)為，邊際收入函數(shù)為。試求：（1）總利潤函數(shù)；（2）使總利潤最大的產(chǎn)量?！驹斀狻浚?）由題意，。對第一式積分，得，因為固定成本為10，即，代入上式，定出，故得總成本函數(shù)為 .對第二式積分，得因為，代入上式，定出。故得總收入函數(shù)為最后得總利潤函數(shù).（2）.令，解得駐點。由于，表明為的極小值，舍去。由于，表明為的極大值，即最大值。故當產(chǎn)量為2時總利潤最大。第八章 常微分方程常微分方程是高等數(shù)

28、學(xué)中理論性和應(yīng)用性都較強的一部分，是描述客觀規(guī)律的一種重要方法，是處理物理、力學(xué)、幾何等應(yīng)用問題的一個重要工具，微分和積分的知識是研究微分方程的基礎(chǔ)。微分方程作為考試的重點內(nèi)容，每年研究生考試均會考到。特別是微分方程的應(yīng)用問題，既是重點，也是難點，在復(fù)習(xí)時必須有所突破。【大綱內(nèi)容】常微分方程的基本概念；變量可分離的方程；齊次方程；一階線性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用簡單的變量代換求解的某些微分方程；可降階的高階微分方程；線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；二階常系數(shù)齊次線性微分方程；高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程；簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；歐拉（Eu

29、ler）方程；微分方程的簡單應(yīng)用?！敬缶V要求】要理解微分方程的有關(guān)概念，如階、解、通解、特解、定解條件等，掌握幾類方程的解法：如變量可分離方程，齊次方程，一階線性微分方程，伯努利方程，可降階方程等。理解線性微分方程解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)，掌握求解常系數(shù)齊次線性方程的方法，掌握求解某些自由項的常系數(shù)非齊次線性方程的待定系數(shù)法。了解歐拉方程的概念，會求簡單的歐拉方程。會用微分方程處理物理、力學(xué)、幾何中的簡單問題?！究键c分析】本章包括三個重點內(nèi)容：1常見的一階、二階微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判斷方程為哪種類型，并記住解法的推導(dǎo)過程。2微分方程的應(yīng)用問題，這是一個難點，也是重點。利用微分

30、方程解決實際問題時，若是幾何問題，要根據(jù)問題的幾何特性建立微分方程。若是物理問題，要根據(jù)某些物理定律建立微分方程，也有些問題要利用微元法建立微分方程。3數(shù)學(xué)三要求掌握一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法，了解差分與差分方程及其通解與特解等概念，會用差分方程求解簡單的經(jīng)濟應(yīng)用問題。【考點八十三】形如的一階微分方程稱為變量可分離微分方程。可分離變量的微分方程的解題程序： 當，然后左、右兩端積分上式即為變量可分離微分方程的通解。其中，C為任意常數(shù)，的一個原函數(shù)，表示函數(shù)的一個原函數(shù).【例1】若連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式，則等于（ ）（A）（B）（C）（D）【詳解】對所給關(guān)系式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得，且有初始條件. 于

31、是，積分得，故 令應(yīng)選（B）?！纠?】已知曲線處的切線斜率為則.【詳解】 將【例3】一個半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積S成正比，比例常數(shù)。假設(shè)在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為的雪堆在開始融化的3小時內(nèi)，融化了其體積的，問雪堆全部融化需要多少小時？【詳解】半徑為的球體體積為，表面積為，而雪堆為半球體狀，故設(shè)雪堆在時刻的底面半徑為r，于是雪堆在時刻的體積，側(cè)面積。其中體積，半徑與側(cè)面積S均為時間的函數(shù)。由題意，有. 。即， ，又時，, ，即 .而，即 .，。當雪堆全部融化時，令 ，得（小時）。【例4】在某一人群中推廣新技術(shù)是通過其中已掌握新技術(shù)的人進行的，設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)

32、為，在時刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為，在任意時刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為（將視為連續(xù)可微變量），其變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比，比例系數(shù)，求?！驹斀狻渴紫纫鶕?jù)題中所給條件，建立的微分方程。由于題中條件很明確，即：的變化率與成正比，容易得出的微分方程，再求出特解即得。由已知得 , 分離變量，得 .積分得即 , . , 又 代入得 ，故 ?！纠?】設(shè)單位質(zhì)點在水平面內(nèi)作直線運動，初速度。已知阻力與速度成正比（比例常數(shù)為1），問t為多少時此質(zhì)點的速度為？并求到此時刻該質(zhì)點所經(jīng)過的路程?！驹斀狻吭O(shè)質(zhì)點的運動速度為。由題設(shè)和牛頓第二定律，有。積分解得，得。到此時刻該質(zhì)點所經(jīng)過的路程【考點

33、八十四】形如的微分方程稱為齊次方程。其解法是固定的：令，則，代入得 .分離變量，得 。兩端積分，得，求出積分后，將換成，即得齊次方程的通解。【例6】設(shè)函數(shù)在上連續(xù)。若由曲線，直線與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為 試求所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件的解?！驹斀狻坑尚D(zhuǎn)體體積計算公式得于是，依題意得 .兩邊對t求導(dǎo)得 將上式改寫為 ，即 令，則有 當時，由. 兩邊積分得.從而方程的通解為為任意常數(shù)）。由已知條件，求得從而所求的解為 或【例7】求微分方程的通解.【詳解】將微分方程進行恒等變形，化為 設(shè)，有，則 .積分得 【考點八十五】1. 形如的微分方程稱為一階線性非

34、齊次微分方程，其通解公式為： .【評注】由于一階微分方程的通解只包含一個任意常數(shù)c,因此通解公式中的積分，只表示其中一個任意的原函數(shù)，不含任意常數(shù)c。2. 求通解可以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推導(dǎo)公式的方法求解。3. 通解公式的記憶方法：一階線性非齊次微分方程等價于即兩邊積分得即 【例8】設(shè)為連續(xù)函數(shù)，（1）求初值問題的解，其中是正常數(shù)；（2）若（為常數(shù)）。證明：當時，有【詳解】原方程的通解為由于在本題中未給出函數(shù)的具體表達式，在上式中想利用初始條件來確定常數(shù)C很困難。而通解中的式子實為的一個原函數(shù)，因此改寫為，于是通解為。令，由，得即.故所求的解是。（2）由題設(shè)及知，當時， 【例

35、9】設(shè)F(x)=f(x)g(x), 其中函數(shù)f(x),g(x)在內(nèi)滿足以下條件：，且f(0)=0, (1) 求F(x)所滿足的一階微分方程；(2) 求出F(x)的表達式.【分析】 F(x)所滿足的微分方程自然應(yīng)含有其導(dǎo)函數(shù)，提示應(yīng)先對F(x)求導(dǎo)，并將其余部分轉(zhuǎn)化為用F(x)表示，導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程，然后再求解相應(yīng)的微分方程.【詳解】 (1) 由 = =(2-2F(x),可見F(x)所滿足的一階微分方程為 (2) =將F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=-1.于是 【例10】f (u , v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足.求所滿足的一階微分方程，并求其通解.【分析】本題綜合了復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)

36、數(shù)與微分方程。先求，利用已知關(guān)系，可得到關(guān)于y的一階微分方程.【詳解】因為，所以，所求的一階微分方程為.解得 (C為任意常數(shù)).【例11】設(shè)連續(xù)，求解方程 .【詳解】因為原方程中，均可導(dǎo)，故可導(dǎo)。對方程兩邊同時求導(dǎo)，將積分方程轉(zhuǎn)化為微分方程： ，即 .根據(jù)一階線性微分方程通解公式，得又 , 當時， .代入得 . 【例12】過點且滿足關(guān)系式的曲線方程為.【詳解】方程化為設(shè) 于是 通解由【例13】求微分方程，使得由曲線軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小。【詳解】題設(shè)方程可化為利用求解公式，得通解旋轉(zhuǎn)體體積由解得由于故為惟一極小值點，也是最小值點，于是得【考點八十六】可降階的高階微分方程

37、：1.大綱要求：會用降階法解下列高階微分方程：； （缺）； （缺）。2方程：直接求次積分，即可求解。3方程：這類方程的特點是不顯含未知函數(shù)。令，則化為關(guān)于的一階微分方程，然后再用解一階微分方程的解法解之。4方程：這類方程的特點是不顯含自變量。令，則 .因而原方程化為關(guān)于的一階微分方程： .【例14】微分方程的通解為_?！驹斀狻吭O(shè)，則 .方程化為 。分離變量，得 。兩端積分，得，即， .積分得 . 因此應(yīng)填 .【例15】設(shè)對任意，曲線上點處的切線在軸上的截距等于，求的一般表達式。【詳解】曲線在點處的切線為。令，得切線在軸上的截距為。由已知 ，即。兩端對求導(dǎo)，得 。令，則。代入得，分離變量，得 。

38、 即 。積分得?！纠?6】函數(shù)且滿足等式（1）求導(dǎo)數(shù)；（2）證明：當【詳解】（1）原方程兩邊乘后再求導(dǎo)，得設(shè)則方程化為，故 ，.由及，知，從而，故.（2）對兩端積分，得，即 當于是，所以 【考點八十七】二階常系數(shù)齊次線性微分方程:1標準形式：，均為常數(shù)。2通解公式：特征方程為；若特征方程有互異實根，則通解為；若特征方程有相等實根，則通解為；若特征根為共軛復(fù)根（為常數(shù)，），則通解為【例17】求下列微分方程的特解：，當時，。【詳解】對應(yīng)的特征方程為 ，有二重特征實根. 所以微分方程的通解為。求導(dǎo)得 .由已知，當時，。代入得， 即 ，故所求特解為。【例18】設(shè)（為任意常數(shù)）為某二階常系數(shù)線性齊次微分

39、方程的通解，則該方程為_?！驹斀狻吭O(shè)所求二階常系數(shù)線性齊次微分方程為。由所給的通解形式知，故特征方程有共軛復(fù)根特征方程為，即.對比知，所求微分方程為方程為：.【考點八十八】二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：1大綱要求：會解自由項為多項式，指數(shù)、函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。2二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式是：，其中為常數(shù)，若特解為，對應(yīng)的齊次微分方程的通解為，則原方程的通解為。3求二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的待定系數(shù)法：設(shè)，其中是次多項式，設(shè)特解，其中也是次多項式，當不是的單特征根時，；當是的重特征根時，再設(shè)，將代入微分方程，兩端比較同次冪系數(shù)

40、，就可求出符定系數(shù)。設(shè)其特解為其中，而按 （或）不是特征方程的根據(jù)或是特征方程的單根依次取0或1。4求二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的常數(shù)變易法：設(shè)，且對應(yīng)齊欠微分方程的通解為，其中為任意常數(shù)。將換成函數(shù)，保持不變，即令是的通解，其中是待定系數(shù)。函數(shù)的求法如下：先求方程組解出與，再積分就可得出與代入得就是原方程的通解。【例19】設(shè)函數(shù)滿足，且，求【詳解】，。，齊次方程的特征方程為齊次方程的通解為.設(shè)特解，代入得 ， .原非齊次方程的通解為 .代入初始條件，得， .故 .【例20】求微分方程的通解。【詳解】對應(yīng)齊次方程為，其特征方程為。對應(yīng)齊次方程的通解為。設(shè)非齊次方程的特解為，代入得。因此。又非

41、齊次方程的特解設(shè)為，代入方程得，因此 。故原方程的通解為?！纠?1】設(shè)函數(shù)滿足微分方程，且其圖形在點處的切線與曲線在該點的切線重合，求函數(shù)?！驹斀狻刻卣鞣匠虨?，特征根為。因此對應(yīng)齊次方程的通解為.設(shè)原方程的特解為，代入原方程，解得。原方程的通解為。又在點處與曲線有公共切線，而，.代入通解中，得 .故所求函數(shù)為.【考點八十九】（只數(shù)學(xué)一要求掌握） 1伯努利（Bernoulli）方程（1）概念 形如的一階微分方程稱為伯努利方程，當n=0時，是一階線性非齊次微分方程；當n=1時，是一階線性齊次微分方程。（2） 解法 當時，引進新的未知函數(shù)則伯努利方程變?yōu)檫@是關(guān)于未知函數(shù)的一個一階線性微分方程，然后用

42、一階線性微分方程的解法解之，解出后，再用代回，即可得伯努利方程的通解。2. 全微分方程若存在可微函數(shù)則稱一階微分方程為全微分方程。是全微分方程的通解，其中C是任意常數(shù)。一般地，當就是全微分方程，這時，只要求出了全微分式的一個原函數(shù)也就得到了此方程的通解。而利用對坐標的曲線積分，可求出3. 歐拉(Euler)方程形如 的微分方程稱為n階歐拉方程，其中是常數(shù)。作變換因此歐拉方程變?yōu)?這是一個以t為自變量，y為未知函數(shù)的n階線性常系數(shù)微分方程，然后再用解n階線性常系數(shù)微分方程的解法解之?！纠?2】解方程?！驹斀狻啃稳?的方程稱為伯努利方程，其解法是固定的，方程兩端同時除以，令，即令，則, 即 .原方

43、程化為, 即.從而化為一階線性非齊次微分方程。下面套用上述固定解法用同時除以方程兩端，得 .令，則, .即, 故 通解為。【例23】設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且為一全微分方程，求及此全微分方程的通解。【詳解】（1）由全微分方程的充要條件知即 （1）此方程的齊次方程的通解為非齊次方程（1）的特解形式為代入方程（1）中可知 故方程（1）的通解為由，求得，從而得 .（2）將表達式代入原方程中，得因為 所以原方程的通解為【考點九十】差分方程數(shù)學(xué)三要求掌握一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法，了解差分與差分方程及其通解與特解等概念，會用差分方程求解簡單的經(jīng)濟應(yīng)用問題?？紤]到很多理工類學(xué)生跨專業(yè)考數(shù)學(xué)三，這里一并列

44、出。1 謂“差分”：假設(shè)函數(shù)經(jīng)過定義域上的點，那么便為兩點的差分（嚴格說是一階差分）?？梢钥闯觯罘值臉O限便是的導(dǎo)數(shù)。若對再求差分，則稱為二階差分。其實差分的概念被廣泛運用：Lagrange中值定理所描述的就是函數(shù)在一個區(qū)間上的差分等于這區(qū)間中的一點的導(dǎo)數(shù)；對于等差數(shù)列，就是數(shù)列的公差；對于某些商品，差分就是單價。牛頓的成功乃是因為他創(chuàng)立了微積分將差分變?yōu)榱藢?dǎo)數(shù)！2 函數(shù) 函數(shù)在t時刻的一階差分定義為： 。3. 形如的差分方程稱為一階常系數(shù)線性差分方程，其中為已知函數(shù)，a為非零常數(shù)。則對應(yīng)的齊次差分方程的通解為： 。（1）若 ，且，則原方程的特解為： 為待定系數(shù)； 若，則 。（2） 若，則當時

45、，原方程的特解為：；當a+d=0時 ，則 ?！纠?4】差分方程的通解為?！驹斀狻繎?yīng)填. 對應(yīng)齊次方程的通解為C (C為任意常數(shù))。非齊次方程的特解形式為，則，代入原方程得 . 所以 故特解為，通解為 。【例25】差分方程的通解為。【詳解】化原方程為標準形式：，齊次方程的通解為. 設(shè)非齊次方程的特解形式為 .代入方程中，得 ，化簡得 ， 所以 ，故所求通解為.第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，是一種研究和表示函數(shù)的重要方法，是數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三的考試重點。第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)【大綱內(nèi)容】常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念；收斂級數(shù)的和的概念；級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件；幾何級數(shù)與級數(shù)以及

46、它們的收斂性；正項級數(shù)的比較審斂法、比值審斂法、根值審斂法；交錯級數(shù)與萊布尼茨定理；任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂.【大綱要求】1. 了解級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和的概念. 2掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及級數(shù)收斂的必要條件.掌握幾何級數(shù)及p級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件.掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法. 3了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與收斂的關(guān)系.掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法.【考點分析】常數(shù)項級數(shù)的考研題型主要是選擇題和證明題，其中選擇題的解答需綜合應(yīng)用常數(shù)項級數(shù)的知識，而證明題的難度一般較大。【復(fù)習(xí)要點】一、無窮級數(shù)的概念定義1. 已知數(shù)列：，那么表

47、達式 稱為無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)。這里稱為級數(shù)的一般項。 級數(shù)的前n項的和，稱為級數(shù) 的部分和。定義2. 若級數(shù)的部分和數(shù)列有極限，即 存在，則稱級數(shù)收斂，并稱s為級數(shù)的和。記為.若沒有極限（即不存在），則稱級數(shù)發(fā)散。二、正項級數(shù)斂散性的判別法若級數(shù)滿足，則稱級數(shù)為正項級數(shù)。定理 1. 設(shè)為正項級數(shù)，則收斂的充分必要條件是其部分和數(shù)列有上界。 2比較判別法 （1）比較判別法 設(shè)，那么，若收斂，則 也收斂；當發(fā)散時，則也發(fā)散。設(shè)存在常數(shù)，使得。那么若收斂，則也收斂，若發(fā)散，則也發(fā)散。 （2）比較判別法的極限形式 設(shè)與均為正常級數(shù)，那么，若則與同時收 斂或同時發(fā)散；當時，若收斂，則收斂；若發(fā)散，則發(fā)散

48、；當時，若收斂，則收斂；若發(fā)散，則發(fā)散?！境Ｓ糜诒容^的級數(shù)】 （1）幾何級數(shù)當時，級數(shù)收斂且；當時，級數(shù)發(fā)散。 （2）p-級數(shù)當p>1時，級數(shù)收斂；當時，級數(shù)發(fā)散。 （3）調(diào)和級數(shù)發(fā)散。3比值判別法 設(shè)，且，那么，若，則級數(shù) 收斂；若，則級數(shù)發(fā)散；若，則該法失效。 4根值（柯西）判法 設(shè)，且，那么，若，則級數(shù) 收斂；若，則級數(shù)發(fā)散；若，則該法失效?！驹u注】比值與根值判別法中的條件都是充分但非必要條件。凡涉及級數(shù)命題有關(guān)論證，不能用比值或根值判別法，只能用比較判別法。三、任意項級數(shù)的斂散性判別1 萊布尼茨判別法交錯級數(shù)收斂的充分條件若交錯級數(shù)滿足條件（1），（2），則交錯級數(shù)收斂，且和。

49、2絕對收斂與條件收斂設(shè)為任意項級數(shù)。定義3. 若級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；若級數(shù) 收斂，而級數(shù)發(fā)散，則稱條件收斂。 定理2. 若收斂，則必收斂【評注】若發(fā)散，且此結(jié)論是由比值判別法得出的，則 發(fā)散；若發(fā)散，且結(jié)論不是由比值判別法得出的，則應(yīng)直接考慮的斂散性（這時，級數(shù)有可能為條件收斂）。【考點九十一】判別正項級數(shù)的斂散性，可綜合使用正項級數(shù)的各種判別方法，但主要用正項級數(shù)的比較判別法進行判別，也可用級數(shù)收斂的定義進行判別。同時，在解答關(guān)于級數(shù)的選擇題時，常用利用級數(shù)收斂的性質(zhì)加以判別。 無窮級數(shù)具有以下基本性質(zhì)： （1）若，則 【評注】若收斂，發(fā)散，則發(fā)散； 若與均發(fā)散，則的斂散性不能確定。

50、（2）級數(shù)（為非零常數(shù)）與有相同的斂散性，且當時，有。（3）級數(shù)增加或去掉有限項，不改變級數(shù)的斂散性。（4）收斂級數(shù)的項間可以任意括號，所得新級數(shù)仍然收斂，且收斂于原級數(shù)的和?！驹u注】若加括號所得新級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)必發(fā)散；若加括號所得新級數(shù)收斂，則原級數(shù)的斂散性不能確定。（5）級數(shù)收斂的必要條件 若級數(shù)收斂，則必有。 【評注】這一級數(shù)收斂的必要條件，常用于判別級數(shù)的發(fā)散，即時，則級數(shù)必發(fā)散；這用于驗證（或求）極限值為“0”的極限?！纠?】判別下列正項級數(shù)的斂散性：（1）設(shè)， （2）設(shè)，（3），其中是單調(diào)遞增而且有界的正項數(shù)列?！纠?】設(shè)（1）求的值。（2）證：對任意的常數(shù)，級數(shù)收斂?！纠?】

51、設(shè)正項數(shù)列單調(diào)減少且發(fā)散，問級數(shù)是否收斂？并說明理由?！纠?】下列命題中正確的是（ ）.(A) 設(shè)正項級數(shù)發(fā)散，則(B) 設(shè)收斂，則收斂. (C)設(shè) ，至少一個發(fā)散，則發(fā)散（D）設(shè)收斂，則，均收斂.【例5】設(shè)=在0，1上收斂，證明：收斂?！纠?】設(shè)有方程，其中n為正整數(shù)，證明此方程存在唯一正實根，并證明P>3時，級數(shù)收斂?！究键c九十二】涉及交錯級數(shù)和任意項級數(shù)的單項選擇題, 一般應(yīng)先判定級數(shù)是否絕對收斂, 轉(zhuǎn)化為正項級數(shù)問題。這就要應(yīng)用正項級數(shù)的有關(guān)審斂法，特別是正項級數(shù)的涉及交錯級數(shù)和任意項級數(shù)的單項選擇題。這種題型一般應(yīng)先判定級數(shù)是否絕對收斂。這就要應(yīng)用正項級數(shù)的有關(guān)審斂法。在比較審斂法中特別要重視它的極限形式，即：若具有相同的斂散性?！纠?】設(shè)，且,則級數(shù)（ ）（A）發(fā)散（B）絕對收斂（C）條件收斂（D）收斂性不能確定【例8】設(shè)正項級數(shù)收斂，則（ ）. （A）條件收斂 (B)絕對收斂 (C)發(fā)散 (D)不能確定斂散性第二節(jié) 冪級數(shù)【大綱內(nèi)容】函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念；冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間