函數(shù)與導(dǎo)數(shù)教師版

1、函數(shù)的圖像和性質(zhì)重要知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的三要素：定義域（分母不能為0；偶次根號(hào)下的式子不小于0；對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1；a0中a不等于0；正切函數(shù)定義域；注意實(shí)際問題中變量的范圍等）；函數(shù)的最值（值域）的方法：單調(diào)性法，換元法（配方法），導(dǎo)數(shù)法，基本不等式法，數(shù)形結(jié)合法；對(duì)應(yīng)法則：求解析式的主要方法為代入法，換元法，待定系數(shù)法分段函數(shù)和抽象函數(shù)：（1）分段函數(shù)的值，解分段型函數(shù)的不等式，絕對(duì)值不等式；（2）抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和函數(shù)圖像的對(duì)稱性單調(diào)性：奇偶性：周期性：函數(shù)圖像的對(duì)稱性：典型例題：函數(shù)的定義域 函數(shù)的定義域?yàn)?【解析】根據(jù)二次根式和對(duì)數(shù)函數(shù)有意義的條件，得。

2、最值（值域）1. 在平面直角坐標(biāo)系中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，則線段PQ長的最小值是_.答案：4.解析：設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的直線與函數(shù)的交點(diǎn)為，則.本題主要考查冪函數(shù)，函數(shù)圖象與性質(zhì)，函數(shù)與方程，函數(shù)模型及其應(yīng)用,兩點(diǎn)間距離公式以及基本不等式，中檔題.2. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P是函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在P處的切線交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作的垂線交y軸于點(diǎn)N，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，則t的最大值是_答案：解析：設(shè)則，過點(diǎn)P作的垂線，所以，t在上單調(diào)增，在單調(diào)減，.3. 設(shè)函數(shù)，則的值域是（）， 【解】解得，則或因此的解為：于是當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，又當(dāng)和時(shí)，所以由以上，

3、可得或，因此的值域是故選4. 若平面向量滿足：；則的最小值是【解析】的最小值是解法二、令由已知得，而所以有，即的最小值為5. 已知兩條直線 ：y=m 和： y=(m0)，與函數(shù)的圖像從左至右相交于點(diǎn)A，B ，與函數(shù)的圖像從左至右相交于C,D .記線段AC和BD在X軸上的投影長度分別為a ,b ,當(dāng)m 變化時(shí)，的最小值為A B. C. D. 【答案】B【解析】在同一坐標(biāo)系中作出y=m，y=(m0)，圖像如下圖，由= m，得，= ，得.依照題意得.，.【點(diǎn)評(píng)】在同一坐標(biāo)系中作出y=m，y=(m0)，圖像，結(jié)合圖像可解得.解法二、由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和運(yùn)算確定A與B,C與D的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，再建立與A

4、，B，C，D的橫坐標(biāo)的關(guān)系，利用基本不等式求解最小值。由條件可知，同理可得，設(shè)則，設(shè)則，則， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，故6. 在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最大值是 解析：圓C的方程可化為：，圓C的圓心為，半徑為1。由題意，直線上至少存在一點(diǎn)，以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)；存在，使得成立，即。即為點(diǎn)到直線的距離，解得。的最大值是。解法二、本題考查用幾何方法判定兩圓的位置關(guān)系解題突破口為設(shè)出圓的圓心坐標(biāo)圓C方程可化為(x4)2y21，設(shè)直線上一點(diǎn)坐標(biāo)為(x，kx2)，因?yàn)閮蓚€(gè)圓有公共點(diǎn)，故2，整理得(k2

5、1)x2(84k)x160，此不等式有解的條件是(84k)264(k21)0，解之得0k，故最大值為.分段函數(shù)與抽象函數(shù)設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上，其中若，則的值為 【解析】是定義在上且周期為2的函數(shù)，即。 又，。聯(lián)立，解得，。2.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.【解析】單調(diào)遞減且值域?yàn)?0,1，單調(diào)遞增且值域?yàn)椋袃蓚€(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0,1）。3.已知函數(shù)f(x)，若f(a)f(1)0，則實(shí)數(shù)a的值等于A3 B1 C1 D3A4. 已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，若，則a的值為_答案：解析： .，不符合； .本題主要考查函數(shù)概念，函數(shù)與方程,函

6、數(shù)模型及其應(yīng)用,含參的分類討論，中檔題.5.設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是A，2 B0，2 C1，+ D0，+D6. 設(shè)函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）【解】若，則，即，所以，若則，即，所以，。所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或，即故選C7. 8. 9.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+6）=f（x），當(dāng)-3x-1時(shí)，f（x）=-（x+2）2，當(dāng)-1x3時(shí)，f（x）=x。則f（1）+f（2）+f（3）+f（2012）=（A）335（B）338（C）1678（D）2012解析：，而函數(shù)的周期為6，.答案應(yīng)選B10.設(shè)函數(shù)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是 A+|g(x)|是偶函數(shù)

7、B-|g(x)|是奇函數(shù)C| +g(x)是偶函數(shù) D|- g(x)是奇函數(shù)解析:因?yàn)?g(x)是R上的奇函數(shù),所以|g(x)|是R上的偶函數(shù),從而+|g(x)|是偶函數(shù),故選A.11.設(shè)是R上的任意實(shí)值函數(shù)如下定義兩個(gè)函數(shù)和；對(duì)任意,；則下列等式恒成立的是（ ）ABCD B12.設(shè)函數(shù)（R）滿足，則函數(shù)的圖像是 （ ）【分析】根據(jù)題意，確定函數(shù)的性質(zhì)，再判斷哪一個(gè)圖像具有這些性質(zhì)【解】選B 由得是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可知B，D符合；由得是周期為2的周期函數(shù)，選項(xiàng)D的圖像的最小正周期是4，不符合，選項(xiàng)B的圖像的最小正周期是2，符合，故選B13.函數(shù)在上有定義，若對(duì)任意，有，則稱在上

8、具有性質(zhì)。設(shè)在1,3上具有性質(zhì)，現(xiàn)給出如下命題：在上的圖像時(shí)連續(xù)不斷的；在上具有性質(zhì)；若在處取得最大值1，則，；對(duì)任意，有。其中真命題的序號(hào)是（ ）A B C D解答：A中，反例：如圖所示的函數(shù)的是滿足性質(zhì)的，但不是連續(xù)不斷的。B中，反例：在上具有性質(zhì)，在上不具有性質(zhì)。C中，在上，所以，對(duì)于任意。D中，。 函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性的判斷（定義法（基本定義、導(dǎo)數(shù)）、運(yùn)算法、奇偶性、復(fù)合函數(shù)、圖像對(duì)稱性、圖像法）；單調(diào)性應(yīng)用的范圍及注意點(diǎn)（求值域及最值、比較大小，解抽象函數(shù)不等式等；注意單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集）奇偶性：主要考查數(shù)值的關(guān)系及圖像的對(duì)稱關(guān)系（一些常見函數(shù)的奇偶性要牢記）周期

9、性：簡單的周期判斷及利用周期性求值，三角函數(shù)的周期圖像的對(duì)稱性：軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的結(jié)論典型例題：函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用1.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)則f(2009)的值為()A1B0 C1 D2C2.設(shè)yf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于函數(shù)yf(x)的判斷：yf(x)是周期函數(shù)；yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱；yf(x)在0,1上是增函數(shù)；f0.其中正確判斷的序號(hào)是_(把你認(rèn)為正確判斷的序號(hào)都填上)3.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8D4.在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，對(duì)任

10、意給定的a，bR，a*b為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：(1)對(duì)任意a，bR，a*bb*a；(2)對(duì)任意aR，a*0a；(3)對(duì)任意a，bR，(a*b)*cc*(ab)(a*c)(c*b)2c.關(guān)于函數(shù)f(x)(3x)*的性質(zhì)，有如下說法：函數(shù)f(x)的最小值為3；函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.其中所有正確說法的個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D3解析：f(x)f(x)*0*00*（3x×）(3x)*0)2×03x×3x3x1.當(dāng)x1時(shí)，f(x)<0，故錯(cuò)誤；因?yàn)閒(x)3x1f(x)，所以錯(cuò)誤；令f(x)3>0，得x>，或x&l

11、t;，因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，即正確答案：B5.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，|a|2上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是_解析：當(dāng)x<0時(shí)，x>0，f(x)(x)22(x)x22x，又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)x22x，x<0時(shí)，f(x)x22x，m2，即f(x)其圖象為由圖象可知，f(x)在1,1上單調(diào)遞增，要使f(x)在1，|a|2上單調(diào)遞增，只需設(shè)g(x)是6.定義在R上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)f(x)xg(x)在區(qū)間3,4上的值域?yàn)?,5，則f(x)在區(qū)間10,10上的值域?yàn)開解析：令f(x)分別在x1，x2(x1，x23,4)處取得

12、最大、最小值，即f(x1)x1g(x1)5，f(x2)x2g(x2)2，因?yàn)閥x為增函數(shù)，yg(x)的周期為1，故f(x16)是f(x)在9,10上的最大值，此即為f(x)在10,10上的最大值f(x213)是f(x)在10，9上的最小值，此即為f(x)在10,10上的最小值f(x16)x16g(x16)x1g(x1)611.f(x213)x213g(x213)x2g(x2)1315.故值域?yàn)?5,11答案：15,11解得3a<1或1<a3.答案：3，1)(1,3函數(shù)的圖像及其變換：圖像辨析（定義域、奇偶性，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，單調(diào)性綜合）；圖像的變換（平移、翻折、伸縮）；利用數(shù)形結(jié)合解

13、題典型例題：1. 函數(shù)的圖象大致為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，故可排除，又當(dāng)時(shí)，恒成立，所以只需研究的值，當(dāng)時(shí)，的值為正，值也為正，故可排除，而且已知的值不可能在某一個(gè)自變量之后恒為正，故可排除，故選2.A.f(x1)的圖象 Bf(x)的圖象Cf(|x|)的圖象 D|f(x)|的圖象D3. 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .函數(shù)的圖像直線恒過定點(diǎn)，且，由圖像可知.函數(shù)與方程：實(shí)際問題建立模型構(gòu)造函數(shù)解決；方程根的求解（或說函數(shù)的零點(diǎn)求法）：(1)代數(shù)法：求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根；(2)幾何法：對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來，利

14、用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)；零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使f(c)0.特別地：(1)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，那么當(dāng)f(a)·f(b)<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，即存在唯一的c(a，b)，使f(c)0；(2)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，那么當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)不一定有f(a)·f(b)

15、<0，也可能有f(a)·f(b)>0.例如函數(shù)f(x)x35x26x在區(qū)間1,4上有零點(diǎn)2和3，卻有f(1)·f(4)>0.二分法的認(rèn)識(shí)典型例題 ：1.已知函數(shù)f(x)ax2bx1(a，bR且a>0)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則ab的取值范圍為()A(1，) B(，1)C(，1) D(1,1)解析：依題意得f(1)f(2)<0(ab1)(4a2b1)<0，即或(不合題意，舍去)，滿足不等式組的區(qū)域如圖陰影部分所示(不包括邊界)令zab，即baz.當(dāng)它經(jīng)過兩直線的交點(diǎn)A(0,1)時(shí)，z取得最大值，即zmax1，即z1.又不

16、等式組的區(qū)域不包括邊界，所以z>1.也就是ab>1，故選A.2.已知函數(shù)的值域?yàn)?，若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)c的值為 解法一：，由值域?yàn)椋?dāng)時(shí)有， 所以解法二：由值域?yàn)?，?dāng)時(shí)有，即， 。解得，。不等式的解集為，解得。3.已知函數(shù)=當(dāng)2a3b4時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn) .解析：根據(jù)，而函數(shù)在上連續(xù)，單調(diào)遞增，故函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故。答案應(yīng)填：2.4.設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上是連續(xù)的，且f(a)·f(b)<0，取x0， 若f(a)·f(x0)<0，則利用二分法求方程根時(shí)取有根區(qū)間為()A(a，b) B(a，x0)C(x0，b) D不能確定解析：利

17、用二分法求方程根時(shí)，根據(jù)求方程的近似解的一般步驟，由于f(a)·f(x0)<0，則取其對(duì)應(yīng)的端點(diǎn)(a，x0)為新的區(qū)間答案：B5.對(duì)于實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“”：，設(shè)，且關(guān)于的方程為恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_。解答：由題可得， 可得，而為方程的小根，解得，從而，令，令，解得，且，所以在上遞減所以時(shí)，所以。令，在時(shí)遞減，所以解法二、由題可得， 如圖所示，關(guān)于的方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)根，即函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則,不妨設(shè)從左到右的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由，得，導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義在求曲線的切線中的作用；導(dǎo)數(shù)運(yùn)算（注意除法和簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）；利用

18、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（注意含參數(shù)不等式的解法及已知單調(diào)性求參數(shù)時(shí)應(yīng)該是遞增恒成立，遞減恒成立）；利用導(dǎo)數(shù)求極值和最值尤其求最值要靈活；構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式及求方程根的情況要把握住方法；要記住求解定積分的三種方法。典型例題：1.曲線ye2x1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y0和yx圍成的三角形的面積為()A.B. C. D1解析：y2e2x，y|x02，在點(diǎn)(0,2)處的切線為：y22x，即2xy20由得，A，SABO·.答案：A2(遼寧)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(1)2，對(duì)任意xR，f(x)>2，則f(x)>2x4的解集為()A(1,1) B(1，) C(，1)

19、D(，)解析：f(x)>2x4，即f(x)2x4>0.構(gòu)造F(x)f(x)2x4，F(xiàn)(x)f(x)2>0.F(x)在R上為增函數(shù)，而F(1)f(1)2x(1)40.x(1，)，F(xiàn)(x)>F(1)，x>1.答案：B3設(shè)a(sinxcosx)dx，則(a)6的二項(xiàng)展開式中含x2的系數(shù)是()A192 B192 C96 D96解析：因?yàn)閍(sinxcosx)dx(cosxsinx)(cossin)(cos0sin0)2，所以(a)66，則可知其通項(xiàng)Tr1(1)rC26rx(1)rC26rx3r，令3r2r1，所以展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是(1)rC26r(1)1C26119

20、2，故答案選B.4.已知函數(shù)f(x)x3x2x，則f(a2)與f(4)的大小關(guān)系為()Af(a2)f(4) Bf(a2)<f(4) Cf(a2)f(4) Df(a2)與f(4)的大小關(guān)系不確定解析：f(x)x3x2x，f(x)x22x.由f(x)(3x7)(x1)0得x1或x.當(dāng)x<1時(shí)，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)1<x<時(shí)，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x>時(shí)，f(x)為增函數(shù)，計(jì)算可得f(1)f(4)2，又a20，由圖象可知f(a2)f(4)答案：A5已知函數(shù)f(x)x3bx23x1(bR)在xx1和xx2(x1>x2)處都取得極值，且x1x22，則下列說法正確的是()

21、Af(x)在xx1處取極小值，在xx2處取極小值Bf(x)在xx1處取極小值，在xx2處取極大值Cf(x)在xx1處取極大值，在xx2處取極小值Df(x)在xx1處取極大值，在xx2處取極大值解析：因?yàn)閒(x)x3bx23x1，所以f(x)3x22bx3，由題意可知f(x1)0，f(x2)0，即x1，x2為方程3x22bx30的兩根，所以x1x2，由x1x22，得b0.從而f(x)x33x1，f(x)3x233(x1)(x1)，由于x1>x2，所以x11，x21，當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)>0，所以f(x)在x11處取極小值，極小值為f(1)1，在x21處取極大值，極大值為f(1)3

22、.答案：B6對(duì)任意x1，x2(0，)，x2>x1，y1，y2，則()Ay1y2 By1>y2 Cy1<y2 Dy1，y2的大小關(guān)系不能確定解析：設(shè)f(x)，則f(x).當(dāng)x(0，)時(shí)，xtanx<0，故f(x)<0，所以f(x)在(0，)上是減函數(shù)，故由x2>x1得y2<y1.答案：B7.設(shè)拋物線與拋物線在它們的一個(gè)交點(diǎn)處的切線互相垂直。（1） 求、之間的關(guān)系；（2）若0，0，求的最大值。解：1）設(shè)兩拋物線的交點(diǎn)為，則由題意得： 即： 又由導(dǎo)數(shù)可得：在點(diǎn)處的切線斜率為：， ，由已知：，即：即： 聯(lián)立，消去，得。2）由1）可知，又 =，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，。8.已知函數(shù)。（1）要使在（0，1）上單調(diào)遞增，試求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)滿足，試求函數(shù)的解析式；（3）若時(shí)，圖象上任意一點(diǎn)處的切線傾斜角為，求當(dāng)