實變函數專升本合集

1、華中師范大學 2006 2007 學年第一學期期末考試試卷（A卷）（解答）課程名稱 實變函數 課程編號 83410014 任課教師 李工寶、何穗、劉敏思 題型判斷題敘述題計算題解答題總分分分得分評閱人一、判斷題（判斷正確、錯誤，請在括號中填“對”或“錯”。 共5小題，每題3分，共5×3=15分）1、可數個可數集的并集是可數集。 （ 對 ）2、可測集上的非負可測函數必Lebesgue可積。 （ 錯 ）3、上全體Lebesgue可測集所組成的集類M具有連續(xù)勢。 （ 錯 ）4、非空開集的Lebesgue測度必大于零。 （ 對 ） 5、若（，）和都為可測集上的可測函

2、數，且，于，則，。 （ 錯 ） 得分評閱人二、敘述題 (共5小題 , 每題3分，共5×3 =15分)1、單調收斂定理（即Levi定理） 答：設是Lebesgue可測集， ，為上的非負可測函數，若是單調遞增的，記，則。院（系）： 專業(yè)： 年級： 學生姓名： 學號： - 密 - 封 - 線 -2、中開集的結構定理答：中的任一非空開集總可表示成中至多可數個互不相交的半開半閉區(qū)間的并。（或中的任一開集或為空集或可表示成中至多可數個互不相交的半開半閉區(qū)間的并。）3、中的集合是Lebesgue可測集的卡氏定義（即C.Caratheodory定義）答：設，如果對任意，總有則稱為中的Lebesgue

3、可測集，或稱是Lebesgue可測的。4、F.Riesz定理（黎斯定理）答：設為Lebesgue可測集， ，和都是上的幾乎處處有限的可測函數，如果 ，則存在的一個子列，使得于。5、有界閉區(qū)間上絕對連續(xù)函數的定義答：設是定義在有界閉區(qū)間上實函數，如果，存在，使得對內任意有限個互不相交的開區(qū)間 ，只要它們的總長，總有。則稱是有界閉區(qū)間上絕對連續(xù)函數。 第 1 頁(共 3 頁)得分評閱人三、計算題（共1題，共1×10 = 10分） 設為中的零測集， ，求 。解：由題設，于，而在上連續(xù)，于是由積分的惟一性和L積分與R積分的關系得。得分評閱人四、解答題（共6小題，每題10分，共6×1

4、0 = 60分）1、設為中的集，證明：必存在中的一列單調遞增的閉集，使得。證明：因為為中的集，所以一列閉集，使得取，由閉集的性質知是閉集，且單調遞增。 - 密 - 封 - 線 -2、證明：中互不相交的開區(qū)間所構成的集族必為至多可數集。證明：記為中互不相交的開區(qū)間所構成的集族，對任意，由有理點的稠密性，中必存在有理點，取其中的一個有理點記為，并記，于是 必為至多可數集。 作到的映射如下：由于中任意兩個不同的和不相交，所以，于是是到的單射（實際上還是一一映射），所以 ，故也是至多可數集。3、設是上的實值函數，且在上的任一有限區(qū)間上都可測，則在上也可測。證明：因為 ，而是上的可測函數，所以 由可測函

5、數的性質得在上也可測。 第 2 頁(共 3 頁) - 密 - 封 - 線 -4、用Fubini定理證明：若為上的非負可測函數，則。證明：記，令，由題設易知也是上的非負可測函數，于是，由非負可測函數的Fubini定理。5、設是中的可測集，若（1），其中為可測集，；（2），都是上的可測函數，且 于；（3）存在上的Lebesgue可積函數，使得， 。證明：在上也Lebesgue可積，且 。證明：記，由題設知 于（事實上，存在，當時，總有，從而，于是。） 又 ，在上Lebesgue可積所以 由Lebesgue控制收斂定理，并注意到可得。6、設是Lebesgue可測集，都是上的Lebesgue可積函數，

6、若 ，且，證明：（1）在上非負可測；（2）用Fatou引理證明：。證明：（1）由可測函數的運算性質得 是上可測函數，又 ，從而，所以 在上非負可測。（2）由題設，再由Fatou引理得，即，從而 故 。 第 3 頁(共 3 頁)實變函數練習及答案一、選擇題1、以下集合，（ ）是不可數集合。所有系數為有理數的多項式集合； 中的無理數集合；單調函數的不連續(xù)點所成集合； 以直線上互不相交的開區(qū)間為元素的集。2、設是可測集，是不可測集，則是（ ）可測集且測度為零； 可測集但測度未必為零；不可測集； 以上都不對。3、下列說法正確的是（ ） 在可積在可積； 在可積在可積；在可積在可積；在廣義可積在可積4、設

7、是一列可測集，則有（ ） ； ； ； 以上都不對。 5、成立的充分必要條件是（ ）； ； 。6、設是閉區(qū)間中的無理點集，則（ ）； ；是不可測集； 是閉集。7、設，是上幾乎處處有限的可測函數列，是上幾乎處處有限的可測函數，則幾乎處處收斂于是依測度收斂于的（ ）必要條件； 充分條件；充分必要條件； 無關條件。8、設是上的可測函數，則（ ）是上的連續(xù)函數； 是上的勒貝格可積函數；是上的簡單函數； 可表示為一列簡單函數的極限。c二、填空題：1、設，如果的任何鄰域中都含有的 點，則稱是的聚點。2、設，若是有界 點集，則至少有一個聚點。3、設是上的可測函數，則是上的 函數。4、設在上，依測度收斂于，則存

8、在的子列，使得在上， 斂于。5、設設,則_。6設P是Cantor集，則_。7、寫出一個與之間一一對應關系式_ 。8.設，則 。 9、設是中有理數全體，則的閉包 為_。10、直線上的任意非空開集可以表示成_的并集。三、判斷題。1、與的勢是不等的。( )2、設，為上一列有限的可測函數，若在上收斂于有限的可測函數，則在上依測度收斂于。( )3、若則。( )4、設在上可積,則在上必可積。( )5、若不是的聚點，則是的孤立點。( )6、設，則對上的任何實值函數都有。( )7、設在上可測，則由在上可積可以推出在上可積，但反之不對。( )8、若為上非負單調可測函數列，且，則。( )四、計算題與證明題1、證明

9、：若，則。2、設是上的實值連續(xù)函數，是任意給定的實數，證明是開集。3、設，都是可測集，試證：。4、設在可測集上，且于，試證明：于.5、設,則在上幾乎處處成立.6、敘述并且證明魯津定理的逆定理.7、計算。8、若且有關函數的積分存在，證明：。答案一選擇題1B 2C 3A 4. B 5.D 6.A 7.B 8.D二填空題1.無窮多個 2.無窮 3.可測 4.幾乎處處收斂 5. 6.1 7. 8. 9. 10.有限個或可列個構成區(qū)間三、判斷題 1× 2. 3. × 4. × 5. × 6. 7、× 8.× 四、證明與計算1.證明：根據集合的性

10、質有： 并且集合與，與是不相交的。由于，因此，由題設可知，于是。2、設，則存在中的互異點列，使得，因連續(xù)，所以，而，由極限的保號性，因此，故是閉集。由于，故是開集。 3、證明：由于，都是可測集，根據可測集的性質，和都是可測集。如果和中至少有一個為，則結論顯然成立。設，。根據集合的性質可知而且上式右端三個集合是兩兩不相交的可測集，因此根據測度的有限可加性有所以成立。4、證明：因，則由黎斯定理，存在子列，使得于。令，則。對任意，有，且。由于是增加數列，故，因此在上恒有成立，故于.5、.證明: 由于,故對任何自然數,從而令,即得 .但是 故, 即 a.e.于E.6敘述：設是上a.e.有限的函數，若對

11、任意，存在閉子集，使在上連續(xù)，且證明：是上的可測函數。證明：閉集在連續(xù)。令則在連續(xù)在F連續(xù)，又對，故，在連續(xù)，又，所以是上的可測函數，從而是E上的可測函數。7解：令，易見若，則 若，則 令則在上，由與知在是可積函數，于是由控制收斂定理得：。8證明：若則，于是由不等式 令，則得到 實變函數論測試題1、證明 。證明：設，則，使一切，所以,則可知。設，則有,使，所以。 因此，=。2、設。求在內的，。 解：， ， 。3、若，對，存在開集, 使得且滿足 ，證明是可測集。證明：對任何正整數， 由條件存在開集，使得。令,則是可測集，又因，對一切正整數成立，因而=0，即是一零測度集，故可測。由知可測。證畢。4

12、、試構造一個閉的疏朗的集合，。解：在中去掉一個長度為的開區(qū)間，接下來在剩下的兩個閉區(qū)間分別對稱挖掉長度為的兩個開區(qū)間，以此類推，一般進行到第次時，一共去掉個各自長度為的開區(qū)間，剩下的個閉區(qū)間，如此重復下去，這樣就可以得到一個閉的疏朗集，去掉的部分的測度為。所以最后所得集合的測度為，即。5、設在上，且?guī)缀跆幪幊闪ⅲ? 則有a.e.收斂于。證明 因為，則存在，使在上a.e.收斂到。設是不收斂到的點集。，則。因此。在上，收斂到， 且是單調的。因此收斂到（單調序列的子列收斂，則序列本身收斂到同一極限）。即除去一個零集外，收斂于，就是 a.e. 收斂到。6、設,是上有限的可測函數。證明存在定義于上的一列連續(xù)函數，使得 于。證明： 因為在上可測，由魯津定理，對任何正整數,存在的可測子集，使得，同時存在定義在上的連續(xù)函數，使得當時有=。 所以對任意的，成立， 由此可得 。 因此 ，即，由黎斯定理存在的子列，使得 a.e于. 證畢。7、設為a.e有限可測函數列，證明：的充要條件