陸一弘如何確定視頻的拍攝地

1、一、問題重述如何確定的拍攝地點和拍攝日期是數(shù)據(jù)分析的重要方面，太陽就是通過分析法。中物體的太陽變化，確定拍攝的地點和日期的1.需要建立長度變化的數(shù)學(xué)模型，據(jù)此分析長度關(guān)于各個參數(shù)的變時間 9:00-15:00化規(guī)律，并運用我們建立的模型畫出 2015 年 10 月 22 日之間 的太陽廣場（北緯 39 度 54 分 26 秒,東經(jīng) 116 度 23 分 29 秒）3 長度的變化曲線。的直桿2.首先根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽頂點坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點。然后需要將我們的模型應(yīng)用于附件 1 的據(jù)，給出若干個可能的地點。3. 在 2 問的基礎(chǔ)上，先根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太

2、陽頂點坐標(biāo)數(shù)頂點坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點和日期。然后將我們的模型分別應(yīng)用于附件 2 和附件 3 的頂點坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出若干個可能的地點與日期。4附件 4 中給了一段一根直桿在太陽下的變化的，并且已通過某種方式估計出直桿的高度為 2 米。我們需要建立確定并應(yīng)用我們的模型給出若干個可能的拍攝地點。拍攝地點的數(shù)學(xué)模型，在拍攝日期未知的情況下，嘗試根據(jù)確定出拍攝地點與日期。二、問題分析（1）問題 1 的分析本問題求直桿變化。為了求得長度的變化曲線，而廣場直桿的太陽的長度隨各個參數(shù)的改變而發(fā)生變化規(guī)律，由于桿長已知，因此最為的問題是要求解太陽光與直桿夾角的變化規(guī)律。而夾角與太陽直射點的緯度

3、、所在地的緯度、的時間差等一系列因素有關(guān)。為此，只要求出該夾角與上述變量的定量表，太陽的長度變化曲線就能迎刃而解。（2）問題 2 的分析本問題是求直桿所處的可能地點。通過問題 1 的解答可以得到各個參數(shù)的關(guān)系式，題目的附件 1 也給出了日期以及的坐標(biāo)，這樣就能建立一系列等量關(guān)系方程。通過一些技巧求解這些方程，舍棄誤差較大的數(shù)據(jù)，再進(jìn)行最優(yōu)化處理，就能得到較為精確的解。中的可以通過解出的時間來推測，中的緯度可以直接通過方程求解和數(shù)據(jù)處理得到。最后通過 Google Earth進(jìn)行經(jīng)緯度來驗證結(jié)論的合理性。（3） 問題 3 的分析本問題是求直桿所處的可能地點和日期，與上題不同的是，本題的未知量多了

4、一個，因此仍舊應(yīng)該沿襲問題 2 的思路，但需要將方程的數(shù)量增加。同時， 由于太陽直射點的一個緯度對于兩個時間，因此該問一定有多組解答。（4） 問題 4 的分析本問題有兩個小問，其中第一小問的附件是一個，因此應(yīng)該先對進(jìn)行處理，對此我們認(rèn)為首先應(yīng)該利用將按每一分鐘分割成不同的圖片，再將圖片轉(zhuǎn)化成為灰度圖，得到其灰度矩陣，通過對矩陣灰度的篩選，利用2其坐標(biāo)可以計算出桿長和影長的圖上距離，之后根據(jù)題目中的“直桿的高度為 2 米”，就能估計出各個時刻的影長，再利用之前問題 2 所建立的模型即可解出并驗證。而對于第二小問，雖然多了一個未知量，但依然可以利用問題 3所建立的模型進(jìn)行求解及檢驗。三、模型假設(shè)1

5、、假設(shè)在一天內(nèi)，地球公轉(zhuǎn)對太陽2、假設(shè)地球是一個正球體3、假設(shè)太陽光為平行光4、假設(shè)大氣對太陽光的散射及折射5、假設(shè)第四問中桿長為 2 米6、假設(shè)第四問中的相機(jī)正對直桿長度的以忽略以忽略四、符號說明符號數(shù)學(xué)涵義太陽直射點緯度（設(shè)北緯的角度為正，南緯角度為負(fù)）°直桿的長度lm m s距離當(dāng)?shù)卣鐣r刻的時間t t時間差 sR地球半徑lm直桿的方向向量（即地平面的法向量）n 2太陽光轉(zhuǎn)過的角度°日數(shù)，1 月 1 日為 1，1 月 2 日為 2天N交角°五、模型建立及求解5.1 問題一：（1）模型的建立：3E真太陽時時差分鐘n太陽距離春分點的運行天數(shù)天地球自轉(zhuǎn)角速度rad

6、/s太陽光的方向向量n1l 影直桿的長度太陽光與直桿的夾角（即太陽高度角的余角）°觀測點緯度°為了求得長度隨時間的變化規(guī)律，因此有必要了解影響長度的各個因素。由日常生活的經(jīng)驗可以得知的長度與觀測點緯度、太陽直射點緯度、桿長、一天中的時間段密切相關(guān)。顯然，要得到精確的變化規(guī)律，必須定量表示出影長與這些物理量之間的 直射點的緯度與日期的函數(shù)。本部分 i)將利用空間幾何與分段函數(shù)給出太陽，ii)將推導(dǎo)出地平面法向量與太陽光方向向量，為模型求解做下基礎(chǔ)，iii)將闡述視太陽時（真太陽時）、平太陽時的差別，這是得到精確圖像的必要條件。i)太陽直射點的緯度的計算推導(dǎo)：圖 1.推導(dǎo)太陽直

7、射點緯度圖交角為黃道面和赤道面的二面角，有關(guān)資料可得該二面角為23°2621。在春分或秋分時，太陽光直射黃道面與赤道面的交點，隨著時間的推移，太陽光直射點移動到了 P 點，在圖中作 PS赤道面，作 PQ軸 OQ，連接PQ、SQ。假設(shè)為太陽光從春分時刻到 P 點時掃過的角度，為太陽直射點的緯度，由三垂線定理可知，即為黃道面與赤道面的二面角，即2621。在直角三角形PSO 中:PS = OP × sin 在直角三角形PSQ 中:PS = PQ × sin 而在直角三角形OPQ 中:PQ = OP × sin 所以可以得到：交角，所以=23°sin

8、= sin × sin = sin × sin 23°26¢21² ,太陽直射點緯度： = arcsin(sin × sin 23°26¢21²) 。4通過日常生活經(jīng)驗可以得到，從春分至夏至（93 天），夏至至秋分（93 天），秋分至冬至（90 天），冬至至春分（89 天），太陽光轉(zhuǎn)過的角度都為 90°，所以對于從春分時開始運行的天數(shù)n 來說，太陽光轉(zhuǎn)過的角度是關(guān)于n 的分段函數(shù)，分為春分至夏至、夏至至秋分、秋分至冬至、冬至至春分四段：ì90° × n, n 

9、06; 0,93ï 93ï90°ï90° +× (n - 93), n Î (93,186 = ï93í90°ï180° +× (n - 186), n Î (186,276ï90ï90°ï270° +× (n - 276), n Î (276,365î89合并后代入太陽直射點緯度計算公式 = arcsin(sin × sin 23°26¢21&#

10、178;) 后，可得，ì180°× n ) × sin 23°26¢21²,n Î 0,186ïarcsinsin(ï186ï90°9090°89× (n - 186) × sin 23°26¢21²,n Î (186,276 = íarcsinsin180° +ïïÎ (276,365° +× (n - 276) × sin

11、23°26¢21²,nïarcsinsin270îii)地平面法向量與太陽光方向向量的推導(dǎo)：圖 2.向量推導(dǎo)圖5在假設(shè)中我們已經(jīng)明確，太陽光可視為平行光，地球可視為正球體。這樣，太陽光中的任意一，都能用空間向量的形式表示，地球上任意一點的法向量也可以利用球體的性質(zhì)表示。，在地球上建立空間直角坐標(biāo)系。A 點為觀測點，B 點為太陽入射點，圖中地平面為A 點的地平面。設(shè)地球半徑為R，則地球上任意一點滿足x 2y 2z 2R 2當(dāng)太陽光入射時，為觀測點的緯度，為太陽直射點的緯度（北緯的角度+=為正，南緯的角度為負(fù)），因為太陽光為平行光，可以求得太陽光的

12、向量為n1 = (0,- cos ,- sin )。對觀測點A 而言，為方便起見，規(guī)定t=0 時為當(dāng)?shù)氐恼鐣r刻，則觀測點A 的坐標(biāo)隨時間變化為：= -R cos sin tìx0ïy= R cos cost 。= R sin í0ïzî0其中，為地球自轉(zhuǎn)角速度。為了得到直桿的方向向量（即地平面圖 3.夾角示意圖的法向量），設(shè)n2 = (a, b, c) ，對于地球上的任意一點(x0 , y0 , z0 ) ，由高等知：據(jù) f = x 2 + y 2 + z 2 得,a = ¶f¶f¶y= 2y , c =

13、82;f，b = 2x= 2z 。y = y 0x= x000z = z00¶x¶z= (x0 , y0 , z0 ) ，而由前文得知，x0 , y0 , z0因此(x0 , y0 , z0 ) 的地平面的法向量n2均為時間t 的函數(shù)，代入可得n2 = (-R cos sin t, R cos cost, R sin ) 。iii)視太陽時（真太陽時）、平太陽時的差別：在實際模型的求還會遇到平太陽時和視太陽時的問題。定義如下：平太陽時：一年中所有長短不等的太陽日相加求其平均值，所求得的太陽日的平均長度稱為平太陽日，在這種太陽日下的太陽時就稱為平太陽時。視太陽時（真太陽時）：

14、長短不等的實際太陽日稱真太陽日或視太陽日，在6真太陽日下的太陽時就稱為真太陽時1。通過直接得到出來的 和標(biāo)準(zhǔn)時。時，如日晷中讀出來的直接時間為，需要通過這兩種太陽時不但常有一個差值，而且差值本身逐日不同，呈個差值叫時差，其中：時差=視太陽時-平太陽時變化，這時差的對我們模型的精確度有一定的影響，所以時差是不可忽略的。查閱有關(guān)資料可得，時差的計算公式為E = 9.87 sin( 2B) - 7.53cos B -1.5sin BB = 2 ( N - 81) 2364其中，E 的為分，B 的是弧度，N 是日數(shù)，1 月 1 日、1 月 2 日分別為 1、2，以此類推。（2）模型求解：為了求得的長度

15、，則必須求得太陽光線與直桿的夾角（即太陽高度角的余角），由空間向量可知，考慮到光線與直桿的夾角 Î0,90°)，因此n1 × n2 = - - R cos cos cost - R sin sin cos = -= cos cos cost + sin sin 02 + (- cos ) 2 + (-sin ) 2 ×R 2。在忽略公轉(zhuǎn)的假設(shè)下，2 =rad / h =24rad / s 代入，即有rad / s 。43200將 =43200 = arccos(cos cos cos(t) + sin sin ) (t的為s)43200由于與桿長滿足：

16、tan = l影 , 則l cos cos( t) + sin sin )ùél= l × tan = l × tanêëarccos(cosúû影43200求：題中給出的日期為 2015 年 10 月 22 日，距離春分日 3 月 21 日為215 天，代入 = - arcsinsin 180° + 90° × (n - 186) × sin 23°26¢21² ，得90 = arcsinsin180° + 90° 

17、5; (n - 186) × sin 23°26¢21²90= arcsinsin 180° + 90° × (215 - 186) × sin 23°26¢21² = -11°7¢8²90求：題中所給地點為北緯 39 度 54 分 26 秒，即7n1×n2 = 39°54¢26²求t 的范圍：題中所給時間為時間 9:00-15:00，時間為東，需先求得的定義可八區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)時，即是東經(jīng) 120 度的平太陽時。為求得當(dāng)?shù)?/p>

18、的當(dāng)?shù)氐闹?，廣場的為東經(jīng) 116 度 23 分 29 秒，由時間差Dt = (116°23¢29² - 120°) ´ 4min = -14 min 26s 。所以 當(dāng)?shù)氐牟詈?，?dāng)?shù)氐倪M(jìn)行廣場的范圍為 8:45:34-14:45:34。在此基礎(chǔ)上，運用公式對時差的改正，10 月 22 日的時差為 E = 16 min 。改正時范圍為 9:01:34-15:01:34。又因為在上述的模型中，t是距離當(dāng)?shù)卣鐣r刻 12:00 的時間，化為秒以后，可以得到當(dāng)時間變化范圍為 9:00-15:00 時，t Î-10706,10894。廣場當(dāng)?shù)?/p>

19、距離正午時刻變化的范圍為求l：由題目條件即可得到 l=3m。至此，代入以上數(shù)據(jù)，ét) + sin sin )ùl= l × tan = l × tanêëarccos(cos cos cos(úû影43200= 3´ tanarccos(0.752687 cos(t) - 0.12371129)43200中，以t（ t Î-10706,10894）為自變量，l 影為應(yīng)變量，：作圖：在作出該圖，圖 4.l 影關(guān)于 t 的變化圖再按題目要求，將 t 轉(zhuǎn)化為相對應(yīng)的00 的影長變化：時間，可以得到時

20、間 9：00-15：8圖 5.l 影在 9：00-12：00 的的變化圖（3）結(jié)果分析及檢驗：現(xiàn)用該推導(dǎo)式檢驗當(dāng)?shù)氐娜粘鋈章鋾r間：即= 時，2t ) - 0.12371129 = 0 ，廣場當(dāng)?shù)厝粘鋈章涞?.752687 cos(43200t =5h22 min 9.6s 。所以分別為06:37:50 和 17:22:10。運用時差改正公式，得 10 月 22 日當(dāng)天的時差為 16min，那么廣場當(dāng)?shù)厝粘鋈章涞姆謩e為 06:21:50 和 17:06:10。再通過所在時間（東經(jīng) 120°）的 14min26s，可得（東經(jīng) 116°2329）改正到日出日落的時間為 06 :3

21、6:16 和 17:20:36。通過，我們可知對于天安門廣場，10 月 22 日其日出日落時間分別為 06:31:45 和 17:26:11，因為大氣的散射與折射作用，人們實際感受到的日出時間略早于理論時間，而實際感受到的日落時間則略晚，由于本模型忽略了大氣對太陽光的折射及散射，因此與實際數(shù)據(jù)略有出入，但并不影響模型的可行性。我們模型中的日中時刻為 12:01:34，在網(wǎng)絡(luò)上查得的廣場所在經(jīng)緯度的日中時間為 11：59，誤差在兩分鐘左右。這說明，我們的模型有一定的合理性，但也可以進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化。5.2 問題二：（1）模型的建立：通過 5.1 的論述，我們已經(jīng)得到了長度關(guān)于各個參數(shù)的變化規(guī)律。

22、因此，本問題的關(guān)鍵在于深刻理解表，運用數(shù)學(xué)知識對表進(jìn)行一定的處理和分析，我們需要知道這些參數(shù)是如何變化，如何關(guān)聯(lián)的，并對對附件一中的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。在 5.1 的模型求，我們已經(jīng)得到了各個參數(shù)之間的函數(shù)：l= l × tané cos cos( t ) + sin sin )úarccos(cosùê影43200ëû9在該表中，未知量較多，函數(shù)復(fù)雜，有必要進(jìn)行初步的化簡。我們發(fā)現(xiàn)，對于在定義域內(nèi)的函數(shù)f(x ) = tanarccos(x )構(gòu)造三角函數(shù)可以得到：tanarccos(x ) =1- 1x 2因此有：1f(x )

23、 =- 1x 2而對于此情形的條件，實際的x 應(yīng)當(dāng)滿足：x = cos cos cos(t ) + sin sin 43200由于 Î -90°，90° ， Î -23°2621，23°2621 ， 因此永遠(yuǎn)有cos > 0 ， cos > 0 。從而：x = cos cos cos(= cos( - ) £ 1t ) + sin sin < cos cos + sin sin 43200因此，對于任意變量，函數(shù)永遠(yuǎn)意義，因此，函數(shù)簡化為：1l= l ×- 1影x 2其中，x 滿足：x = cos

24、 cos cos(t ) + sin sin 43200。在此問題中，可以清晰的看出，l影 = l影 (l, , t)這四個變量中，考慮到日期為 2015 年 4 月 18 日，因此由 5.1 部分可以得到：（n=28）180° × n ) × sin 23°26¢21² = 10.43809° = arcsinsin(186因此有：sin(10.43809°) = 0.181173cos(10.43809°) = 0.98345110量l,t 。而這這樣，仍有量在求解時都是同時涉及的，其中直桿所在地緯度

25、 是完全未知的參數(shù)，影長 l 與 t位是未知的，因此仍舊為兩個未知量。對附件 1 的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。數(shù)據(jù)中，時間的間隔為每組 3 分鐘，與此同時給出水平面上x 坐標(biāo)和y 坐標(biāo)。對數(shù)據(jù)處理的思路大致有兩種：1.求出影長隨時間的變化規(guī)律，根據(jù)影長與各個參數(shù)的變化規(guī)律，求出上述量；對應(yīng)，但其中相2.求出的方位角的變化規(guī)律，根據(jù)方位角的變化，求出上述量。在實際建模的過程中，思路 2 的得出的方位角的變化較小，產(chǎn)生誤差非常大，這對于經(jīng)緯度的定義可以說是致命的，因此該思路無法行通。因此我們采用思路 1。思路 1 先根據(jù)勾股定理求出各個時刻的影長，再通過等量進(jìn)行求解。對附件 1 中的數(shù)據(jù)進(jìn)行Excel 數(shù)據(jù)處

26、理，可以得到：時間14:42:45:4814:5114:5414:5715:0015:0315:0615:0915:1215:1515:1815:2115:2415:2715:3015:3315:3615:3915:42x 坐標(biāo)(米)1.03651.06991.10381.13831.17321.20871.24481.28151.31891.35681.39551.43491.47511.5161.55771.60031.64381.68821.73371.78011.8277y 坐標(biāo)(米)0.49730.50290.50850.51420.51980.52550.53110.53680.5

27、4260.54830.55410.55980.56570.57150.57740.58330.58920.59520.60130.60740.6135總長（米）1.1.1.2152969551.2490510521.283195341.3179931491.3533640491.3893870911.4261528561.4633998531.5014816221.5402318171.5798533161.6201445151.6612706131.7032906331.746205911.7900509151.8350142721.8808750011.927918447模型即為：1x 2

28、y 2+= l=×- 1l影(cos cos t ) + sin sin )2cos(4320011通過求解多組方程，解出 即可得到直桿所處地點的緯度，解出t 后進(jìn)行時差改正后變?yōu)榈摹?，再和時間（東八區(qū)區(qū)時）的差值即可得到直桿所處地點（2）模型求解：對于量的方程組，理論上至少需要三個方程，才可得到量的解。附件中給出了 20 組數(shù)據(jù)，若多組聯(lián)立，實際上是一個“超定”方程，必然會得到一組最優(yōu)解。但事實上，這種并不是最優(yōu)的，一是因為計算量極其大，計算緩慢，用一組數(shù)據(jù)并不能良驗證結(jié)論的正確性；二是因為原始數(shù)據(jù)誤差，若用全部數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，無法區(qū)分異常值，這樣對結(jié)論的精確性會產(chǎn)生一定的影響?；?/p>

29、此，我們采用了以 3 組數(shù)據(jù)為一組，總共 7 組數(shù)據(jù)進(jìn)行求解。處理如下：1.為了提高精確度，采用“逐差”的計算。21 組數(shù)據(jù)依次編號為 1,2,3，20,21。因此分別采用 1-8-15,2-9-16，7-14-21。2.對于任意一組數(shù)據(jù)，組內(nèi)第一個的當(dāng)?shù)卦O(shè)為 t，由于每組的時間差為 3 分鐘，因此第二個的時間為t，第三個的時間為t。3.對于任意一組數(shù)據(jù)，得到的為最優(yōu)解，對于異常數(shù)據(jù)再作具體分析。4.采用的solve 函數(shù)進(jìn)行求解。附錄 1（為了簡便，用a 代替 ）對于第一組數(shù)據(jù)，輸入的示例得到的結(jié)果為：a =-225.l =2.0t =6967.79376031118037773810453

30、9976425195其中，a 的值由于定義域的限制應(yīng)給予，也就是應(yīng)當(dāng)滿足：a + n Î-90°，90°因此可為：a=19.31389°在修改參數(shù)時進(jìn)行逐項的分析，結(jié)果匯成如下：表 1這 7 組數(shù)據(jù)的第 1、2、3、5、6 組的非常接近，可以精確的該地點的經(jīng)緯度。第 4、7 組的由于誤差相對較大，因此給出的為另兩組解。題目要求給出若干個可能的地點，因此前五組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為是精確解，后兩組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為是除精確解以外的最優(yōu)解。12組別序號緯度 /a（rad）時間t(s)桿長l(m)1-8-1519.31389°6967.122.042322-9-16

31、19.59581°7062.242.063883-10-1719.32480°7323.282.043304-11-1824.75415°4843.552.816065-12-1919.20618°7720.402.033886-13-2019.34827°7853.212.046067-14-2125.54770°4454.693.16073i)精確地點的分析提取上面 5 組數(shù)據(jù)，為了便于數(shù)據(jù)處理，將時間t 以第一組數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)進(jìn)行換算，即將上表中的第 2、3、5、6 組數(shù)據(jù)的 t 依次減去 180,360,720,900。得到的數(shù)據(jù)

32、如下表所示：表 2修改后的數(shù)據(jù)已經(jīng)非常精確，由于、t、l 變量相互，因此對三個變量中的 Fminsearch 函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)優(yōu)化，具體內(nèi)容見附錄 2。得到的結(jié)利用果為：用的fminsearch 函數(shù)對附件一的 5 組優(yōu)化，在差值平方和最小的情況下，可得直桿所在地緯度為= 19°2131，桿長l= 2.0459 m，北京時間 14：42 所對應(yīng)的直桿所在地的距離正午時刻的時間t=6953.3s，將該時間距離轉(zhuǎn)化為當(dāng)?shù)?3：55：53。題目中所給的日期為 4 月 18 日，則 N=108 日，E=0min31s，則直桿所在地的為 13：55：53-0：0：31=13：55：22。根據(jù)時間差

33、的公式：時間差=（直桿所在地-標(biāo)準(zhǔn)時所在地）*4 分鐘為東經(jīng) 108°20以及時間為東經(jīng) 120°的，可以得知直桿所在地的30，緯度為北緯 19°2131，通過google earth 可以確定該地位于海南島的西邊，如圖：圖 6.問題二精確結(jié)果所在地示意13組別序號緯度 /a（rad）時間t(s)桿長l(m)1-8-1519.31389°6967.122.042322-9-1619.59581°6882.242.063883-10-1719.32480°6963.282.043305-12-1919.20618°7000.4

34、02.033886-13-2019.34827°6953.212.04606ii)略為粗糙的結(jié)果對剩下的一組數(shù)據(jù)直桿所在緯度=24°4515，相對應(yīng)的所在地真時時刻為 13：11：44，經(jīng)過時差改正，為 13：11：13，據(jù)此得到為東經(jīng) 97°1815，緯度為北緯 24°4515的直桿所在地，該地位于云南緬甸交界處，：圖 7. 問題二粗略結(jié)果所在地示意（3）結(jié)果分析及檢驗:該模型得出來的，最為精確的地點位于海南省的西部海岸附近。在該組，桿長的最優(yōu)解為l=2.0459m，且各組數(shù)據(jù)誤差較小，而附件中所有的影長均小于 2m，也印證我們?nèi)粘Ｉ钪心戏降貐^(qū)影長小

35、于桿長的生活經(jīng)驗。模型還給出了一組誤差相對較大的解。該組雖然桿長較長，但當(dāng)?shù)氐臅r間在正午附近，因此影長也符合常理，應(yīng)該選取。而另一組數(shù)據(jù)經(jīng)檢驗誤差很大被摒棄。5.3 問題三：（1）模型的建立：由 5.2 已經(jīng)分析得出：l影 = l影(l, ,t)在這個式中，l, , t 對于本問題都是未知的，因此本問題將沿用 5.2 的數(shù)據(jù)處理。首先重寫該處的函數(shù)方程：1x 2y 2+ = l= l ×- 1影(cos cos cos(t) + sin sin )243200這個方程雖然形式上和 5.2 中的大致相同，但由于此情形的, 同時量，考慮到求解時為一組最優(yōu)解，因此需要大致明白函數(shù)的變化規(guī)律

36、：.在求解時, 將同時作數(shù)。從函數(shù)可以看出，由于, 的地位是等14價的，因此互換, 的解仍舊成立。唯一的不同是 與 的定義域，這是因為太陽直射點的緯度位于南北回歸線之間。若求解時兩解的實際意義都在南北回歸線之間，則該組解可以互換；若兩組解其中一組在回歸線間，則不能互換；若兩組解都不在回歸線之間，則該解不符合實際，應(yīng)予舍棄。.在求解時同時改變, 的符號將使方程仍然成立。與 5.2 中的情形不同，在 得 到 ,的 數(shù)據(jù) 之 后 ， 改 變 它 們 的 符 號 ， 由 于 ：cos（ - ）cos（ - ）=cos（ - ）cos（ - ）；sin（ - ）sin（ - ）=- sin（ - ）-

37、sin（ - ） = sin（）sin（），因此對于任意一組解，它們的相反數(shù)也一定是方程的解。. cos( t)是關(guān)于 t 的偶函數(shù)。但對于任意一組方程，由于在求解時 t43200相位差，因此改變t 的符號將不再對稱，因此并不能輕易改變。.對于一組確定的緯度，即已知 的情況下，除了夏至日和冬至日以外， 一年中都有兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行對應(yīng)。因此該方程任意一組解，最后結(jié)果應(yīng)該產(chǎn)生四種情形。明白以上幾點規(guī)律后，我們進(jìn)行方程求解。（2）模型求解：對附件 2 和 3 采用同樣的處理，沿用 5.2 中的思路，但在逐差分析時，將3 組數(shù)據(jù)更改為 4 組。處理過程如下：i) 對附件二進(jìn)行求解：利用 1-6-11-16

38、，5-10-15-20 五組方程組進(jìn)行求解，為了節(jié)省篇幅，略去了換算與求解的程序，仍舊采用的solve 函數(shù)。求解結(jié)果如下：表 3對這些點進(jìn)行分析。雖然它們滿足誤差分析的基本要求，但考慮到直射點緯度的取值應(yīng)滿足 Î -23°2621，23°2621，因此將第一組數(shù)據(jù)舍棄。類同對附件一解的處理，用的 fminsearch 函數(shù)對附件二的 4 組15組別序號所在點緯度/a(rad)直射點緯度/b(rad）時間t(s)桿長/k(m)1-6-11-1642.1111623.88362-6954.482.149262-7-12-1740.7821521.99937-7122

39、.452.053043-8-13-1839.3441919.99298-7253.491.968664-9-14-1937.7998317.85047-7373.151.888485-10-15-2038.4029218.72225-7285.471.93001行優(yōu)化，得到的結(jié)果如下：表 4通過此可得直桿所在地緯度為=±39°456，太陽直射點=±19°3829（、同號），時間 12：41 所對應(yīng)的直桿所在地的距離正午時刻的時間t=-7286.3s，將秒化為小時后可得當(dāng)?shù)氐膌=1.9601m。為 9:58:34，桿長1. 直桿所在地和太陽直射點同在北半球

40、時：=39°456，=19°3829。通過該太陽直射點和 5.1 中的太陽直射點推導(dǎo)公式：sin = sin × sin = sin × sin 23°26¢21²算得 = 57.675°或 = 122.325° 。然后，通過 算得太陽距離春分（3 月 21 日）的運行天數(shù)分別為n = 60和n = 126 。對應(yīng)的日期分別為 5 月 20 日和 7 月 25 日。在 5 月 20 日的情況下：對應(yīng)的 N 為 140，據(jù)時差公式可以得出時差為 E=3min35s。那么在時間時為 12：41 的時候，當(dāng)?shù)氐?/p>

41、間差的計算公式，為 9：58：34-0：03：35=9：54：59。據(jù)時間差 =（12 : 41 - 9 : 54 : 59）= 2h46 min 1s ，差 = 2h46 min 1s ´15° / h = 41°30¢15²為東經(jīng) 78°2945，那么直桿所在地的經(jīng)緯度為北可以求得當(dāng)?shù)氐木?39°456，東經(jīng) 78°2945，在在 7 月 25 日的情況下：內(nèi)。類似的解法，對應(yīng)的 N 為 206，據(jù)時差公式可以得出時差為 E=-6min11s。那么在45。據(jù)時間為 12：41 的時候，當(dāng)?shù)氐臅r間差的計算公式，求

42、得當(dāng)?shù)氐臑?9：58：34+0：06：11=10：04： 為東經(jīng) 80°5615，北緯 39°456，仍在內(nèi)。如下圖所示，左圖為 5 月 20 日，右圖 7 月 25 日：16組別序號所在點緯度/a(rad)直射點緯度b(rad）時間t(s)桿長k(m)2-7-12-1740.7821521.99937-7122.452.053043-8-13-1839.3441919.99298-7253.491.968664-9-14-1937.7998317.85047-7373.151.888485-10-15-2038.4029218.72225-7285.471.93001擬合

43、值39.082319.6413-7286.31.9601平方和誤差5.06449.7359324070.0147圖 8. 直桿所在地和太陽直射點同在北半球結(jié)果示意2. 直桿所在地和太陽直射點同在南半球時：=-39°456，=-19°3829。通過該太陽直射點和 5.1 中的太陽直射點推導(dǎo)公式, 算得 = 237.675°或 = 302.325°相對應(yīng)的太陽距離春分（3 月 21 日）的運行天數(shù)分別為：n = 244和n = 308對應(yīng)的日期分別為 11 月 20 日和 1 月 23 日。在 11 月 20 日的情況下：對應(yīng)的N=324，E=13min31

44、s，當(dāng)?shù)氐?經(jīng) 76°045，緯度為-39°456，在在 1 月 23 日的情況下：對應(yīng)的N=23，E=-11min46s，當(dāng)?shù)氐臑椋?：45：03，當(dāng)?shù)氐难笊蠟闁|為：10：10：20，當(dāng)?shù)氐臑闁|經(jīng) 82°200，緯度為-39°456，仍在洋上。如下圖所示，左圖為 11 月 20 日，右圖 1 月 23 日：圖 9. 直桿所在地和太陽直射點同在南半球結(jié)果示意ii)對附件三進(jìn)行求解：類同附件二的做法，對 5 組優(yōu)化后，得到直桿所在地緯度為=±32°549，太陽直射點=±17°3717（、異號），時間 13：09所對應(yīng)

45、的直桿所在地的距離正午時刻的時間t=1496.4s，將該時間距離轉(zhuǎn)化為當(dāng)?shù)?2：24：56。1. 直桿所在地在北半球和太陽直射點在南半球時：=32°549，=-17° 3717。通過該太陽直射點和 5.1 中的太陽直射點推導(dǎo)公式, 算得17 = 229.557°或 = 310.443°相對應(yīng)的太陽距離春分（3 月 21 日）的運行天數(shù)分別為：n = 236和n = 316對應(yīng)的日期分別為 11 月 12 日和 1 月 31 日。在 11 月 12 日的情況下：對應(yīng)的N=316，E=15min19s，當(dāng)?shù)氐臑椋?2：09：37，當(dāng)?shù)氐臑闁|經(jīng) 105

46、6;915，緯度為 32°549，在四川省綿陽市附近。在 1 月 31 日的情況下：對應(yīng)的N=31，E=-13min30s，當(dāng)?shù)氐慕?jīng) 112°2130，緯度為 32°549，在為：12：38：26，當(dāng)?shù)氐氖∠尻柺懈浇闁|，左圖為 11 月 12 日，右圖 1 月 31 日：圖 10. 直桿所在地在北半球和太陽直射點在南半球結(jié)果示意2. 直桿所在地在南半球和太陽直射點在北半球時：=-32°549，=17° 3717。通過該太陽直射點和 5.1 中的太陽直射點推導(dǎo)公式, 算得 = 49.557°或 = 130.443°相對應(yīng)的

47、太陽距離春分（3 月 21 日）的運行天數(shù)分別為：n = 51和n = 135對應(yīng)的日期分別為 5 月 11 日和 8 月 3 日。在 5 月 11 日的情況下：對應(yīng)的N=131，E=3min11s，當(dāng)?shù)氐臑椋?2：21：45，當(dāng)?shù)氐臑闁|經(jīng) 108°1115，緯度為-32°549，在在 8 月 3 日的情況下：洋上靠近澳大利亞。對應(yīng)的N=215，E=-5min51s，當(dāng)?shù)氐臑椋?2：30：47，當(dāng)?shù)氐臑闁|經(jīng) 110°2645，緯度為-32°549，在洋上更靠近澳大利亞的地方。，左圖為 5 月 11 日，右圖 8 月 3 日：圖 11.直桿所在地在南半球和

48、太陽直射點在北半球結(jié)果示意18（3）結(jié)果分析及檢驗:這兩組附件的都是符合生活經(jīng)驗的。對于附件 2 中的數(shù)據(jù)，由于在時間正午后影長仍在減短，則可以該地一定位于西側(cè)，且有一定的時差，而正好符合這一特點。對于附件 3 中的數(shù)據(jù)，可以此地和的精度差不是太大，因此最后和四川的也是合理的。5.4 問題四：（1）模型的建立：由于此題的附件并不是直觀的數(shù)據(jù)，因此首先我們應(yīng)該通過對進(jìn)行處理，得到以一分鐘為的 41 張圖片，緊接著再將這些圖片轉(zhuǎn)化為灰度圖，得出其灰度矩陣。經(jīng)過人工識別，我們得到桿子與的坐標(biāo)，通過比例得到影長。一系列的灰度矩陣中之前在 5.1 的論述中，我們已經(jīng)得到了長度關(guān)于各個參數(shù)的變化規(guī)律。對于

49、本問題第一問，桿子長度l，長度 l 影均為已知，太陽直射點緯度亦可利用 5.1 中的公式根據(jù)拍攝日期計算得到，所以，可沿用 5.2 的思路，根據(jù)影長與各個參數(shù)的變化規(guī)律，即可求出未知量及未知量 t，解出即可得到直桿所處地點的緯度，解出t 和時間（東八區(qū)區(qū)時）的差值即可得到直桿所處地點的。而對于第二問，桿子長度 l，長度 l影均為已知，但由于拍攝日期未知，太陽直射點緯度亦是未知數(shù)，因此t、數(shù)，通過 5.3 的思路進(jìn)行求解，并和第一問的結(jié)果進(jìn)行分析比對。利用附錄 3 中的代碼，我們可通過將處理為圖片，共 41 張，在編寫代碼時，應(yīng)注意到將放置在安裝目錄下的 bin 文件夾中，并將工作目錄設(shè)置為在bin 下，否則無法，同時由于是 25 幀/秒，因此截取圖片時循環(huán)步數(shù)我們設(shè)置為：25 幀/秒×60 秒=1500。之后，再利用附錄 4 中的代碼，上面圖片截取重要部分，并轉(zhuǎn)化為了灰度圖，得到灰度矩陣，灰度圖及灰度矩陣的均為 1080×1920，所以我們僅利用循環(huán)截取了桿子及兩部分的圖像。這里選取其中幾張灰度圖進(jìn)行展示，因灰度矩陣過于冗長，在此不予展示。圖 12.部分灰度圖舉例示意19（2）模型求解：首先必須通過灰度矩陣得出的長度。經(jīng)過人工處理附件中的灰度矩陣，逐漸得出桿子終點與終點的坐標(biāo)。經(jīng)過處理后可以