第一章1：輸入-輸出描述

1、 第一章第一章 線(xiàn)性系統(tǒng)的基本概念線(xiàn)性系統(tǒng)的基本概念 線(xiàn)性系統(tǒng)理論研究對(duì)象是由物理系統(tǒng)中抽象出的線(xiàn)性模型系統(tǒng)。?？捎每驁D來(lái)形象地表示一個(gè)系統(tǒng)：它既有輸入信號(hào)（例如電壓），也有輸出信號(hào)（例如位移）。 從這個(gè)框圖已經(jīng)可以看出：一個(gè)系統(tǒng)在激勵(lì)下的響應(yīng)事實(shí)上完全是由系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)確定的。因此，對(duì)系統(tǒng)的描述就成為一切控制系統(tǒng)分析和綜合的出發(fā)點(diǎn)。 系統(tǒng)系統(tǒng)輸入輸出 描述一個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)可能并不困難。例如，考慮如下的R-C電路：cyu則根據(jù)物理定律可立即寫(xiě)出它的數(shù)學(xué)模型：ccyyutt11= -+&一旦掌握了其數(shù)學(xué)模型，事實(shí)上就掌握了系統(tǒng)在任意輸入下的響應(yīng)。 從這個(gè)簡(jiǎn)單的例子，我們至少可以看出如下幾點(diǎn)

2、：為了設(shè)計(jì)一個(gè)性能優(yōu)良的控制系統(tǒng)，必須了解被控對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即系統(tǒng)在一定的內(nèi)外條件下產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)。對(duì)于物理系統(tǒng)，內(nèi)外條件與運(yùn)動(dòng)之間存在著固定的因果關(guān)系，可用數(shù)學(xué)形式表示出來(lái)，這就是數(shù)學(xué)模型；控制系統(tǒng)中需要處理的物理現(xiàn)象往往是電、磁、光、 熱傳導(dǎo)及剛體、彈性體、流體的運(yùn)動(dòng)等。這些物理量的運(yùn)動(dòng)規(guī)律大多可用微分方程 ( 偏微分方程）和代數(shù)方程來(lái)描述。3. 對(duì)于許多實(shí)際的工業(yè)控制系統(tǒng)，由于構(gòu)成復(fù)雜和未知因素的影響， 利用物理定律來(lái)建模有時(shí)并不現(xiàn)實(shí)。 在工業(yè)控制系統(tǒng)中，對(duì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述常用的方法有兩種：輸入輸入/輸出描述輸出描述和狀態(tài)空狀態(tài)空間描述間描述。 輸入/輸出描述的是系統(tǒng)的外部特性。在工程上簡(jiǎn)便

3、易行，得到廣泛應(yīng)用； 狀態(tài)空間描述包括了系統(tǒng)的內(nèi)外部特性，是 一種全面的描述方法。由于獲得了系統(tǒng)的全 面信息，故可設(shè)計(jì)出性能良好的系統(tǒng)。但在許多情況下，得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述是困難的。 總之，兩種描述方法各有其優(yōu)缺點(diǎn)，如何應(yīng)用應(yīng)視具體研究對(duì)象而定。 11 系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)的輸入輸出描述輸出描述 一、輸入一、輸入 / / 輸出描述輸出描述黑箱黑箱輸入 ui輸出 yi 系統(tǒng)的輸入/輸出描述是建立在這樣的基礎(chǔ)上的：我們不知道系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息，唯一可測(cè)量的量是系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)。此時(shí)我們可以將系統(tǒng)視為一個(gè)“黑箱”：我們能做的，只是通過(guò)向該黑箱施加各種類(lèi)型的輸入并測(cè)量與之相應(yīng)的輸出，然后從這些輸入/輸

4、出對(duì)中得出系統(tǒng)的重要特性。于是可以引入多變量和單變量系統(tǒng)的定義：定義定義11 當(dāng)且僅當(dāng)p = q = 1時(shí)，系統(tǒng)稱(chēng)為單變量單變量系統(tǒng)系統(tǒng)。否則稱(chēng)為多變量系統(tǒng)多變量系統(tǒng)。 例如，我們?cè)诮?jīng)典控制論中就主要討論的是單變量系統(tǒng)。而且，直觀地看， 多變量系統(tǒng)的分析和12,Tppuuuu uR R12Tqqyyyy yR R 在以上系統(tǒng)框圖中，我們看到，一個(gè)系統(tǒng)可能有多個(gè)輸入和多個(gè)輸出。一般地，我們可用向量來(lái)表示系統(tǒng)的輸入和輸出：黑箱黑箱uy設(shè)計(jì)應(yīng)較單變量系統(tǒng)來(lái)得困難。但事實(shí)上，無(wú)論是多變量系統(tǒng)還是單變量系統(tǒng)，其分析和控制律設(shè)計(jì)的復(fù)雜程度主要取決于我們對(duì)該系統(tǒng)的了解。例如，即使是如下的單變量系統(tǒng)：3212

5、3 pkyusssaaa若對(duì)其參數(shù)一無(wú)所知，它的控制律設(shè)計(jì)就會(huì)復(fù)雜得多，而穩(wěn)定性的分析事實(shí)上是無(wú)法進(jìn)行的。 二、初始松弛的概念二、初始松弛的概念 考察簡(jiǎn)單的一階系統(tǒng)：00ccyyuttl= -+=&容易得到其解()0( )(0)( )tttccy teyeudlltttucy顯然，若其初始條件 不能確定，則由輸入 u 就不能唯一地確定其輸出。從工程應(yīng)用的角度，由于u 一般是控制量，這意味著此時(shí)我們無(wú)法知道輸出中哪些部分是由控制引起的，哪些是由初始條件（儲(chǔ)能）引起的，也就是說(shuō)，難以知道控制u 對(duì)系統(tǒng)的影響。(0)cy()0( )( )ttcy teudlttt 對(duì)于一個(gè)任意的物理系統(tǒng)，假

6、定其在 處的儲(chǔ)能為零，或者說(shuō)，在 處于松弛狀態(tài)或靜止?fàn)顟B(tài)總是合理的。這樣就引入了初始松弛的概念： 在經(jīng)典傳遞函數(shù)描述中，我們總假定系統(tǒng)的初始條件為零，這樣，就可以由輸入唯一地確定輸出：從能量的角度看，yc(0)表示從 到t=0這個(gè)時(shí)間段內(nèi)系統(tǒng)的儲(chǔ)能。其中，H是某一算子 ，通過(guò)它由系統(tǒng)的輸入唯唯一地一地規(guī)定了系統(tǒng)的輸出。式（11）也可用下面等價(jià)的寫(xiě)法表示： 根據(jù)前面的分析，對(duì)于一個(gè)松弛系統(tǒng)，自然就有y=Hu (11)(,)( )(,)(12 ) yuHtt定義：定義：稱(chēng) 時(shí)松弛或靜止的系統(tǒng)為初始松弛系統(tǒng)或簡(jiǎn)稱(chēng)為松弛系統(tǒng)。12( ,)t tf一般地， 表示一個(gè)定義在（t1, t2)上的函數(shù)。關(guān)于算

7、子關(guān)于算子H: : 傳遞函數(shù)是最容易理解的（線(xiàn)性）算子：( )( ) ( )y sH s u s它將復(fù)數(shù)域上的信號(hào) 映射成復(fù)數(shù)域中的信號(hào) ，可記為：( )u s( )y s: ( )( ) ( )Hu sH s u s0( )() ( )ty th tudttt在實(shí)數(shù)域上，這樣的算子H 事實(shí)上是如下的卷積運(yùn)算：:HuH uh u0, 0( )() ( ),0, tty tH uH uh tudtt ttt即：在許多控制論的分支中（例如自適應(yīng)控制等），這樣的算子 表達(dá)方式是常見(jiàn)的。 三、三、 線(xiàn)性線(xiàn)性 1 1 線(xiàn)性系統(tǒng)的定義線(xiàn)性系統(tǒng)的定義否則稱(chēng)為非線(xiàn)性系統(tǒng)。 從工程應(yīng)用的角度，（13）還可以等價(jià)

8、地寫(xiě)成：定義定義12 一個(gè)松弛系統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任何輸入 和 ，以及任何實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）和 ，有1u2u1212121212()(13)HuuHuHu疊加原理疊加原理可加性可加性: :1212()H uuHuHu齊次性齊次性: :11() uuaaH HH H討論：討論：滿(mǎn)足疊加原理是一個(gè)系統(tǒng)是否為線(xiàn)性系統(tǒng)的唯一判別準(zhǔn)則。疊加原理一般限制為有限項(xiàng)的和。如果不引入附加的假設(shè)，一般不能推廣到無(wú)窮項(xiàng)的和。在下面的分析中將會(huì)看到，疊加原理將導(dǎo)致系統(tǒng)分析的簡(jiǎn)化。例例：考慮Laplace 變換：: ( )( )f tF sL試證明Laplace 變換是一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)。證明證明：顯然。例例：考慮如下微

9、分方程決定的系統(tǒng)：32( ),0, (0)(0)0 xxxf ttxxfxH證明這是一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)。事實(shí)上，因?yàn)?( )() ( )tx tH fh tfdttt則易于驗(yàn)證1 12 2112212(),HffH fH faaaaa aR例例：考慮單變量系統(tǒng)：2( ),(1)0( )(1)0,(1)0i fi futu ty tu tu t容易驗(yàn)證，該系統(tǒng)滿(mǎn)足齊次性，但不滿(mǎn)足可加性，因此，不是線(xiàn)性系統(tǒng)。2 2 線(xiàn)性松弛系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)線(xiàn)性松弛系統(tǒng)的脈沖響應(yīng) 首先我們引入 函數(shù)或脈沖函數(shù)的概念。脈動(dòng)函數(shù)(Pulse function) :圖12t1/t1 t1+1111101()0 t tt ttt

10、tt td110()lim() ttttdd其極限形式就是脈沖函數(shù)(Impulse function, or Dirac function)，簡(jiǎn)稱(chēng) 函數(shù): 函數(shù):在 t1 時(shí)刻產(chǎn)生的一個(gè)作用時(shí)間無(wú)限短、幅值無(wú)窮大，且滿(mǎn)足1110,()1 ttt t dteeed 的信號(hào)。t1tt1()t td函數(shù)的重要性質(zhì)：采樣性，即對(duì)在t1連續(xù)的任何函數(shù) f (t)，有11( ) ()( )f tt t dtf td 用(t-ti)近似表示信號(hào)：每一連續(xù)或分段連續(xù)的輸入u()均可用一系列脈動(dòng)函數(shù)來(lái)近似，如圖所示：( )( )()iiiu tu ttt因 此 ，tn( )()nnu tt tu(t)( )()

11、( ), ,)iiiiiu tt tu ttt t 線(xiàn)性系統(tǒng)y=Hu的脈沖響應(yīng)函數(shù)： ()()()()()()()()(17)iiiiiiiiiyH uHtt u tHtt u tHttu t常 數(shù)可 加 性齊 次 性()Htdt 稱(chēng)為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)，它的物理意義是在 時(shí)刻對(duì)松弛系統(tǒng)施加一個(gè)脈沖函數(shù)而得到的系統(tǒng)的輸出。t() ()yHtud dttt(1-8)令 當(dāng) 時(shí)，求和號(hào)變成了積分號(hào)， 變成了 ，（17）式成為 0 ()it t()tdtitt 脈沖響應(yīng)又可表示為下列雙變量的函數(shù)： ( , )gtt 中的變量 表示函數(shù)加于系統(tǒng)的時(shí)刻，而第一個(gè)變量為觀測(cè)輸出的時(shí)刻。在不引起概

12、念混亂的情況下，(1 9)可以寫(xiě)成：()(,)(191)Htgdtx t()( ,)(19 )Htgdtt()(,)()ygudxx ttt 其中， 是觀測(cè)時(shí)刻。利用式（19 1）可將（18）改寫(xiě)為 ( )( ,)()(110)y tg tudttt 或 脈沖響應(yīng)矩陣：若一個(gè)初始松弛的線(xiàn)性系統(tǒng)，具有p 個(gè)輸入端和 q 個(gè)輸出端，則（110）式可相應(yīng)地推廣為( )( , ) ( )yGuttdttt111212122212( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )ppqqqpq pg tg tg tg tg tgttg tgtg tGtt

13、tttttttt其中 這里，gij(t, ) 的物理意義是：只在第 j 個(gè)輸入端于時(shí)刻 加脈沖信號(hào)，而其它輸入端不加信號(hào)，此時(shí)在第i個(gè)輸出端于時(shí)刻t 的響應(yīng)。 若系統(tǒng)在時(shí)刻t 的輸出不取決于 t 之后的輸入，而只取決于時(shí)刻 t 和在 t 之前的輸入則稱(chēng)系統(tǒng)具有因果性。 任何實(shí)際的物理系統(tǒng)都是具有因果性的。通俗地說(shuō)，任何實(shí)際物理過(guò)程，結(jié)果總不會(huì)在引起這種結(jié)果的的原因發(fā)生之前產(chǎn)生，即未來(lái)的輸入（原因）對(duì)過(guò)去和現(xiàn)在的輸出（結(jié)果）無(wú)影響。四、因果性四、因果性 有因果性的松弛系統(tǒng)：有因果性的松弛系統(tǒng)：其輸入和輸出的關(guān)系可以寫(xiě)成(, ( )(,)(112) y yu uH Httt即：t 時(shí)刻的輸出而只取

14、決于 t 和在 t 之前的輸入。 具線(xiàn)性和因果性的松弛系統(tǒng)：具線(xiàn)性和因果性的松弛系統(tǒng)： 必有( , )0,(,)(1 13) Gtttt t故具線(xiàn)性和因果性的松弛系統(tǒng)的輸入輸出描述為：( )( ,)()(114)yGutttdttt例：例：在數(shù)學(xué)上通常引入截?cái)嗨阕颖硎疽蚬?。定義 截?cái)嗨阕尤缦拢? ),( )()( )0,u tty tP u ttaaa如下圖所示：( )u tP ( ( )u ta試說(shuō)明因果性可用截?cái)嗨阕觼?lái)表示，即H表示的系統(tǒng)是具有因果性的，系指如下的關(guān)系成立： ()()(*)TTTTPH uPH Pu( )() TTTTPyPH Pu(*)式左端的輸入比右邊多了 的一段，而

15、輸出在t T 是一樣的，這說(shuō)明 的輸入對(duì) 的輸出無(wú)影響，即未來(lái)的輸入對(duì)過(guò)去和現(xiàn)在的輸出無(wú)影響這恰恰就是因果性。 t Tt Tt TtatuTuyHtTH utuTuyH()( )TTPH uPy( )TPutT( )TTPH Pu()()(*)TTTPH uPH PuT未來(lái)的輸入是零或非零對(duì)過(guò)去和現(xiàn)在的輸出均無(wú)影響 T0時(shí)刻松弛系統(tǒng)的定義：時(shí)刻松弛系統(tǒng)的定義：五、五、t t0 0 時(shí)刻的松弛性時(shí)刻的松弛性定義定義1313 系統(tǒng)在時(shí)刻 t0稱(chēng)為松弛的，當(dāng)且僅當(dāng)輸出0,)y yt0,) u ut 僅唯一地由 所決定。 若已知系統(tǒng)在 t0時(shí)松弛，則其輸入輸出關(guān)系可以寫(xiě)成 00,),)ttyuH進(jìn)而，

16、若系統(tǒng)為線(xiàn)性系統(tǒng)，則上式可表示為00( )( , ) ( ), y yG Gu utttdttttt特別，若系統(tǒng)還是因果系統(tǒng)，則有00( )( , ) ( ), y yG Gu uttttdttttt例例: : 考慮系統(tǒng)01, ( )0,cccyyuy tt= -+=&01()0( )( ),ttcty teudtttttt其解為這顯然是一個(gè)在 t0 時(shí)刻松弛的線(xiàn)性因果系統(tǒng)，因?yàn)?完全由 決定。0( ), ,) cy ttt0( ), ,) u ttt例例: : 考慮系統(tǒng)cccyyuy tt已知01, ( )0,= -+&0011()()00( )( )( ),tt ttcct

17、y tey teudttttttt其解為盡管這個(gè)系統(tǒng)的輸出可以被唯一地確定，但卻不是一個(gè)在 t0 時(shí)刻松弛的系統(tǒng)，因?yàn)?不能完全由 來(lái)決定。0( ), ,) cy ttt0( ), ,) u tttucyH000( )( , ) ( )( , ) ( )( , ) ( )y yG Gu uG Gu uG Gu uttttdtdtdttttttttt例：例：若一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)滿(mǎn)足 ，則系統(tǒng)必定在t0時(shí)刻松弛。事實(shí)上，0(,)0tu u0000,),)( )( , ) ( ), yuy yG Gu uH Htttttdttttt這就是t0時(shí)刻松弛的定義。例例: : 考慮一個(gè)單位延遲系統(tǒng)( )(1),(

18、,) y tH uu tt容易驗(yàn)證H一個(gè)線(xiàn)性算子。雖然可以有0(,)0tu u 但 僅是系統(tǒng)必定在t0時(shí)刻松弛的充分條件，而不是必要條件。00( )0,1, )(1) u tttts0( )0,(,1) u ttt但若則系統(tǒng)在t0時(shí)刻是松弛的。事實(shí)上，為了由 唯一地確定 ，必須要知道 的信息：0,)ty0,)tu001,)ttut0t0-1u(t)0( )(1),y tH uu ttty(t)顯然，若 未知，則 ，從而， 不能唯一地被 確定。001.)ttu00,1)t ty0,)ty0,)tut0t0-101tt0時(shí)刻是松弛系統(tǒng)的判斷時(shí)刻是松弛系統(tǒng)的判斷( )( ,)()Guy yttdtt

19、t定理定理1111由下式描述的系統(tǒng)0,)0 。y yt在t0是松弛的，必要且只要隱含著0,)0tu u證明：證明：必要性：若系統(tǒng)在t0時(shí)刻是松弛的，則輸出當(dāng)t= t0 時(shí)由00( )( , ) ( ), y yG Gu utttdttttt給出。顯然，00, )00( )( , ) ( )0,ttttdttttt u uy yG Gu u充分性：我們要證明：若00, ), )00u uy ytt則系統(tǒng)在t0時(shí)刻是松弛的。事實(shí)上，由于000( )( ,)()( ,)()( ,)(),ttttdtdtdtttttttttttGuGuGuy y000,),)000( , ) ( )0ttttdttt

20、tt Gu由，uyuy證完。證完。 定理1表明，若一個(gè)系統(tǒng)是線(xiàn)性系統(tǒng)，為了確定其是否在t0時(shí)刻松弛，無(wú)須知道系統(tǒng)t0時(shí)刻以前的歷史。00000( )( ,)()( ,)()( ,)()( ,)(),tttttdtdtdtdttttttttttttttGuGuGuGu y y 定理11雖然給出了判斷t0時(shí)刻是否松弛的規(guī)則，但是在實(shí)用中想要從t0到+來(lái)觀測(cè)輸出并不現(xiàn)實(shí)。下面的推論將給出判斷t0松弛的一個(gè)實(shí)用條件。 ( ,)( )()GMNtttt則系統(tǒng)在t0松弛的一個(gè)充分條件是對(duì)于某個(gè)固定的正數(shù)， 意味著 。00,)0u ut te00,)0y yt te( )M Mt, 且中每一個(gè)元素在上是解析

21、解析的(注1),( , )tG推論推論1111 若系統(tǒng)脈沖響應(yīng)陣可以分解成注：注：由于只是一個(gè)固定的正數(shù)，故推論較定理1-1在工程意義上是可以操作的。定理定理：若函數(shù) f 在 開(kāi)區(qū)間D上解析，已知函數(shù)在D中任意小的非零區(qū)間上恒為零，則函數(shù)在D上恒為零。 （利用所謂解析開(kāi)拓的方法可以證明）f(t)稱(chēng)為在( a,b)是解析的，若f(t)在該區(qū)間上具有任意階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且對(duì)于( a,b)中任一點(diǎn)t0，存在一個(gè) ，使得對(duì) 中所有t， f(t) 可表示成t0處的泰勞級(jí)數(shù):00000(,)tt()000()( )()nnttf tftn！補(bǔ)充：實(shí)變量解析函數(shù)補(bǔ)充：實(shí)變量解析函數(shù)例如：多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦

22、函數(shù)等均是實(shí)數(shù)域上的解析函數(shù)。注：注：需要注意的是實(shí)變量解析函數(shù)與復(fù)變量解析函數(shù)的區(qū)別：若f(t)是一個(gè)復(fù)變函數(shù)，只要f(t)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則f(t)必具有任意階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，因而必定就是解析函數(shù)。但實(shí)變量解析函數(shù)則不同，即使一個(gè)實(shí)變量函數(shù)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，其二階導(dǎo)數(shù)也不一定存在，即使存在也不一定連續(xù)。D中恒為零的區(qū)域 D1 D()1( )0( )0nf ttftD D010,0,teD D00000( )00()( )0,(,)(nnft tf tttttnee ！D000( )( , ) ( )( , ) ( )( )( ) ( ),ttttdtdtdttttttttttt y yG

23、Gu uG Gu uM MN Nu u00( )( )( ) ( ),( .1)tttdttttt 即： y yM MN Nu uA推論的證明：推論的證明：只要證明由 意味著 可以推出00,)0ut te00,)0t tey y00( )( )( ) ( )0,tttdttttt yMNuyMNu就可以了。 為此，令 ，則0,)0tu u0000( )0M( )N( )u( )0G( , )u( )0,ttttttdtdtttttttt y y再由解析開(kāi)拓的原理知： 由于0( ) ( ):NucNuctdttt00,)0t tey y是一個(gè)常向量，則由M(t)為解析函數(shù)的假設(shè)蘊(yùn)涵y(t)在 也

24、是解析的。又由假設(shè)， 可推得 ，于是由(A.1)， 0 ,)t00,)0t teu u00( )( )0, ,)( .2)tttt te y yM Mc cA證完。證完。 推論11的結(jié)果之所以重要，是因?yàn)閷?duì)于任何滿(mǎn)足推論11條件的系統(tǒng)，其松弛性可以由任何非零時(shí)間區(qū)間上觀測(cè)輸出來(lái)確定。若在該區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)的輸出為零，則系統(tǒng)在該時(shí)刻是松弛的。 以后我們將證明凡可由有理傳遞函數(shù)陣或線(xiàn)性常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)，是滿(mǎn)足推論11的條件的。因此堆論11具有廣泛的實(shí)用價(jià)值。 例：例：設(shè)系統(tǒng)描述如下： x xAx+BuAx+Bu其中A、B均為適當(dāng)維數(shù)的常量矩陣。其解為00000()0()()0( )( )( ,

25、)( )( )( )ttt tttt ttttettdetedttttttA AA AA AxxGB uxxGB uxB uxB u若x(t0)=0，即系統(tǒng)在t0時(shí)刻的儲(chǔ)能為零，則系統(tǒng)是t0時(shí)刻初始松弛的，此時(shí)0()( )( )ttttedA AxB uxB uttt00,),)0ttu蘊(yùn)涵X X六、時(shí)不變性六、時(shí)不變性 如果一個(gè)系統(tǒng)的特性不隨時(shí)間而變化，則稱(chēng)系統(tǒng)是時(shí)不變的。確切地說(shuō)，一個(gè)松弛的時(shí)不變線(xiàn)性系統(tǒng)具有這樣的特性：輸入信號(hào)延遲 秒，其響應(yīng)也恰好延遲 秒，且波形不變。uytuyttt首先介紹位移算子Q 的概念。位移算子Q 的作用效果如圖15所示。經(jīng)Q 作用后的輸出等于延遲了 秒的輸入（

26、輸入和輸出的波形一樣，但輸出延遲了 秒。 1. 1. 位移算子和時(shí)不變系統(tǒng)的定義位移算子和時(shí)不變系統(tǒng)的定義utt圖15:Q uua 用數(shù)學(xué)式子可表示為： ( )( )u tQ u ta即對(duì)任意的t，有 ()()( )uu tu tu taa或成立(見(jiàn)以下的示意圖）。 utt圖15:Q uua( )u t( )u ta定義定義1414 松弛系統(tǒng)稱(chēng)為時(shí)不變的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任何輸入u 和任何任何實(shí)數(shù) ，有11 8（）QH uH Quaa成立。否則稱(chēng)為時(shí)變的。 這個(gè)定義恰恰放映了一個(gè)松弛的時(shí)不變線(xiàn)性系統(tǒng)的特性：輸入信號(hào)延遲 秒，其響應(yīng)也恰好延遲 秒。例例 ：試證：對(duì)于固定的，位移算子Q 是一個(gè)線(xiàn)性時(shí)不

27、變系統(tǒng)，并求它的脈沖響應(yīng)函數(shù)和傳遞函數(shù)。證明：證明： Q 的線(xiàn)性顯然。根據(jù)定義，只要證明對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有QQuQQubaab即可。事實(shí)上，()()()QQuQututQutQQubabaabaabb故系統(tǒng)是一個(gè)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)。脈沖響應(yīng)函數(shù)：()()Qttadtdta響應(yīng)的傳遞函數(shù)為()()stetadtaL2. 2.時(shí)不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)時(shí)不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù) 對(duì)線(xiàn)性松弛系統(tǒng)，若又具有時(shí)不變性，這時(shí)的脈沖響應(yīng)函數(shù)僅僅取決于加脈沖時(shí)刻 和觀測(cè)時(shí)刻 t 之差， ( , )()(,0)g tHg ttd xtt實(shí)際上，根據(jù)時(shí)不變性與線(xiàn)性有： (,)()()()(,)Qg tQHH QHg t

28、aaatd xtd xtd xtata( ,)( ,)Qg tg tatta即：t(, )g t tt(, )(,)Q g tg tatta=+tta+( , )g t( ,) g t這意味對(duì)于任何的 t、 都有( ,)(,)g tg tta ta這是因?yàn)?，根?jù)時(shí)不變的特性：輸入信號(hào)延遲 秒，其響應(yīng)也恰好延遲 秒。上式左邊說(shuō)明，系統(tǒng)的脈沖作用時(shí)刻 ，觀測(cè)時(shí)刻為t；而左邊等于右邊表明，對(duì)時(shí)不變系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，其脈沖響應(yīng)僅僅取決于觀測(cè)時(shí)刻 t 與脈沖作用時(shí)刻 的差。 at就可得特別，如取( ,)(, 0 ),g tg ttttt為了方便起見(jiàn)，今后把 記為 。 (,0)g t t()g tt( ,)(,）

29、g tg tttttggtgdtt(), (0)0,0+=-=&例：例：如下的松弛、因果、線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)：tg teg tttttt()(, )(),-=-3. 3. 推廣到多變量系統(tǒng)推廣到多變量系統(tǒng) 對(duì)于所有的t 和 有( ,)(,0)()GGGtttttt因而具線(xiàn)性、時(shí)不變性，在t0時(shí)刻松馳的因果系統(tǒng)，其輸入一輸出對(duì)滿(mǎn)足 0( )() ( )(119)Guy yttttdttt 在時(shí)不變的情況下，不失一般性，總可以選零作為初始時(shí)刻t0，即t0=0是開(kāi)始研究系統(tǒng)或開(kāi)始向系統(tǒng)提供輸入u的時(shí)刻，這時(shí)（119）式就變成下列卷積積分的形式： 0( )()()(120)Guy ytttdttt

30、例：例：系統(tǒng), (0)0,xAxBu xxRuRnp是一個(gè)在零時(shí)刻松弛線(xiàn)的性時(shí)不變系統(tǒng)。 事實(shí)上，微分方程的解為A A ( (G Gx xB Bu u)()0( )( )ttttedtttt-=144 42 444 30( )( )( )ststt edtYyy記L由拉氏變換的卷積定理，可得 ( )( ) ( )(122)sssyGu式中 0( )( )GGstste dt是脈沖響應(yīng)陣的拉氏變換，稱(chēng)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣。 本教材中所討論的傳遞函數(shù)陣，其元素都是s 的有理函數(shù)，這樣的傳遞函數(shù)陣稱(chēng)為有理函數(shù)矩陣。 七、傳遞函數(shù)陣和它的極點(diǎn)多項(xiàng)式七、傳遞函數(shù)陣和它的極點(diǎn)多項(xiàng)式 1. 1. 傳

31、遞函數(shù)陣：傳遞函數(shù)陣：對(duì)以下時(shí)不變系統(tǒng)進(jìn)行拉氏變換：0( )()()(120)Guy ytttdttt正則與嚴(yán)格正則：正則與嚴(yán)格正則：今后總假定 G(s) 的每一個(gè)元都已經(jīng)是既約形式，即每一個(gè)元的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式?jīng)]有非常數(shù)的公因式。 傳遞矩陣的零點(diǎn)和極點(diǎn)：傳遞矩陣的零點(diǎn)和極點(diǎn)：推廣經(jīng)典控制原理中關(guān)于傳遞函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)的概念，可以定義有理傳遞函數(shù)陣的零點(diǎn)和極點(diǎn)。有理函數(shù)陣零點(diǎn)和極點(diǎn)的等價(jià)定義很多，這里采用G(s)的不同子式來(lái)定義它的零點(diǎn)和極點(diǎn)。定義：定義： 一個(gè)有理傳遞矩陣G(s)稱(chēng)為是正則的，若 是一個(gè)非零的常量矩陣。G(s)稱(chēng)為是嚴(yán)格正則的，若 。 ( )G G( )0 G G定義定義1 15 5 G(s)所有不恒為零的各階子式各階子式的首一最小公分母稱(chēng)為G(s)的極點(diǎn)多項(xiàng)式。極點(diǎn)多項(xiàng)式的零點(diǎn)稱(chēng)為G(s)的極點(diǎn)。 定義中的“首一”表示一個(gè)多項(xiàng)式的最高冪次項(xiàng)的系數(shù)1。 假設(shè)：假設(shè)：G(s)是qp 有理函數(shù)陣，且G(s)的秩為r。 這里，一個(gè)傳遞矩陣的秩為r ，是指其不恒為零的最高階子式的階次。1101(1)(2)( )111122 Gssssssss根據(jù)定義15，可以計(jì)算出G(s)的一階子式的公分母為，(s+2)(s1)(s+2) 而G(s)的三個(gè)二階子式分別為（要寫(xiě)成既約形式?。?(1)(2)ss2(1)(1)(2)sss2(1)(2