電動(dòng)力學(xué)電動(dòng)力學(xué)二三(分離變量法)

1、1第三節(jié)第三節(jié) 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 分離變量分離變量法法2基本問題：電場由電勢描述基本問題：電場由電勢描述電勢滿足泊松方程電勢滿足泊松方程+ +邊界條件邊界條件只有在界面形狀是比輕簡單的幾何曲面只有在界面形狀是比輕簡單的幾何曲面時(shí)，這類問題的解才能以解析形式給出，時(shí)，這類問題的解才能以解析形式給出，而且視這體情況不同而有不同解法而且視這體情況不同而有不同解法本節(jié)和以下幾節(jié)我們研究幾種求解的解析方法本節(jié)和以下幾節(jié)我們研究幾種求解的解析方法具體的工作：解泊松方程具體的工作：解泊松方程3在許多實(shí)際問題中，靜電場是由在許多實(shí)際問題中，靜電場是由帶電導(dǎo)體決定的帶電導(dǎo)體決定的例如例如l電容器內(nèi)部的電

2、場是由作為電極的兩電容器內(nèi)部的電場是由作為電極的兩個(gè)導(dǎo)體板上所帶電荷決定的個(gè)導(dǎo)體板上所帶電荷決定的l電子光學(xué)系統(tǒng)的靜電透鏡內(nèi)部，電場電子光學(xué)系統(tǒng)的靜電透鏡內(nèi)部，電場是由分布于電極上的自由電荷決定的是由分布于電極上的自由電荷決定的這些問題的特點(diǎn)：自由電荷只出現(xiàn)這些問題的特點(diǎn)：自由電荷只出現(xiàn)在一些導(dǎo)體的表面上，在空間中沒在一些導(dǎo)體的表面上，在空間中沒有其他自由電荷分布有其他自由電荷分布4選擇導(dǎo)體表面作為區(qū)域選擇導(dǎo)體表面作為區(qū)域V的邊的邊界，界，V內(nèi)部自由電荷密度內(nèi)部自由電荷密度 0，泊松方程化為比較簡單的拉，泊松方程化為比較簡單的拉普拉斯方程普拉斯方程02 它的通解可以用分離變量法求出。拉它的通解

3、可以用分離變量法求出。拉氏方程在球坐標(biāo)中的通解為氏方程在球坐標(biāo)中的通解為 mRdRcmRbRaRmnmnnnmnnmmnmnnnmnnm)sin(cosP)cos(cosP,1,1 anm, bnm, cnm, dnm為任意常數(shù)為任意常數(shù)5若該問題中具有對稱軸，取此軸為極若該問題中具有對稱軸，取此軸為極軸，這種情形下通解為軸，這種情形下通解為 cosP1nnnnnnRbRa 6例例1 一個(gè)內(nèi)徑和外徑分別為一個(gè)內(nèi)徑和外徑分別為R2和和R3的導(dǎo)體球殼，帶電荷的導(dǎo)體球殼，帶電荷Q，同心地包圍，同心地包圍一個(gè)半徑為一個(gè)半徑為R1的導(dǎo)體球（的導(dǎo)體球（R1 R2），使這個(gè)導(dǎo)體球接地。求空間各點(diǎn)的，使這個(gè)導(dǎo)

4、體球接地。求空間各點(diǎn)的電勢和這個(gè)導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷。電勢和這個(gè)導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷。7這問題有球?qū)ΨQ性，電勢這問題有球?qū)ΨQ性，電勢不依不依賴于角度賴于角度和和。設(shè)導(dǎo)體殼外和。設(shè)導(dǎo)體殼外和殼內(nèi)的電勢分別為殼內(nèi)的電勢分別為12231 , ,RRRRdcRRRba 解解8邊界條件為：邊界條件為：（1）內(nèi)導(dǎo)體接地）內(nèi)導(dǎo)體接地0121 RRR （2）整個(gè)導(dǎo)體球殼為等勢體）整個(gè)導(dǎo)體球殼為等勢體3212RRRR （3）球殼帶總電荷）球殼帶總電荷Q，02221dd23 QRRRRRRRR 90 a01 Rdc32RbRdc 04Qdb 將通解代入邊界條件將通解代入邊界條件0121 RRR 3212RRRR 0222

5、1dd23 QRRRRRRRR 10由這些邊界條件得由這些邊界條件得011010104,4 ,44 , 0 QdRQcQQba 其中其中QRRRRQ131211131 利用這些利用這些值得電勢值得電勢的解的解)( .114)( ,41210123011RRRRRQRRRQQ 導(dǎo)體球上導(dǎo)體球上的感應(yīng)電的感應(yīng)電荷為荷為1220d1QRRRR 11例例2 電容率為電容率為的介質(zhì)球置于的介質(zhì)球置于均勻外電場均勻外電場E0中，求電勢。中，求電勢。12設(shè)球半徑為設(shè)球半徑為R0，球外為，球外為真空（如圖）。這問題真空（如圖）。這問題具有軸對稱性，對稱軸具有軸對稱性，對稱軸為通過球心沿外電場為通過球心沿外電場

6、E0方向的軸線，取此軸線方向的軸線，取此軸線為極軸。為極軸。球內(nèi)區(qū)域的電勢球內(nèi)區(qū)域的電勢 cosP12nnnnnnRdRc 解解 cosP11nnnnnnRbRa 球外區(qū)域的電勢球外區(qū)域的電勢13邊界條件：邊界條件：（1）無窮遠(yuǎn)處，）無窮遠(yuǎn)處， cosPcos1001RERE 因而因而)1( 0 ,01 naEan（2）R0處，處， 2為有限值，因此為有限值，因此0 nd（3）在介質(zhì)球面上，有）在介質(zhì)球面上，有21 RR 210 14則有則有 nnnnnnnnRcRbRE)(cosP)(cosP)(cosP010100 nnnnnnnnRncRbnE)(cosP)(cosP)1()(cosP1

7、002010 比較比較P1的系數(shù)得的系數(shù)得0120100RcRbRE 1030102cRbE 000130000123 ,2EcREb 可解出可解出其他其他Pn項(xiàng)的系數(shù)可解出為項(xiàng)的系數(shù)可解出為1 , 0 ncbnn15所有常數(shù)已經(jīng)定出，因此本問題的解為所有常數(shù)已經(jīng)定出，因此本問題的解為 cos23cos2cos000223000001RERRERE 在球內(nèi)總電場作用下，介質(zhì)的極化強(qiáng)度為在球內(nèi)總電場作用下，介質(zhì)的極化強(qiáng)度為 00000032EEEPe 介質(zhì)球的總電偶極矩為介質(zhì)球的總電偶極矩為 030000304234ERPRp 1表達(dá)式中的第二項(xiàng)正是這個(gè)電偶極矩所產(chǎn)生的電勢表達(dá)式中的第二項(xiàng)正是這

8、個(gè)電偶極矩所產(chǎn)生的電勢 cos24123000030RRERRp 16例例3 半徑為半徑為R0的導(dǎo)體球置于均的導(dǎo)體球置于均勻外電場勻外電場E0中，求電勢和導(dǎo)體上中，求電勢和導(dǎo)體上的電荷面密度。的電荷面密度。17用導(dǎo)體表面邊用導(dǎo)體表面邊界條件，照上界條件，照上例方法可解出例方法可解出導(dǎo)體球外電勢導(dǎo)體球外電勢 coscos23000RRERE 導(dǎo)體面上導(dǎo)體面上電荷面密電荷面密度為度為 cos30000ERRR 解解18例例4 導(dǎo)體尖劈帶電勢導(dǎo)體尖劈帶電勢V，分析它的尖角附近的電場。分析它的尖角附近的電場。19用柱坐標(biāo)系用柱坐標(biāo)系, 取取z軸沿尖邊軸沿尖邊, 柱柱坐標(biāo)下的拉氏坐標(biāo)下的拉氏方程為方程為

9、 20 , 011222rrrrr設(shè)設(shè) 的特解為的特解為 rR解解 200dddddd2222222 RrRrrRr把把 的特解疊加為通解形式為的特解疊加為通解形式為 sincos ln0000DCrBrADCrBA 則上式分則上式分解為兩個(gè)解為兩個(gè)方程方程 21在尖劈在尖劈 =0面上，面上， =V與與r無關(guān)，因此無關(guān)，因此 .0 0, 0 ,000 CBVCA因因r 0時(shí)時(shí) 有限，得有限，得. 00 BB在尖劈在尖劈 =2 - 面面上，上， =V與與r無關(guān)無關(guān)，必須，必須 02sin00 D因此因此v的可能值為的可能值為 2 , 1 ,2 nnn 22考慮這些條件，考慮這些條件， 可以重寫可以重寫 nnnnrAVsin 為了確定選定常數(shù)為了確定選定常數(shù)An, 還必須用還必須用某一大曲面包圍著電場存在的區(qū)某一大曲面包圍著電場存在的區(qū)域域, 并給定這曲面上的邊界條件。并給定這曲面上的邊界條件。23在尖角附近在尖角附近r 0 ，上式求和式的主要貢上式求和式的主要貢獻(xiàn)來自獻(xiàn)來自r的最低次冪的