第6章機(jī)械振動課件

1、1振 動2物體在一定的位置附近做來回往復(fù)的運(yùn)動。機(jī)械振動：振動：任何一個物理量在某個確定的數(shù)值附近作周期性的變化。波動：振動狀態(tài)在空間的傳播。任何復(fù)雜的振動都可以看做是由若干個簡單而又基本的振動的合成。這種簡單而又基本的振動形式稱為簡諧運(yùn)動。3xO6-1-1 簡諧運(yùn)動的基本特征 1.彈簧振子：一根輕彈簧和一個質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的振動系統(tǒng)。F胡克定律：（k為勁度系數(shù)）xkF6-1 6-1 簡諧運(yùn)動簡諧運(yùn)動x4恢復(fù)力： 始終指向平衡位置的作用力(1)在彈性限度內(nèi),彈性力F和位移x 成正比.(2)彈性力F和位移x 恒反向,始終指向平衡位置.由牛頓第二定律：xktxmF22ddxmktx22dd得令mk0dd2

2、22xtxtAxcos方程解為：5 2單擺重力對水平軸的力矩： sinmglM轉(zhuǎn)動定理: JM 2mlJ 22dd t222dd sintmlmglmgTOO即6 sin 0dd 22lgt很小得0sindd 22lgt令lg0dd222ttcos0方程解為：7bO OC Cmg3.復(fù)擺 重力力矩為： sinmgbM由轉(zhuǎn)動定理，并考慮小角度擺動 mgbmgbtJ sindd22令Jmgb2則復(fù)擺的動力學(xué)方程：0dd 222ttcos0方程解為：8xkF0dd222xtxtAxcos簡諧運(yùn)動的三項(xiàng)基本特征： 運(yùn)動的速度： )sin(ddtAtxvAmaxv加速度： )cos(dd2tAtavAa

3、2maxOTtxax, vAAavOA29tAxcos 周期T：完成一次全振動所經(jīng)歷的時間。A ：振幅 （最大位移，x =A ） ：角頻率 （圓頻率）頻率：單位時間內(nèi)完成全振動的次數(shù)。2T26-1-2 描述簡諧運(yùn)動的物理量10彈簧振子的頻率: mk21彈簧振子的周期: kmT22結(jié)論：振動系統(tǒng)的頻率和周期僅與系統(tǒng)本身的性質(zhì)有關(guān)，而與其他因素?zé)o關(guān)。 由振動系統(tǒng)本身的固有屬性所決定的頻率和周期稱為固有頻率和固有周期。 單擺周期:glT2lg21單擺頻率:11)2cos()sin(mttAtxvvdd 稱為速度幅。 速度相位比位移相位超前/2。Amv)cos()cos(m2tatAtaddv 稱為加

4、速度幅。 加速度與位移反相位。Aa2m ：振動的初相位 。( t + ) ：振動的相位 。12比較：tAacos2tAxcos結(jié)論：做簡諧運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，其加速度與位移恒成正比，而方向相反。 xa2即xtx222dd13解題方法由初始條件求解振幅和初相位：設(shè) t = 0時，振動位移：x = x0 振動速度：v = v0)(costAxcos0Ax )(sintAvsin0Av142020vxAcos0Ax sin0Av222222020)cos(sinAAxv00tanxv滿足上式的初相位可能有兩個值，具體取哪個值滿足上式的初相位可能有兩個值，具體取哪個值應(yīng)根據(jù)初始速度方向確定應(yīng)根據(jù)初始速度方向確

5、定。15例1 如圖,在光滑的水平面上,有一彈簧振子,彈簧的勁度系數(shù)為1.60N/m,振子質(zhì)量0.40kg,求在下面兩種初始條件下的振動方程.(1)振子在0.10m的位置由靜止釋放;(2)振子在0.10m處向左運(yùn)動,速度為0.20m/s. xmo解)(costAxrad/s20.401.60mk（1）0.10m2020vxA00tan00 xvt=0, x0=0.10m, v0=016（2）振動方程：m 2cos10. 0tx t = 0, x0 = 0.10m, v0 = -0.20m/sm20.12020vxAcos0Ax22cos40sin0Av4振動方程：m )42cos(210. 0t

6、x17例2 如圖,兩輕質(zhì)彈簧,彈性系數(shù)分別為k1和k2,兩滑塊質(zhì)量分別為M和m ,疊放在光滑的桌面上,M與兩彈簧連接著,M和m間存在摩擦,摩擦系數(shù)為.問m能跟隨M一起水平運(yùn)動,M的水平振動的最大振幅是多少?解gmmgamaxxkktxmM)(dd)(2122gkkmMaA212max Mm1k2kAa2maxmMkk212m隨M運(yùn)動最大加速度：運(yùn)動方程：18例3 如圖,靜止的彈簧振子質(zhì)量M=4.99kg,一子彈質(zhì)量m=10g以水平速度v0=1000m/s射入振子M并嵌入其中.彈簧的勁度系數(shù)k = 8103 N/m,水平桌面光滑,求振動系統(tǒng)的振動方程.xmoM0vrad/s40mMk解動量守恒：

7、 vmv)(0mM 2m/s v0cos0Ax2190sinAv2機(jī)械能守恒： 222121kAm)(Mv0.05m A振動方程： m )240(cos05. 0tx20 旋轉(zhuǎn)矢量A在 x 軸上的投影點(diǎn) M 的運(yùn)動規(guī)律：)cos(tAx結(jié)論：投影點(diǎn)M的運(yùn)動為簡諧振動。yx00tAPM6-1-3 簡諧運(yùn)動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法21 旋轉(zhuǎn)矢量A旋轉(zhuǎn)一周，M點(diǎn)完成一次全振動。 旋轉(zhuǎn)矢量的模A：振幅 旋轉(zhuǎn)矢量A的角速度：角頻率 t = 0 時，A與x 軸的夾角 ：初相位。 旋轉(zhuǎn)矢量A與 x 軸的夾角( t+ )： 相位2T周期：yx0tAP PM22例4 一質(zhì)點(diǎn)沿x 軸作簡諧振動,振幅為0.12m,周期為2

8、s.當(dāng)t = 0時,位移為0.06m,且向x 軸正方向運(yùn)動.求:(1)振動方程;(2)如果在某時刻質(zhì)點(diǎn)位于x = -0.06m,且向x軸負(fù)方向運(yùn)動,從該位置回到平衡位置所需最短時間.解(1)簡諧振動表達(dá)式：已知：A =0.12m , T = 2 s ，rad/s2T初始條件：t = 0 時， x0 = +0.06 m , v0 0)(costAxtxcos12. 0230.06 =0.12 cos 3cos210sin0Av0sin3振動方程： m)3cos(12.0txyx33(2)設(shè)在某一時刻 t1， x = - 0.06 m)3(cos12. 006. 01t24343231或ts132

9、311ttyx3234s61123322tts65161112ttt21)3(cos1t用旋轉(zhuǎn)矢量法求解，直觀方便. 25例5 圖為質(zhì)點(diǎn)做簡諧振動的x-t 曲線，求振動方程。)(costAxcm)2(cos10txrad/s2Tcm10A2解A/cmx/stO101021由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知：266-1-4 簡諧運(yùn)動的能量)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222tkAkxEpkm2振子動能：振子勢能：xxOvm27諧振系統(tǒng)的總機(jī)械能：pkEEE)(costAxtAmE222ksin21tkAE22pcos21km22m222212121vmAmkAEtxEtpEOOkE28

10、（1） 振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間變化，但任一時刻總機(jī)械能保持不變。（2） 動能和勢能的變化頻率是彈簧振子振動頻率的兩倍。（3）頻率一定時，諧振動的總能量與振幅的平方成正比。（適合于任何諧振系統(tǒng)）結(jié)論：2p21kxE 彈性勢能pkEEEExOAApEkEE292kp21kAEEEEAkkxEAx4122121222p時：當(dāng)例6 當(dāng)簡諧振動的位移為振幅的一半時,其動能和勢能各占總能量的多少?物體在什么位置時其動能和勢能各占總能量的一半?解EEEE43pk220212121kAkxAx22030例7 如圖U型管中的液體總長度為L，求該液體振動起來后的圓頻率。解建立如圖坐標(biāo)系解法一液體受

11、到的回復(fù)力（重力）： Syg2SygtySL2dd22運(yùn)動方程： 02dd22yLgtyLg231解法二液面升高到 y 時的機(jī)械能： ESygytySL2)dd(21（常數(shù)） 對 t 求導(dǎo)，得： 0)dd(2)dd)(dd(22tyygtytyL02dd22yLgtyLg2321M2M例8 兩物體M1與M2質(zhì)量都為m,如圖用輕質(zhì)繩連接,M1放在光滑的桌面上,一端用輕質(zhì)的勁度系數(shù)為k的彈簧連接,M2通過輕質(zhì)滑輪豎直垂掛.當(dāng)彈簧為自然伸長時M1與M2的系統(tǒng)無初速度釋放.求彈簧最大伸長量,M1的最大速度及振動周期？ Ox解 設(shè)彈簧自然伸長處為原點(diǎn),建立如圖坐標(biāo)系 機(jī)械能守恒： 021dd22122m

12、gxkxtxm0ddtx彈簧伸長量最大：kmgx2max33系統(tǒng)機(jī)械能對t求導(dǎo),得： 022dd22gxmktx0dd22tx平衡位置Akmgx0平衡位置振子速度：212maxmax2ddkmgtxvmkA2maxvkmT22341.同一直線上兩個同頻率簡諧振動的合成 某一質(zhì)點(diǎn)在直線上同時參與兩個獨(dú)立的同頻率的簡諧運(yùn)動，其振動表達(dá)式分別表示為：)cos(111tAx)cos(222tAx6-2 6-2 簡諧振動的合成簡諧振動的合成6-2-1 簡諧振動的合成3521AAA21xxx)cos(tAx2x2A2xA 一個質(zhì)點(diǎn)參與兩個在同一直線上頻率相同的簡諧運(yùn)動，其合成運(yùn)動仍為簡諧運(yùn)動。結(jié)論：1xx

13、11A36)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinarctanAAAA,2, 1,02:)1(12kk若212122212:AAAAAAA則,2, 1,0)12(:)2(12kk若212122212:AAAAAAA則37例9 兩個同方向的簡諧振動曲線(如圖所示) （1）求合振動的振幅；（2）求合振動的振動方程。12AAA1AA解T20cos11A22110cos22A22222A)22cos(12tTAAx2由矢量圖:x2A1AT)(1tx)(2txtO382.同一直線上兩個頻率相近的簡諧振動合成 相對于 的轉(zhuǎn)動角速度：2A1A兩矢量同向重合時：合振動振幅

14、 極大A兩矢量反向重合時：拍現(xiàn)象：合振動的振幅時強(qiáng)時弱的現(xiàn)象121AxO212A121A2AAA合振動振幅 極小A3912122122T拍的周期：拍的頻率：從解析式來分析：)cos(11tAx)cos(22tAx)2cos(2cos2)cos()cos(12122121ttAtAtAxxx40ttAx2cos2cos212121212當(dāng)時tA2cos212隨時間作緩慢周期性變化的振幅拍周期：121222/T41423. 相互垂直的簡諧振動的合成 兩個同頻率相互垂直簡諧振動的合成 )cos(22tAy222sinsincoscosttAy)cos(11tAx111sinsincoscosttAx

15、)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxyx橢圓方程43討論：時或(1)2(0 1201212AAxAAy斜率0221AyAx2212AAA合振動的振幅 結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)在1、3象限做線振動yx44時 (2) 1201212AAxAAy斜率0221AyAx2212AAA合振動的振幅 結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)在2、4象限做線振動yx451222212AyAx結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)振動軌跡為正橢圓時 (3)2 12質(zhì)點(diǎn)沿橢圓軌跡順時針右旋運(yùn)動yx為什么是右旋運(yùn)動呢？46yyxx2A1A)4cos(2tAy)4cos(1tAx設(shè)：212471222212AyAx結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)振動軌跡仍為正橢圓時或(4)）23(

16、2 12質(zhì)點(diǎn)沿橢圓軌跡逆時針左旋運(yùn)動yx48（5 5） = =其他值時4901221: 當(dāng)兩個頻率成簡單整數(shù)比時，合振動的軌跡呈封閉穩(wěn)定的圖形李薩如圖 50兩個頻率比為1:2的簡諧運(yùn)動的合成 tAtAxxx2coscos2121x1x2xxtTT2 如果將一系列角頻率是某個基本角頻率 （亦稱主頻）的整數(shù)倍的簡諧運(yùn)動疊加，則其合振動仍然是以 為角頻率的周期性振動，但一般不再是簡諧運(yùn)動。 6-2-2 簡諧運(yùn)動的分解51xtO 一個以 為頻率的周期性函數(shù) f (t)，可以用傅里葉級數(shù)的余弦項(xiàng)表示為： 10)cos()(nnntnAAtf：主頻n：n 次諧頻tOxttttOOOO526-3-1 阻尼振

17、動 阻尼振動：振動系統(tǒng)在恢復(fù)力和阻力作用下發(fā)生的減幅振動。txFddv ：阻力系數(shù) 6-3 6-3 阻尼振動、受迫振動和共振阻尼振動、受迫振動和共振53OxxFxkFmmk2 ,20令0：振子的固有頻率 ：阻尼因子txkxtxmdddd22動力學(xué)方程0dd2dd2022 xtxtx54tAxt220cose方程解：2202T周期：tAxtcose220角頻率：tOxAA20255討論：tAxt220cose3.當(dāng)( 2 = 02)時,為“臨界阻尼”情況.是質(zhì)點(diǎn)不做往復(fù)運(yùn)動的一個極限.1.阻尼較小時( 2 02),振動從最大位移緩慢回到平衡位置,不作往復(fù)運(yùn)動.56a：小阻尼b：過阻尼c：臨界阻尼

18、57Oxx6-3-2 受迫振動和共振系統(tǒng)在周期性的驅(qū)動力持續(xù)作用下所發(fā)生的振動。受迫振動：驅(qū)動力：周期性的外力1. 受迫振動設(shè)：tFFcos0FxkFtFcos058tFtxkxtxmcosdddd022由牛頓第二定律mFfmmk0020,2,令tAtAxtcoscose02200方程的解：tfxtxtxcosdd2dd0202259穩(wěn)定后的振動表達(dá)式：tAxcos結(jié)論：受迫振動的頻率與驅(qū)動力的頻率相等。 受迫振動的振幅： 22222004fA結(jié)論：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅與外力幅值成正比。受迫振動的初相位： 2202arctan60共振：當(dāng)驅(qū)動力的頻率為某一特定值時，受迫振動的振幅將達(dá)到極大值的現(xiàn)象。