人教版八年級數(shù)學(xué)上冊-第十二章《全等三角形的綜合、角平分線》-講義-(有答案)

1、第7講 全等三角形的綜合、角平分線第一局部 知識梳理知識點(diǎn)一：全等三角形的綜合 平移全等型 對稱全等型 旋轉(zhuǎn)全等型 知識點(diǎn)二：角平分線的性質(zhì)、角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；、到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上它們具有互逆性角平分線是天然的、涉及對稱的模型，一般情況下，有以下三種作輔助線的方式：1 由角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，2 過角平分線上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形，3 ，這種對稱的圖形應(yīng)用得也較為普遍， 知識點(diǎn)三：角平分線的作法角平分線的作法尺規(guī)作圖以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA、OB于C、D兩點(diǎn)；分別以C、D為圓心，大于CD長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P

2、；過點(diǎn)P作射線OP，射線OP即為所求第二局部 考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)1、三角形全等綜合1、全等三角形實(shí)際應(yīng)用1、如圖，要測量河兩岸相對的兩點(diǎn)A、B間的距離，先在過B點(diǎn)的AB的垂線L上取兩點(diǎn)C、D，使CD=BC，再在過D點(diǎn)的垂線上取點(diǎn)E，使A、C、E在一條直線上，ED=AB這時(shí)，測ED的長就得AB得長，判定ACBECD的理由是A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS2、如圖，小強(qiáng)利用全等三角形的知識測量池塘兩端M、N的距離，如果PQONMO，那么只需測出其長度的線段是BAPO BPQ CMO DMQ 1 23、如圖，工人師傅要在墻壁的O處用鉆打孔，要使孔口從墻壁對面的點(diǎn)B處翻開，墻壁厚是

3、35cm，點(diǎn)B與點(diǎn)O的垂直距離AB長是20cm，在點(diǎn)O處作一直線平行于地面，在直線上截取OC=35cm，過C作OC的垂線，在垂線上截取CD=20cm，連接OD，然后，沿著D0的方向打孔，結(jié)果鉆頭正好從點(diǎn)B處打出這是什么道理？4、1805年，法軍在拿破侖的率領(lǐng)下與德軍在萊茵河畔激戰(zhàn)德軍在萊茵河北岸Q處，如下圖，因不知河寬，法軍大炮很難瞄準(zhǔn)敵營聰明的拿破侖站在南岸的點(diǎn)O處，調(diào)整好自己的帽子，使視線恰好擦著帽舌邊緣看到對面德國軍營Q處，然后他一步一步后退，一直退到自己的視線恰好落在他剛剛站立的點(diǎn)0處，讓士兵丈量他所站立位置B與0點(diǎn)的距離，并下令按照這個(gè)距離炮轟德軍試問：法軍能命中目標(biāo)嗎？請說明理由用

4、帽舌邊緣視線法還可以怎樣測量，也能測出河岸兩邊的距離嗎？5、某校七年級學(xué)生到野外活動，為測量一池塘兩端A，B的距離，甲、乙、丙三位同學(xué)分別設(shè)計(jì)出如下幾種方案： 甲：如圖，先在平地取一個(gè)可直接到達(dá)A，B的點(diǎn)C，再連接AC，BC，并分別延長AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后測出DE的長即為A，B的距離乙：如圖，先過點(diǎn)B作AB的垂線BF，再在BF上取C，D兩點(diǎn)，使BC=CD，接著過點(diǎn)D作BD的垂線DE，交AC的延長線于點(diǎn)E，那么測出DE的長即為A，B的距離丙：如圖，過點(diǎn)B作BDAB，再由點(diǎn)D觀測，在AB的延長線上取一點(diǎn)C，使BDC=BDA，這時(shí)只要測出BC的長即為A，B的距離1以上三

5、位同學(xué)所設(shè)計(jì)的方案，可行的有_；2請你選擇一可行的方案，說說它可行的理由2、證兩次全等相關(guān)問題1、: 如圖,AB=AE,BC=ED, B= E,AF CD,F 為垂足, 求證:CF=DF.2、：如圖，AB=CD，BC=DA，AE=CF求證：BF=DE3、如圖，AB=AD，BC=DE，且BAAC，DAAE，你能證明AM=AN嗎？3、探索兩線段的關(guān)系問題1、如下圖，AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC. 求證：1EC=BF；2ECBF.2、：如圖，ABC中，ADBC于D，E是AD上一點(diǎn)，BE的延長線交AC于F，假設(shè)BD=AD，DE=DC。求證：BFAC。3、如圖：BEAC，CFAB，BM=A

6、C，CN=AB求證：1AM=AN；2AMAN4、探索三線段的數(shù)量關(guān)系問題1、在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E。1當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：ADCCEB；DE=AD+BE；2當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；3當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明。2、：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，且B+D=180°，求證：AE=AD+BE3、四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，ADC+B=

7、180°，求證：2AE=AB+AD5、構(gòu)造全等三角形問題1、如圖，在ABC中，BD=DC，1=2，求證：AD平分BAC 2、如圖，ACBD，EA、EB分別平分CAB和DBA，CD過點(diǎn)E，那么AB與AC+BD相等嗎？請說明理由 3、：如圖，AD是ABC的中線，求證：AB+AC2AD4、如圖，RtABC中，BAC=90°，ADBC于D，BG平分ABC，EFBC，交AC于F，求證：AE=CF 考點(diǎn)2、角平分線的性質(zhì)例1、如圖，在RtABC中，A=90°，ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD=3，BC=10，那么BDC的面積是    

8、0;  例2、三角形ABC中，A=60°，那么內(nèi)角B，C的角平分線相交所成的角為       。例3、如圖，在ABC中，A=45°，C=75°，BD是ABC的角平分線，那么BDC的度數(shù)為 A60°       B70°         C75°      &#

9、160;      D105°例4、根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等來觀察以下圖：1OM是AOB的平分線，P是OM上的一點(diǎn)，且PEOA，PFOB垂足分別為EF，那么     =     這是根據(jù)“     可得POEPOF而得到的2如圖，ABC中，C=90°，AC=BC，AD平分CAB交BC于D，DEAB，垂足為E，AB=6cm，那么DEB的周長為     cm例5、

10、如圖，D、E、F分別是ABC的三條邊上的點(diǎn)，CE=BF，DCE和DBF的面積相等求證：AD平分BAC 例6、如圖，ABC中，A=60°，ACB的平分線CD和ABC的平分線BE交于點(diǎn)G求證：GE=GD舉一反三：1、到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的A 三條中線的交點(diǎn)              B 三條高的交點(diǎn)C 三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)    D 三條角平分線的交點(diǎn)2、如圖，RtABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線

11、AE交CD于H，EFAB于F，那么以下結(jié)論中不正確的選項(xiàng)是   ACH=HD    BACD=B     CCH=CE=EF    DAC=AF3、：如圖，ABCD，O為BAC、ACD的平分線的交點(diǎn)，OEAC于點(diǎn)E，假設(shè)兩平行線間的距離為6，那么OE=      2 34、：在等腰RtABC中，AC=BCC=90°，AD平分BAC，DEAB于點(diǎn)E，AB=15cm，1求證：BD+DE=AC2求DBE的周長5、如圖，ABC的周長是22，OB

12、、OC分別平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD=3，ABC的面積是多少？ 6、如圖，ABC中，ACB=90°，AD平分BAC，DEAB交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)DC=CAB求證：CF=BE；第三局部 課堂小測1、如圖：工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法是：如圖在AOB的邊OA，OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，得到AOB的平分線OP，做法中用到三角形全等的判定方法是 A、SSS B、SAS C、ASA D、HL2、如下圖，DEAB，DFAC，AEAF，那么以下結(jié)論成立的是  ABDCD    

13、 BDEDF    CBC    DABAC3、如圖，在ABC中，C=90°，BD平分ABC，交AC于點(diǎn)D；假設(shè)DC=3，AB=8，那么ABD的面積是 A3 B10 C12 D16 1 2 34、如圖，OP是AOB的平分線，PCOA于點(diǎn)C，PC=2，點(diǎn)D是邊OB上一動點(diǎn)，那么PD長度最小為     5、AD平分BAC，DEAB，AB=60，AC=50，ABC的面積是330，那么DE=     6、如圖BD是ABC的一條角平分線，AB=8，BC=4

14、，且SABC=24，那么DBC的面積是      4 5 67、小明用三角板按如下圖的方法畫角平分線，在AOB的兩邊分別取OC=OD，再分別以C、D為垂足，用三角板作OA、OB的垂線，交點(diǎn)為P，作射線OP，那么OP就是AOB的角平分線，你認(rèn)為小明的做法有道理嗎？請你給出合理的解釋8、：如圖，AD平分BAC，DEAB，DFAC，DB=DC，求證：ABC是等腰三角形9、：如下圖，AQ，BM，CN是ABC的三條角平分線試說明AQ，BM，CN交于一點(diǎn)10、小明和小亮在學(xué)習(xí)探索三角形全等時(shí)，碰到如下一題：如圖1，假設(shè)AC=AD，BC=BD，那么ACB與ADB有怎樣

15、的關(guān)系？1請你幫他們解答，并說明理由2細(xì)心的小明在解答的過程中，發(fā)現(xiàn)如果在AB上任取一點(diǎn)E，連接CE、DE，那么有CE=DE，你知道為什么嗎？如圖23小亮在小明說出理由后，提出如果在AB的延長線上任取一點(diǎn)P，也有第2題類似的結(jié)論請你幫他畫出圖形，并寫出結(jié)論，不要求說明理由如圖3第四局部 提高訓(xùn)練1、如圖AB=AE，ABAE，AD=ACADAC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求證：DE=2AM2、如圖，AC平分BAD，CMAB，且AB+AD=2AM，證明：ADC+ABC90° 。第五局部 課后作業(yè)1、如下圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方

16、法是帶 去玻璃店A、帶去， B、帶去 C、帶去 D、都帶去2、如圖，ABC的外角CBD和BCE的平分線相交于點(diǎn)F，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是A.點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上          B點(diǎn)F在BAC的平分線上CBCF是等腰三角形                DBCF是直角三角形3、如圖，在ABC中，C=90°，AD平分BAC，DEAB于E,DE=5，B

17、D=2CD,那么BC= A.20          B.15          C.10           D.5 1 2 34、如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，以下結(jié)論不一定成立的是 AAB=AD       BAC平分BCD CAB=

18、BD      DBECDEC5、如圖，點(diǎn)O是ABC的兩條角平分線的交點(diǎn)，假設(shè)BOC118°，那么A的大小是 。6、如圖，在ABC中，C是直角，AD平分BAC，交BC于點(diǎn)D。如果AB8，CD2，那么ABD的面積等于。 4 5 6 7、如圖ABC中，C=90°，AD平分BAC，DEAB于E，給出以下結(jié)論：DC=DE；DA平分CDE；DE平分ADB；BE+AC=AB；BAC=BDE其中正確的選項(xiàng)是      寫序號8、如圖，等邊ABC中，在頂點(diǎn)A、C處各有一只螞蟻，他們

19、同時(shí)出發(fā)，分別以同樣速度由A向B和由C向A爬行，經(jīng)過t秒后，他們分別到達(dá)D、E處請問兩只螞蟻在爬行過程中，1BE與CD有何數(shù)量關(guān)系，為什么？2DC與BE所成的BFC的大小是否發(fā)生變化？假設(shè)有變化，請說明理由；假設(shè)沒有變化，求出BFC9、如圖，OC是AOB的角平分線，P是OC上一點(diǎn)PDOA交OA于D，PEOB交OB于E，F(xiàn)是OC上的另一點(diǎn)，連接DF，EF求證：DF=EF10、如圖，點(diǎn) D 為等腰直角ABC 內(nèi)一點(diǎn)，CAD = CBD = 15°，E 為AD 延長線上的一點(diǎn). 且 CE=CA. (1)、求證：DE平分BDC；(2)、假設(shè)點(diǎn)M在DE上，且DC=DM. 求證：ME=BD.第7

20、講 全等三角形的綜合、角平分線第二局部 考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)1、三角形全等綜合1、全等三角形實(shí)際應(yīng)用1、B 2、B3、 4、 因此，按照BO的距離炮轟德軍時(shí)，炮彈恰好落入德軍Q處；如果拿破侖站在O處，只需轉(zhuǎn)過身來仍可用帽舌邊緣視線法測出河岸兩邊的距離5、2、證兩次全等相關(guān)問題1、 2、證明：ABC和CDA中，AB=CD，BC=DA，AC=CA，ABCCDA，ACB=CAD在BCF和DAE中，BC=DA，ACB=CAD，CF=AE，BCFDAE，BF=DE3、 3、探索兩線段的關(guān)系問題1、 2、 3、 4、探索三線段的數(shù)量關(guān)系問題1、證明：1ADC=ACB=90°， 1+2=3+

21、2=90°， 1=3又AC=BC，ADC=CEB=90°，ADCCEB；ADCCEB，CE=AD，CD=BE， DE=CE+CD=AD+BE2ACB=CEB=90°，1+2=CBE+2=90°，1=CBE又AC=BC，ADC=CEB=90°， ACDCBE， CE=AD，CD=BE，DE=CE-CD=AD-BE；3當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，AD、DE、BE所滿足的等量關(guān)系是DE=BE-AD或AD=BE-DE，BE=AD+DE等ACB=CEB=90°， ACD+BCE=CBE+BCE=9

22、0°， ACD=CBE，又AC=BC，ADC=CEB=90°，ACDCBE， AD=CE，CD=BE，DE=CD-CE=BE-AD。2、B+D=180°，3+4=180°，4=B，CM=CB，CEAB，ME=EB等腰三角形底邊上的高線與底邊上的中線重合，AE=AM+ME，AE=AD+BE3、證明：過C作CFAD于F，AC平分BAD，F(xiàn)AC=EAC，CEAB，CFAD，DFC=CEB=90°，AFCAEC，AF=AE，CF=CE，ADC+B=180°FDC=EBC，F(xiàn)DCEBCDF=EB，AB+AD=AE+EB+AD

23、=AE+DF+AD=AF+AE=2AE2AE=AB+AD5、構(gòu)造全等三角形問題1、 2、 3、證明：如圖延長AD到P使DP=AD,連接BP,PCAP=2AD.1)D為ABC的BC邊中線BD=DCAD=DP，BDP=ADC(對頂角BDPADC(SAS)AC=BP.2)在ABP中，AB+BP>AP兩邊之和大于第三邊由1、2得到 AB+AC>2AD4、 考點(diǎn)2、角平分線的性質(zhì)例1、   15   例2、   60°和120°   。例3、C 例4、

24、例5、例6、 舉一反三：1、D2、A 3、   3  4、解：1AD平分BAC，DEAB，C=90°，CD=DE，BC=BD+CD=BD+DE， AC=BC，AC=BD+DE；2CD=DE，AD=AD，C=AED=90°，ACDAED，AC=AE，AC=BD+DE，BD+DE=AE，BDE周長=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm5、 6、第三局部 課堂小測1、A 2、B  3、C 4、  2  5、   6   6、   8   7、 8、 9、證明：設(shè)BM，CN交于點(diǎn)P，過點(diǎn)