2020屆青浦二模試卷答案

1、青浦區(qū)2019學年高三年級第二次學業(yè)質量調研測試數(shù)學學科試卷(時間120分鐘，滿分150分)Q2020.05一、填空題(本大題滿分 54分)本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分考生應在答題 紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得分，否則一律得零分1 .已知全集U R ,集合A (,2),則集合QjA .2 .已知i為虛數(shù)單位，復數(shù) z 2 i的共軻復數(shù)z .一一1. 13 .已知函數(shù)f x 1 ,則方程f x 2的解x . x4 .若(ax 1)5的展開式中x3的系數(shù)是80,則實數(shù)a的值是.225 .雙曲線ay- 1的一個焦點到一條漸近線的距離是 .446.用一平面去截球

2、所得截面的面積為3冗cm2,已知球心到該截面的距離為 1cm,則該球的表面積是 cm2 .-1,117,已知x, y 0且x 2y 1 ,則一 一的最小值為 x yr r r8.已知平面向量 a,b滿足aur r r - r r(1, 1), |b| 1, |a 2b | J2,則 a與 b 的夾角為9.設a1,3,5 , b2,4,6 ,則函數(shù) f (x)1 口 一一 log b 一是減函數(shù)的概率為 ；x高三數(shù)學第14頁共11頁10 .已知函數(shù)f (x)Ux a ,若存在實數(shù)x0滿足f f (x。)x°,則實數(shù)a的取值范圍是11 .已知正三角形 ABC的三個頂點均在拋物線 x2 y

3、上，其中一條邊所在直線的斜率為4,則4 ABC的三個頂點的橫坐標之和為 .12 .定義函數(shù)f (x) x x ，其中x表示不小于x的最小整數(shù)，如1.42,2.32,當x (0, n n N 時，函數(shù)f (x)的值域為An,記集合An中元素的個數(shù)為an ,則an 二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有 4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.13 .已知 a,b R,則 “b 0” 是 “a2 b 0” 的 ().(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件14 .我國古代數(shù)學著作九

4、章算術中記載問題：“今有垣厚八尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”，意思是“今有土墻厚8尺，兩鼠從墻兩側同時打洞，大鼠第一天打洞一尺， 小鼠第一天打洞半尺， 大鼠之后每天打洞長度比前一天多數(shù)為 ().(A) 3(B) 4(C) 5(D) 622一倍，小鼠之后每天打洞長度是前一天的一半，問兩鼠幾天打通相逢？”兩鼠相逢需要的最少天15 .記橢圓y 1圍成的區(qū)域(含邊界)為n(n 1,2,L ),當點(x, y)分別在4 4n 11, 2,L上時，x y的最大值分別是 M1, M2,L ,則limMn ().n(A) 2 75(B) 4(C) 3(D) 27

5、216 .已知函數(shù)f(x) sinx 2sinx,關于x的方程f2(x) JJf(x) 1 0有以下結論：當a 0時，方程f2(x) Vaf(x) 1 0在0,2幾內最多有3個不等實根；64一 2.當0 a 時，方程f (x) Va f (x) 1 0在0,2冗內有兩個不等實根； 9若方程f2(x)Taf(x)10在0,6內根的個數(shù)為偶數(shù)，則所有根之和為15 7t.若方程f2(x)Vaf(x)10在0,6內根的個數(shù)為偶數(shù)，則所有根之和為36 7t.其中所有正確結論的序號是 ().三.解答題(本大題滿分 區(qū)域內寫出必要的步驟(A)(B)(C)(D)76分)本大題共有 5題，解答下列各題必須在答題

6、紙相應編號的規(guī)定2小題?茜分8分.17 .(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第如圖，在正四棱柱 ABCD ARCiDi中，B1AB 60 .(1)求直線AC與平面ABCD所成的角的大??；(2)求異面直線BQ與ACi所成角的大小.18.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題?黃分6分，第2小題滿分8分.已知函數(shù) f(x) 2sin(x 當 sinxcosx 73sin2x 3(1)若函數(shù)y f(x)的圖像關于直線 x a(a 0)對稱，求a的最小值；(2)若存在x 0,0,使mf(x0)2 0成立，求實數(shù)m的取值范圍.19 .(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題

7、滿分6分，第2小題?黃分8分.上海市某地鐵項目正在緊張建設中，通車后將給更多市民出行帶來便利.已知該線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔t (單位：分鐘)滿足 2 t 20, t N* .經(jīng)測算，在某一時段，地鐵載 客量與發(fā)車時間間隔t相關，當10 t 20時地鐵可達到滿載狀態(tài)，載客量為 1200人，當 2 t 10時，載客量會減少，減少的人數(shù)與 (10 t)的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為 2分鐘時 載客量為560人，記地鐵載客量為 p(t).(1)求P(t)的表達式，并求在該時段內發(fā)車時間間隔為6分鐘時，地鐵的載客量；(2)若該時段這條線路每分鐘的凈收益為Q 6ps-3360 360 (元)，問當

8、發(fā)車時間間隔為t多少時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大？20 .(本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題?茜分6分，第3小題滿 分6分.22已知橢圓C:x2%1(a b 0)的左、右焦點分別是 Fl, F2,其長軸長是短軸長的 2 a b倍，過 b且垂直于x軸的直線被橢圓 C截得的線段長為1.(1)求橢圓C的方程；(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，過點P作斜率為k的直線l,使得l與橢圓C有11且只有一個公共點，設直線PF1, PF2的斜率分別為k1, k2,若k 0 ,證明:二 為定值， kk1 kk2并求出這個定值；(3)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，設

9、 F1PF2的角平分線PM交橢圓C的長軸于點M m,0，求m的取值范圍.21.(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題?茜分6分，第3小題滿 分8分.對于無窮數(shù)列 an、 bn , n N*,若 bk max a1,a2,L ,ak min a),a2,L ,ak ,k N*，則稱數(shù)列 bn是數(shù)列 an的“收縮數(shù)列” .其中max &,a2,L a、min a，a2,L ,ak分別表示a1,a2,L ,ak中的最大項和最小項.已知數(shù)列an的前n項和為Sn ,數(shù)列bn是數(shù)列an的“收縮數(shù)列” .(1)若an 3n 1,求數(shù)列bn的前n項和；(2)證明：數(shù)列bn的“收

10、縮數(shù)列”仍是bn ;，、什n n 1 n n 1(3)右S1 S2 L Sn a1 bn n 1,2,3,L ，求所有滿足該條件的22數(shù)列an .青浦區(qū)2019學年第二學期高三年級第二次質量調研測試數(shù)學參考答案及評分標準2020.05說明:1 .本解答列出試題一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評分標 準的精神進行評分.2 .評閱試卷，應堅持每題評閱到底， 不要因為考生的解答中出現(xiàn)錯誤而中斷對該題的評閱.當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤，影響了后續(xù)部分，但該步以后的解答未改變這一題的內容和難 度時，可視影響程度決定后面部分的給分，但是原則上不應超出后面部分應給分數(shù)之半，如果

11、有較嚴重的概念性錯誤，就不給分.3 .第17題至第21題中右端所注的分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的該題分數(shù).4 .給分或扣分均以1分為單位.一.填空題（本大題滿分 54分）本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分考生應在答題 紙相應編號的空格內直接填寫結果.1. 2,；2. 2 i；3.4.2;5.2;6.7.8.16幾；329. 310.an12.14 'n(n 1)2二.選擇題（本大題滿分 20分）本大題共有4題,紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得13. A ； 14. B ；15 D ； 16.每題有且只有一個正確答案，考生應在答題 5分，否則一律得零分

12、.C .解答題（本大題滿分 74分）本大題共有 5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定 區(qū)域內寫出必要的步驟 17.（本題滿分14分）本題共2小題，第（1）小題6分，第（2）小題8分.解：（1）因為在正四棱柱 ABCD AB1clD1中，A1A 平面ABCD , A是垂足,所以 ACA是AiC與平面ABCD所成的角,設AB1,又正四棱柱ABCD A1B1clD1中,B1AB 60ABi2, BB 73 AA，AC /7 V2，tanaa.36 .、6ACA ACA arctan AC 、, 222AC與平面ABCD所成的角的大小為arctan 2（2）解一：如圖所示：連接 AC ,Q A

13、CiA ACBiCA是異面直線BiC與AiCi所成角,Q ABiBCcosBiCA_ _ 2_ 2_ 2B1c2 AC2 AB；2BiC AC,2BiCA arccos 4所以異面直線 B1c與人孰所成角的大小的大小為arccos 4i8.（本題滿分i4分）第（i）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分.解：（i） Q f x 2sinx sin x cosx 、3sin2x3sin x 3cosx sin xcosx 3sin2 x2sin x .3cosx cosx.3 sin2 x2sin xcosx 3 cos2 x.2 sin xsin 2x 3 cos2x 2sin_ 冗2x 一 ，3

14、Q2a 3k兀 2kzk7t 九，),k Z2 12又Qa 0的最小值為兀12（2）因為存在X00,12,使冷l/（毛）-2=0成立，所以fx0,即mfx02f X0sin 2x0QX0O'S2x0sin 2x01 又 sin 2x00,1,19.(本題滿分14分）本題共2小題，第（1）小題6分,2）小題8分.解:（1）由題意知p t1200 k 10 t1200,10,10t10N , （ k為常數(shù)）， P212002k 10 2120010, -P120010 1064k261200101200,102t ,2t 20t 1010t2200t1200,10200,2t 2010故當

15、發(fā)車時間間隔為(2)10 61040,6分鐘時，地鐵的載客量1040人.3360360 ,可得_2_6 10t200t 2003360t3840360,10 t t360,2 t20當2 t 10 時，Q 840 60 t36840t1060840 60384036,2360,10 t102012當且僅當t6等號成立;7200 3360當10 t 20時，Q 360 384 360 24 ,當t 10時等號成立，t由可知，當發(fā)車時間間隔為t 6分鐘時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大，最大為120元.20.（本題滿分16分）本題共3小題，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題6分.2

16、22解：(1)由于c2 a2 b2,將Xc代入橢圓方程 與 22 1,得y 2_,a ba由題意知2b_ 1 ,即a 2b2. a又 2 - , a2 b2 c2,所以 a 2, b 1.a 22所以橢圓C的方程為y2 1 .4(2)設 P(x0,y0)(y。 0),則直線 l 的方程為 y y° k(x x°).聯(lián)立得NV。 k(x x°)1) 022222 2整理得(1 4k2)x2 8(ky0 k2x0)x 4(y2 2kx0y0 k2x2222由題意得0,即(4 x2)k2 2x0y0k 1 y2 0 .x04y02又過 y2 1,所以 16y2k2 8x

17、0y0k x2 0,故k 4又知11x0,.3x032x0k1k2y°y°y°所以111 114y02x,kk.kk2k k1k2x0y0因此11為定值，這個定值為8.kk1kk28,(3)設 P(x0,y°)(y00),又 '(lPF1 : y0x (x03) y ' 3y0百,0) , F2(73,0),所以直線PF1, PF2的方程分別為0 , lPF2 : y0x (x0 3) y ''/3y00 -|my03y0|由題意知22“0 (%=3)|my0,，3丫0|.y2 (x° ，3)2由于點P在橢圓上，

18、所以瓦y2 1 .4所以因為|m 、.3|23xo.3x 2x022、,3m . 3.3 mxo 2，可得 33V3，2 xo22 3 xo所以3 m-xo4因此3 m221.（本題滿分18分）本題共3小題，第（1）小題4分,第（2）小題6分，第（3）小題8分.解:(1)由 an 3n1可得an為遞增數(shù)列，所以bnmax a1, a2, L , anmin a1, a2 ,L ,anan a13n 1 23n 3,n(0 3n 3) 3n n 1bn 的前n項和為(2)因為 max a1,a2,L ,an max a1,a2,L ,an 1 n1,2,3, Lmin所以max a1 ,a2,L

19、 ,an 1 min a1,a2,L , an 1 maxa1，a2,L ,anmin a1,a2, L , an所以bn 1bn n 1,2,3, La1，a2,L ,anmin a，a2,L , an 1 n 1,2,3, Lbi,b2,L ,bn所以bn的收縮數(shù)列”仍是bn(3)S2Sn1-bn n1,2,3,L 可得又因為 bi a1 a 0 ,所以 max bibL ,bnmin1時,2時,2 ala2a2 a1,所以a2a1；當 n 3 時，3a1 2a2 a36a13b3,即3b32 a2a1a3a1（*）,若aia3a2,則4a24 ,所以由（*）可得a3a2,與a3a2矛盾;若 a3a1a2,則 b3a2a3,所以由（*