2020年高考新題型專題07數列(1)(解析版)

1、專題07數列（1）多項選擇題1. （2019秋?泉州期末）記號為等差數列an的前n項和.若ai+3a5=Sz,則以下結論一定正確的是（）A.a4=0B.Sn的最大值為S3C.S1 =S6D.|a3|v|a5|【分析】利用等差數列的通項公式求和公式及其性質即看到此得出.【解答】解：設等差數列an的公差為d,則a1+3 （a+4d） =7a+21d,解得a1= - 3d,所以 an= a1+ （n-1） d= （n-4） d,所以 a4=0,故 A 正確；因為S3- S1= 5a4= 0,所以S1 = S6,故C正確；由于d的正負不清楚，故 S3可能為最大值或最小值，故 B不正確；因為 a3+a5

2、 = 2a4= 0,所以 a3= - a5,即 |a3|= |a5|,故 D 錯誤.故選：AC.2. （2019秋？齊寧期末）設等比數列an的公比為q,其前n項和為Sn,前n項積為Tn,并滿足條件a1>1,a2019a2020> 1,。2019 : V0,下列結論正確的是（）?2020 -1A . S2019 Vs2020B . S2019 s2021 1 V 0C. T2019是數列Tn中的最大值D.數列 Tn無最大值【分析】本題由題意根據題干可得a2019>1, a2020<1,從而有a1>1, 0vqv1,則等比數列an為正項的遞減數列.再結合等比數列的性質

3、逐一核對四個命題得答案即可得到正確選項.【解答】解：等比數列an的公比為q,其前n項和為Sn,前n項積為Tn,并滿足條件ao>1,a2019a2020> 1, J019 : <0, , , a2019> 1, 0va2020<1, 0vqv1. ?020 -1根據a1>1, 0vqv1,可知等比數列an為正項的遞減數列.即 a1>a2> >a2019>1 > 22020> >0.S2020 S2019= a2020 >0, S2019Vs2020,故選項 A 正確;- S2oi9= ai+a2+ a2oi9&g

4、t; 1, S2019?S2021 = S2019? ( S2019 + a202O+a2021 )=?019 + S2019? ( a2020+a2021)>?019 > 1 -即S2019?S2021 - 1 >0.故選項B錯誤；根據 a1> a2> >a2019>1 >a2020 > >0.可知T2019是數列Tn中的最大項，故選項 C正確、選項D錯誤.故選：AC.3. （2019秋?荷澤期末）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數：1, 1,2,3, 5,其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，后來

5、人們把這樣的一列數組成的數列an稱為 斐波那契數列”，記Sn為數列an的前n項和，則下列結論正確的是（）A . a6 = 8B. S7=33C. a+a3+a5+ 22019= a2020D.?+?2+?+? 2019?2019=?020【分析】根據數列的特點，求出其遞推關系式；再對每一個選項逐個檢驗即可【解答】解： A.由 a = a2, a3 = a4-a2, a5=a6-a4,可得 a6=8成立;B.由 a=a2, a3=a4a2, a5 = a6- a4, 可得 a6 = 8, a7=13;S7= 1 + 1+2+3+5+8+13 = 33 成立；C. 由a=a2,a3= 34-32,

6、a5 = a6-a4, ,22019=2202022018,可彳導:a+a3+a5 +22019= a2020.故a1+a3+a5+22019是斐波那契數列中的第2020項.即答案C成立；D.斐波那契數列總有 2n+2= an+1 + an,則？ = ?, ? = ?(?- ?) = ? - ?, ? = ?(?- ?) = ?- ?,?018 = ?018(?019 - ?017)= ?018 ?019 - ?017 ?018 ,?019 = ?019 ?020 - ?019 ?018 ；?+?+?+? + ?019 =?019 ?020 ；即答案D成立故選：ABCD.4.（2019秋？齊寧

7、期末）若Sn為數列2n的前n項和，且Sn = 2an+1, （nC N*）,則下列說法正確的是 （）A . 25= - 16B. S5= - 63C.數列an是等比數列D.數列Sn+1是等比數列【分析】先利用已知條件得到數列an是首項為-1,公比為2的等比數列，即可判斷各個選項的正誤.【解答】解：= Sn=2an+1, （nCN*）,，當 n= 1 時，ai=Si = 2ai+1,ai= - 1,?當 n>2 時，an=Sn-Sni = 2an+1 _2ani_ 1,2an-1 = an,= = 2,? ?-1，數列an是首項為-1,公比為2的等比數列，故選項 C正確，？?= -2 ?-

8、1 , ?=（二2=1 - 2? ?= -2 4 = -16 , ?= -（1-： 5） = -31 ,故選項 A 正確，選項 B 錯誤， 1-2又.？?+ 1 = 2- 2?, .數列Sn+1不是等比數列,故選項 D錯誤,故選：AC.5. （2019秋？！博期末）在遞增的等比數列an中，Sn是數列an的前n項和，若aia4=32,a2+a3=12,則下列說法正確的是（）A. q= 1B.數列Sn+2是等比數列C. S8=510D.數列l(wèi)gan是公差為2的等差數列【分析】本題先根據題干條件判斷并計算得到q和ai的值，則即可得到等比數列 an的通項公式和前n項和公式，則對選項進行逐個判斷即可得到

9、正確選項.【解答】解：由題意，根據等比中項的性質，可得a2a3= aia4= 32>0, a2+a3 = 12>0,故 a2>0, a3>0.根據根與系數的關系，可知a2, a3是一元二次方程 x2 - 12x+32 = 0的兩個根.解得 a2= 4, a3= 8,或 a2= 8, a3=4.故必有公比q>0, .? - * ai= > 0.?等比數列an是遞增數列，q>1.3=4, a3= 8滿足題意.，q = 2，a1= ?=2.故選項A不正確.an=a<qn=2n.Sn=* = 2n+1- 2. Sn+2 = 2n+1 = 4?2nl.數歹

10、USn+2是以4為首項,2為公比的等比數列.故選項 B正確.S8=28+1-2=512-2=510.故選項C正確.-lgan=lg2n=n.，數列l(wèi)gan是公差為1的等差數列.故選項 D不正確.故選：BC.6. （2019秋？聊城期末）已知數列an滿足a1=1, ?+ = 2+短（?？ C ?夕），則下列結論正確的有（A.1-+ 3為等比數列 ? ?B.1an的通項公式為？?= 2?+13C.an為遞增數列D.梟 的前n項和？冽=2?+2 - 3? 4【分析】首先利用定義求出數列的通項公式，進一步求出數列的和.【解答】解：數列an滿足 a1=1, ?+1 = 2+短（？6?），整理得：2an+

11、1+3anan+1 = an,1轉換為二+?1?+1113= 2(?+ 3)，故:故:?加+1+31=?+31%+ 3 = ? ?2（常數），所以+ 3是以、+ 3 = 4為首項，2為公比的等比數歹U. ? ? 114?2?-1 = 2?+1,整理得?=會k2-3則:an為遞減數列.步整理得：工=2?+1 - 3,?所以方的前 n 項和：？?二2:-3?= 2?+2- 3?- 4,故選：ABD.則下列結7. （2019秋湊安期末）設等差數列an的公差為d,前n項和為Sn,若a3=12, S12>0, Si3<0,論正確的是（A.數列an是遞增數列8. S5=6024C - 了v?箕

12、-3D. Si, S2,，S12中最大的是S6【分析】利用等差數列的通項公式求和公式及其性質即可判斷出結論.【解答】解：依題意，有Si2=12ai+ 122口%>0,13X 12,Si3= 13ai+ 工一?d<0,化為：2ai+11d>0, ai+6dv0,即 a6+a7> 0, a7< 0,a6> 0.由a3= 12,得ai=12-2d,聯(lián)立解得-24 Vdv - 3.等差數列an是單調遞減的.Si, S2,，Si2中最大的是 S6.S5=5(? +?2)=5a3= 60 .綜上可得：BCD正確.故選：BCD .8.(2019秋砌蘆島期末)已知數列an中

13、，ai=1,an+i- ?= (1 +?%n N*.若對于任意的tC1 , 2,不等式？?<- 2?- (?+ 1)?+ ?- a+2恒成立，則實數a可能為()A.- 4B. - 2C. 0D. 2【分析】由已知數列遞推式可得篇- ?= ,廣I?-高，進一步得到?!<2,則原不等式可轉化為00 00一,r ?(1)<02t2+ (a+1)t- a2+awo在 tC 1 , 2上恒成立，構造函數 f(t) = 2t2+ (a+1) t- a2+a, tC 1 , 2,可得” 0 ?八，?(2) 0 0求解不等式組得答案.【解答】解：由an+1-?=(1 +?)0彳導an+i-1

14、?=?1?1?+1?111-=一一.?_ ? ?-1?-1. ?= ( ?- ?-1) + ( ?-1?+1?(?+1)?+1'?-2、ttt) + ? + ? + (a2ai) +ai,?-21?-1I。+(?-21 、，1、_ 1_而)+ + (1- 2) +1 = 2- ?V2,不等式?v - 2?-(?+ 1)?+ ?- a+2 恒成立，2<- 2t2- (a+1) t+a2-a+2,2t2+ (a+1) t-a2+awq 在 t C 1 , 2上恒成立,設 f (t) = 2t2+ (a+1) t-a2+a, te 1 , 2,?(1)= 2 + ?+ 1 - ? +

15、?< 02,斛得?(2)= 8 + 2(?+ 1) - ? + ?< 0實數a可能為-4, - 2.故選：AB.9. （2019秋礎坊期末）設數列an是等差數列，$是其前n項和，a1>0且S6=S9,則（A. d>0B. a8=0C. S7或S8為Sn的最大值D. S5>S6【分析】由a1>0且S6=S9,利用求和公式可得：a8 = 0, d<0,即可判斷出結論.【解答】解：a1>0 且 S6=S9,6a+ 一d=9a1+?d,化為：a+7d=0,可得 a8=0, d<0.S7或S8為Sn的最大值，S5<S6.故選：BC.10. （2

16、019秋Z閏州區(qū)校級期末）對于數列 an,若存在正整數 k （ k>2）,使得ak< ak 1, akVak+1,則稱ak 是數列an的谷值”，k是數列an的谷值點”，在數列an中，若?= |?+ 9?- 8,下列數不能作為數 列 an的谷值點”的是（）A. 3B. 2C. 7D. 5【分析】根據數列的通項公式，求得a1到a8,利用定義即可判斷.【解答】解：由?= |?+ ?- 8|,則 a1=2, a2= 3, a3= 2,a4= 7, a5=6,a6=1,a7= 2, a8=245278所以n=2, 7是數列an的谷值點”當n = 3, 5不是數列an的 谷值點”，故選：AD.

17、11. （2019秋？隹安期末）已知數列an是等比數列，那么下列數列一定是等比數列的是（）A?C. an?an+1B . log 2anD . an+an+1 + an+2【分析】本題先根據題意設等比數列an的公比為q （qw機 則an=a1?qn1.然后對AB選項先求出通項然后進行觀察即可判斷，對 CD兩個選項可根據等比數列的定義法進行判斷.【解答】解：由題意，可設等比數列an的公比為q （qwQ,則an=ai?qn 1對于 a： 1= _L?t= L?（1）n 1,?3? ?-1? ?數列。是一個以？為首項，M公比的等比數列； ? 1對于 B: log2an=log2 (a1?qn 1)

18、= log2a1+ (n1) log2q.，數列l(wèi)og 2an是一個以log2a1為首項，log2q為公差的等差數列;對于 c： J?+1?+2=%=寧=q2, ?+1?一.數列an&n+1是一個以q2為公比的等比數列;對于D：.?+1+?+2+?+3 _ '?+?+1+?+2 =?(?+?+1+?+2)?9？?+1+?+2二q,，數列 an + an+1 + an+2是一個以q為公比的等比數列.故選：ACD.12. （2019秋情通期末）設等差數列an的前n項和為Sn,公差為d.已知aa=12, S12>0, a7<0,則（）A . a6 > 024B. -

19、 y<?C - 3C. SnV0時，n的最小值為13D.數列梟中最小項為第7項【分析】S12>0, a7<0,利用等差數列的求和公式及其性質可得：a6+a7>0, a6>0,再利用a3=a1+2d= 12,可得-24Vdv- 3. a1>0,利用S3=13a7<0.可得Sn0時，n的最小值為13.數列襦中，n<6時?!>0.7*1冊,?!<0, 21對, ?|>0.進而判斷出D是否正確.【解答】解：S2>0, a7<0,12(?6+?7)2>0,a1+6d<0.a6+ a7> 0, a6> 0

20、.-2a1+11d>0, a1+5d>0,又= a3=a1+2d= 12,24 -<d< - 3. a1>0.S13=13(?i +?13)2=13a7<0.，Sn0時，n的最小值為13.數列*中，nW6時，2>0, 7而wi2M,警<0, n>13寸，”>0.?對于：7句W1冊，-<0. Sn>0,但是隨著n的增大而減??；an<0,但是隨著n的增大而減小，可得： K<0,但是隨著n的增大而增大.n = 7時，號取得最小值. -綜上可得：ABCD都正確.故選：ABCD.13. （2019秋班州期末）已知數列an

21、的前n項和為3,且Sn=2 （an - a）（其中a為常數），則下列說法正 確的是（）A .數列an 一定是等比數列B .數列an可能是等差數列C.數列Sn可能是等比數列D.數列Sn可能是等差數列【分析】結合已知可得 an=2an-1, n>1,然后結合a是否為0可進行判定是否滿足等差或等比.【解答】解：S = 2 （ana）,當 n>1 時可得，Sn 1 = 2 （an-1-a）,兩式相減可得，an=2an-1, n>1,又 n=1 時，S = 2（a1- a）可得，a1=2a,若a = 0時，數列an不是等比數列，而是等差數列，其各項都為0,和也為等差數列當awo時，數列

22、an是等比數列，不是等差數列，而非常數性等比數列的前n項和不是等比，故選：BD.14. （2019秋 滁州期末）等差數列an的前n項和為Sn,若a1>0,公差dwQ則下列命題正確的是 （）A.若 S5=S9,則必有 S14=0B.若S5=S9,則必有S7是Sn中最大的項C.若 S6>S7,則必有 S7>S8D.若S6>S7,則必有S5>S6【分析】根據題意，結合等差數列的性質依次分析選項，綜合即可得答案.【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于 A,若 Ss= S9,必有 S9 S5= a6+a7+a8+a9= 2( a7+a8)= 0,貝U a7+a8= 0,

23、Si4= (:-14)=(；-8)= 0,A正確；對于B，右S5= Ss,必有S9- S5= a6+a7+a8+a9= 2 (a7+a8)=0,又由ai >0,則必有 S7是Sn中最大的項，B正確；對于 C,若 S6 >S7,則 a7= S7- 86V 0,又由 ai > 0,必有 d< 0,則 a8= S8- S7< 0,必有 S7> S8, C 正確；對于D,若S6>S7,則a7=Sr-S6V0,而a6的符號無法確定，故S5>S6不一定正確，D錯誤；故選：ABC.15. (2019秋旗云港期末)已知等比數列an中，滿足ai=1,公比q=-2,

24、則()A .數列2an+an+1是等比數列B.數列an+1 - an是等比數列C.數列anan+1是等比數列D.數列l(wèi)og 2|an|是遞減數列【分析】由題意利用查等比數列的定義、通項公式、性質，判斷各個選項是否正確，從而得出結論.【解答】解：.等比數列an中，滿足a1=1,公比q=- 2,an=1X( 2) n 1= ( 2) n 1.由此可得2an+an+1 = 2? (- 2)1+(-2) n=0,故 A 錯誤；an+1 - an=(-2)n- (-2)n-1=-3?(-2)n-1,故數列an+1 - an是等比數列，故B 正確；anan+1 = ( - 2)1( - 2) n= ( -

25、 2) 21,故數列 anan+1是等比數列，故 C 正確；log2|an|=log22n 1=nT,故數列l(wèi)og 2|an|是遞增數,故 D 錯誤, 故選：BC.16. (2019秋麻坊期末)已知等比數列 an的公比？?= - f,等差數列bn的首項b1 = 12,若a9>b9且a10> 3b10,則以下結論正確的有()A . a9?a10< 0B. a9> a10C. b10> 0D . b9> b10【分析】設等差數列的公差為d,運用等差數列和等比數列的通項公式分析A正確，B與C不正確，結合條件判斷等差數列為遞減數列，即可得到D正確.【解答】解：數列a

26、n是公比q為-2的等比數列，bn是首項為12,公差設為d的等差數列， 3則？ = ?（-1）8, ?0 = ?（- 3）9a9?aio= ?2(- 2)17v0,故 A 正確；3.ai正負不確定，故 B錯誤；.aio正負不確定，由aio> bi。，不能求得bi。的符號，故C錯誤；由 a9>b9且 aio>bi。，貝U ai (- 2)8>i2+8d, ai (- 1) 9>i2+9d, 33可得等差數列bn一定是遞減數列，即 d<0,即有a9>b9>bi。，故D正確.故選：AD.17. (2。2。?山東學業(yè)考試)已知數列an為等差數列，首項為i,

27、公差為2,數列bn為等比數列，首項為i,公比為2,設?= ?,Tn為數列cn的前n項和，則當TnV20i9時，n的取值可以是下面選項中的 ()A. 8B. 9C. i0D. ii【分析】由已知分別寫出等差數列與等比數列的通項公式，求得數列Cn的通項公式，利用數列的分組求和可得數列Cn的前n項和Tn,驗證得答案.【解答】解：由題意，an=i+2 (n i) =2ni, ?= 2?-i ,?= ?務? =2?2n J i = 2n-i,則數列Cn為遞增數列,其前 n 項和 Tn= (21 一 i) + (22 i) + (23-D + (2n i)=(2+22+2n) - n= 2(i-2 ? -

28、 ?= 2n+i - 2 - n. i-2當 n = 9 時，Tn=i0i3v20i9;當 n=i。時，Tn=2036>20i9.，n的取值可以是8, 9.故選：AB.18. (20i9秋?泰州市校級月考)設等比數列an的公比為q,其前n項的和為sn,前n項的積為Tn,并滿足條件ai> i a2019a2。2。> i,。79 ； <。,下列結論錯誤的是()?2020 -iA . S20i9 > S2020B. a20i9. a202i - i > 0C. T2020是數列Tn中的最大值D.數列 Tn無最小值【分析】推導出a20i9>i, 0va2020

29、i, 0vqvi,由此能求出結果.【解答】解：.等比數列an的公比為q,其前n項的和為sn,前n項的積為Tn,并滿足條件 ai > 1 a2019a2020> 1, ：019 ； <0,?020 -1a2019> 1, 0< a2020< 1, ，0vqv1,在 A 中，: 320200,. S2019Vs2020,故 A 錯誤；在 B 中，32019> 1 , 32021 - 1< 0,. 32019. 32021 - 1 < 0,故 B 錯誤；，丁2019是數列Tn中的最大項，故 C錯誤；在D中，數列Tn無最小值，故D正確.故選：ABC.19. （2019秋福熟市校級月考）等差數列3n中，若S6VS7且S7>S8,則下面結論正確的是（）A. 31 >0B. S9VS6C. 37 最大D. （Sn） m3x= S7【分析