大一高數(shù)知識點

1、第一節(jié) 空間向量及其線性運算x橫軸y縱軸z豎軸 定點o空間直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手系. .即以右手握住z軸，當(dāng)右手的四個手指從正向x軸以2 角度轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向.一、空間點的直角坐標(biāo)xyozxoy面yoz面zox面空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限空間的點有序數(shù)組),(zyx 11特殊點的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐標(biāo)軸上的點,P,Q,R坐標(biāo)面上的點,A,B,C設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點點

2、xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空間兩點間的距離,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M結(jié)論：設(shè)),(111zyxA和),(222zyxB為兩已知點，點M為線段AB上的一個點，且 MBAM，則 M(x, y, z)的坐標(biāo)分別為：ABMxyzo,121 xxx,1

3、21 yyy.121 zzzM為為有有向向線線段段AB的的定定比比分分點點.M為為中中點點時時，,221xxx ,221yyy .221zzz 向量：既有大小又有方向的量. .向量表示：以以1M為為起起點點，2M為為終終點點的的有有向向線線段段.1M2M a21MM模長為1 1的向量. .21MM00a零向量：模長為0 0的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的大小. .單位向量：三、向量的概念或或或自由向量：不考慮起點位置的向量. .相等向量：大小相等且方向相同的向量. .負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量. .a 向徑：aba a空間直角坐標(biāo)系中任一點 與原點構(gòu)成的向量. . OMM

4、baba/,即即平平行行于于向向量量向量的共線、共面向量的共線、共面的的夾夾角角，垂垂直直與與向向量量ba空間兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab 向量a與向量b的夾角),(ba ),(ab 0() 四、向量的線性運算1 1 加法：符合平行四邊形法則，也稱為三角形法則22 減法 3 3 數(shù)乘設(shè) 是一個數(shù)，向量a與 的乘積a 規(guī)定為, 0)1( a 與與a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反反向向，|aa 數(shù)乘符合下列運算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：aaa )(baba )(.,/, 0zzyyxxabababababa

5、即即使使，存存在在唯唯一一的的實實數(shù)數(shù)則則向向量量設(shè)設(shè)向向量量定定理理 兩個向量的平行關(guān)系空間一向量在軸上的投影uAA BB 已已知知向向量量的的起起點點A和和終終點點B在在軸軸u上上的的投投影影分分別別為為BA ,那那么么軸軸u上上的的有有向向線線段段BA 的的值值，稱稱為為向向量量在在軸軸u上上的的投投影影.ABjuPr向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影記記為為五、向量的坐標(biāo)xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的的單單位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在 軸上的投影x 向量在 軸上的投影y 向量在 軸上的投影z12xxax 12y

6、yay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：在三個坐標(biāo)軸上的分向量：,kajaiazyx向量的坐標(biāo)：,zyxaaa向量的坐標(biāo)表達(dá)式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：,zyxOM 非零向量 的方向角：a非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 六、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式xyzo 1M 2M 由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模長的坐標(biāo)表示式21212121RMQMPMMM 0222 zyxaaa當(dāng) 時，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式1coscoscos222 方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為例 1 求平行于向量)2 , 2 , 1(