高等數(shù)學(xué)D11_1對弧長曲線積分

1、第十一章積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū) 間 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線弧曲線弧曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的計(jì)算法二、對弧長的曲線積分的計(jì)算法對弧長的曲線積分 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 AB一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長構(gòu)件在空間所占弧段為AB , 其線密度為),(zyx“大化小,

2、 常代變, 近似和, 求極限” kkkks),(可得nk 10limM為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè) 是空間中一條有限長的光滑曲線,義在 上的一個(gè)有界函數(shù), kkkksf),(都存在,),(zyxf 上對弧長的曲線積分,記作szyxfd),(若通過對 的任意分割局部的任意取點(diǎn), 2. .定義定義是定),(zyxf下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.),(zyxf稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對目錄 上頁

3、下頁 返回 結(jié)束 如果 L 是 xOy 面上的曲線弧,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是閉曲線 , 則記為.d),(Lsyxf則定義對弧長的曲線積分為思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問Ls(2) 定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例 ? 否! 對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負(fù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfd),() 1 ( （, 為常數(shù))szyxfd),()2( 由 組成) 21,則上設(shè)在),(),()3(zyxgzyxf( l 為曲線弧 的長度),(zyxgszyxfd),(sz

4、yxgd),(l21d),(d),(szyxfszyxfszyxgszyxfd),(d),(sd)4(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 tttttfsyxfLd)()()(, )(d),(22二、對弧長的曲線積分的計(jì)算法二、對弧長的曲線積分的計(jì)算法基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化定理定理:),(yxf設(shè)且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),證證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線積分根據(jù)定義 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(, ,1kkktt點(diǎn)),(kktttskkttkd

5、)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf連續(xù)注意)()(22tt設(shè)各分點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)為), 1 ,0(nktk對應(yīng)參數(shù)為 則,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyOxdydsdLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22說明說明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”. 因此目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果曲線 L 的方程為),()(bxaxy則有

6、Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: rrL則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 計(jì)算,dLsy其中 L 是拋物線2xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsyd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點(diǎn) O (0,0)O1Lxy2xy ) 1

7、, 1 (B目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 計(jì)算半徑為 R ,中心角為2的圓弧 L 對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I (設(shè)線密度 = 1). 解解: 建立坐標(biāo)系如圖,R xyOLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R則 )(sincos:RyRxL目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 計(jì)算,dsxIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為)40(2cos:1arL利用對稱性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos

8、:22arLOyx44目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 計(jì)算曲線積分 ,d)(222szyx其中 為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 計(jì)算,d2sx其中 為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2目

9、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考: 例5中 改為0)1()1(2222zyxazyx計(jì)算?d2sx解解: 令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 則sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圓 的形心在原點(diǎn), 故0XaX22, 如何利用形心公式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 d d s例例6. 計(jì)算,d)(222szyxI其中 為球面解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx29222zyx化為參數(shù)方程 21cos2x sin2y則目

10、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 有一半圓弧cosRx ),0(其線密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkORRxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk 2故所求引力為),(yx,sinRy 求它對原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. RkRkF2,4目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(),()2(sz

11、yxfszyxfszyxfd),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長度)szyxfd),(),(為常數(shù)szyxgd),(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 計(jì)算計(jì)算 對光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 已知橢圓134:22yxL周長為a , 求syxxyLd)432(2

12、2提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12O22yx3利用對稱性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;zI(2) 求它的質(zhì)心 .解解: 設(shè)其密度為 (常數(shù)).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的質(zhì)量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐標(biāo)為),0,0(k作業(yè)作業(yè)P188 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題1. 設(shè) C 是由極坐標(biāo)系下曲線, ar 0及4所圍區(qū)域的邊界, 求sICyxde222e)24(aa提示提示: 分段積分xIax