盈不足問題(共3頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上盈不足問題九章算術(shù)中第七章的第一題是：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)物價(jià)各幾何？其意是：有若干人共同買東西，如果每人出塊錢，則余聲，如果每人出塊錢，則少塊，問人數(shù)及所買東西的價(jià)格各是多少？九章算術(shù)是在中國數(shù)學(xué)著作中影響最大的一部。全書分九章共個(gè)應(yīng)用問題，是以問題集形式出現(xiàn)的數(shù)學(xué)名著。它成書于公元世紀(jì)，內(nèi)容豐富多彩，在許多方面都居于世界領(lǐng)先地位。“盈不足問題”的解決方法被稱作盈不足術(shù)，設(shè)人出a1盈b1，人出a2不足b2，則 （1） （2） （3）按照這組公式，開始所述問題可得解 有一個(gè)盈數(shù)和一個(gè)不足數(shù)是簡單的標(biāo)準(zhǔn)的盈不足問題，使用公式（1）、（2）、（

2、3）問題便迎刃而解。如果把這組公式作適當(dāng)?shù)淖兺?，則可以解出“兩盈”、“兩不足”。“一盈一適足”、“一不足一適足”等問題。下面是這四類問題的例子?！敖裼泄操I金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。問人數(shù)金價(jià)各幾何？”“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。問人數(shù)羊價(jià)各幾何？”“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數(shù)豕價(jià)各幾何？”“今有共買犬，人出五，不足九十，人出五十，適足。問人數(shù)犬價(jià)各幾何？”以上四個(gè)問題的解題公式是：對于“兩盈”或“兩不足”問題，有 對于“一盈一適足”或“一不足一適足”問題，有 其中a1、a2是前后兩次付款數(shù)，b1、b2是相應(yīng)的或盈，或不足，或適足

3、數(shù)。據(jù)上述公式，可分別計(jì)算出上述四題的答案，按順序?yàn)椋?3人，金價(jià)9800；21人，羊價(jià)150；10人，豕價(jià)900；2人，犬價(jià)100。在九章算術(shù)的盈不足章中，前八個(gè)題目是明顯的盈不足問題。而后面的十二個(gè)題，在形式上不屬于盈不足問題，但是作者仍然用盈不足術(shù)來解，十分巧妙。例如，“今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日長七寸，瓠生其下，蔓日長一尺。問幾何日相逢？瓜、瓠各長幾何？”其意是：有一堵高9尺的墻，墻頂上長一棵瓜，瓜蔓日長7寸往下爬；墻腳種瓠，瓠蔓日長1尺往上爬，問幾天后瓜和瓠相逢，相逢時(shí)瓜和瓠各長多少？我們假設(shè)生長了5日，瓜瓠共長了（0.71）×5=8.5（尺），距9尺還差5寸，再設(shè)生長了

4、6日，瓜瓠共長了（0.71）×6=10.2（尺），比9尺又多出了1.2尺。即“假令五日，不足五寸，令之六日，有余一尺二寸?！笨梢姡藭r(shí)問題表現(xiàn)就是盈不足問題。瓜瓠相逢日數(shù)=瓜長長度=瓠長長度=這種計(jì)算方法在形式上是先采取兩次假設(shè)，得出相應(yīng)數(shù)值，以此為條件便構(gòu)成盈不足問題，進(jìn)而用盈不足術(shù)解之。盈不足術(shù)后來被傳到西方，受到數(shù)學(xué)家們的高度重視，得到了輝煌的發(fā)展，在世界數(shù)學(xué)只上占有相當(dāng)高的地位，特別是通過兩次假設(shè)再使用盈不足術(shù)的解題方法（假設(shè)法）倍受人們推崇。13世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家們對“假設(shè)法”作了力學(xué)解釋，并稱之為“秤盤法”。這在1222年伊本阿爾班納的著作塔爾基斯中有記載“秤盤法是一種幾

5、何方法，其內(nèi)容為：取一定形式的秤，并在支架上放上已知量。在一秤盤上放一任選量，然后根據(jù)要求增加，所得結(jié)果與已知量比較，如果任選量對了，則秤盤上的量即等于已知量；如果沒選對，則記下這一盤的誤差。然后，在另一秤盤中放入另一任選量，重復(fù)以上步驟。做完這些之后，將每盤誤差乘以另一盤之量，如果兩盤誤差都是正數(shù)或都是負(fù)數(shù)，則從較大誤差中減去較小誤差，同時(shí)，從較大的乘積減去較小的乘積，之后，將乘積之差除以誤差之差。如果兩盤之誤差一正一負(fù)，則將乘積之和除以誤差之和?！奔僭O(shè)法（或稱秤盤法）可以算是一種一次內(nèi)插法，在高等數(shù)學(xué)中求某些方程的近似實(shí)根時(shí)，要借助這種方法。著名科學(xué)史專家李瑟說得好：“盈和不足的要領(lǐng)在哲學(xué)

6、上是十分重要的，它推動了所有的古代數(shù)學(xué)，也推動了希臘的生物學(xué)?！钡谄咧v 盈虧問題解盈虧問題，常常用到比較法。例1：三年級一班少先隊(duì)員參加學(xué)校搬磚勞動，如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬5塊，則少2塊磚，這個(gè)班少先隊(duì)有幾個(gè)人？要搬的磚共有多少塊？（共有少先隊(duì)員9人，磚的總數(shù)是43塊。）例2：媽媽買回一筐蘋果，按計(jì)劃吃的天數(shù)算了一下，如果每天吃4個(gè)，要多出48個(gè)蘋果；如果每天吃6個(gè)，則又少5個(gè)蘋果，那么媽媽買回的蘋果有多少個(gè)？計(jì)劃吃多少天？（有蘋果128個(gè)，計(jì)劃吃20天。）例3：學(xué)校規(guī)定上午8時(shí)到校，小明去上學(xué)，如果每分鐘走60米，可提早10分鐘到校；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，求小

7、明幾時(shí)幾分離家剛好8時(shí)到校？由家到學(xué)校的路程是多少？（小明7點(diǎn)40分離家去上學(xué)剛好8時(shí)到校；小明的家離校有600米。）例4：學(xué)校為新生分配宿舍，每個(gè)房間住3人，則多出23人；每個(gè)房間住5人，由空出3個(gè)房間，問宿舍有多少間？新生有多少人？（有19間宿舍，新生有80人）例5：少先隊(duì)員去植樹，如果每人種5棵，還有3棵沒人種；如果其中2人各種4棵，其余的人各種6棵，這些樹苗正好種完，問有多少先隊(duì)員 參加植樹，一共種多少樹苗？（有7個(gè)少先隊(duì)員，一共種38棵樹。）例6：紅山小學(xué)學(xué)生乘汽車到香山春游，如果每車坐65人，則有5人不能乘上車；如果每車多坐5人，恰多余了一輛車，問一共有幾輛汽車，有多少學(xué)生？（一共有15輛汽車，980名學(xué)生）練習(xí)：1、阿姨給幼兒園小朋友分餅干，如果每人分3塊，則多出16塊餅干；如果每人分5塊，那么就缺4塊餅干，問有多少小朋友，有多少塊餅干？2、某校同學(xué)排隊(duì)上操，如果每行站9人，則多37人；如果每行站12人，則少20人，一共有多少學(xué)生？3、小強(qiáng)由家里到學(xué)校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘走60米，就可以比上課時(shí)間提前2分鐘到校，小強(qiáng)家到學(xué)校的路程是多少米？4、少先隊(duì)員參加綠化植樹，他們準(zhǔn)備栽的蘋果樹苗是梨樹苗的2倍，如果每人栽3棵梨樹苗，