巧妙建模,柳暗花明

1、巧妙建模柳暗花明例說構(gòu)建解幾模型求最值如皋市第二中學(xué)226500 宗在華最值問題是高中數(shù)學(xué)的?？紗栴}之一，也是難點(diǎn)之一。數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的考查要求是：能夠應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題(江蘇數(shù)學(xué)高考說明)。筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，試通過幾例說明如何構(gòu)建解幾模型解決最值問題，以期拋磚引玉。例1、(江蘇高考說明典型示例第 14題)滿足條件AB 2, AC . 2BC的 ABC的面 積的最大值為_.分析：本題主要考查靈活運(yùn)用有關(guān)知識解決問題的能力，屬于難題(考試說明語)。但是，如果能夠構(gòu)建解幾模型，求出C點(diǎn)的軌跡，則能化難為簡，降低解題難度，很容易得 出準(zhǔn)確結(jié)果。解：以AB所在

2、直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則 A( 1,0),B(1,0)，設(shè) C(x, y)(y廠1廠y2. (x_1廠y2化簡得：(X 3)2 y28(y0)點(diǎn)C到AB的最大距離為2 21ABC的面積的最大值為一22例2、a, b, c成等差，點(diǎn)P( 1,0)在直線丨:axby c 0上的射影為M，點(diǎn)N(3,3)，則線段MN的長度的最大值為分析：本題較難，有一種無從下手的感覺。但如果能發(fā)現(xiàn)M點(diǎn)的軌跡是一個(gè)定圓，就變得 簡單易行了。解：a,b,c成等差，2b a cax by c 0可以變形為 a(2x y) c(y 2)02、M為圓Q上任意一點(diǎn)，N為圓Q外一點(diǎn)，貝U MNma

3、x NQ rMNmin NQ r例3、實(shí)數(shù)a,b,c滿足a221 nab3c 4d1，則(a c)2 (b d)2的最小值為2 2(a c) (b d)聯(lián)想到分析：本題含有a,b,c,d四個(gè)變量，不知從何下手；但如果能由 兩點(diǎn)之間的距離，那求解過程就變得簡單易行了。解：設(shè) M (a,b),N(c,d)2由 a咚 i得：b a221 na，即點(diǎn) M (a,b)在曲線 S: y x221 nx上;b3c 4由1得：d 3c 4，即點(diǎn)N(c,d)在直線l : y 3x 4上。d設(shè)曲線S的與直線l平行的切線的切點(diǎn)為(xyj2x1x12MNmin13x1y1 41X；10|642In 24|102| l

4、n2 1 |10(a c)2(bd)2的最小值為22(ln 2 1)y14 2ln 2模型提煉：1、(a c)2 (b d)2表示點(diǎn)(a,b),(c,d)之間距離的平方;2、M是曲線yf (x)上一點(diǎn)，N是直線l上一點(diǎn)，MN最小值求法：求出曲線與I平行的切線h，l,與I之間的距離即為 MN的最小值。2 .a2a sin2例4、記f(a, )2，對于任意的實(shí)數(shù)a, ，f (a,)的最大值與最小a2a cos2值之和為分析：本題含有a,兩個(gè)變量，同時(shí)還有三角函數(shù)， 無法用常規(guī)方法求出最大值和最小值。如果能從f(a,)分式的形式聯(lián)想到斜率，通過構(gòu)建解幾模型，變?yōu)榍髣狱c(diǎn)與定圓上點(diǎn)的連線的斜率,就簡單易行了。解：當(dāng)a0時(shí),f (a,0時(shí),f (a,a 2si na2 c，a 2cosa可以看做點(diǎn)M(a2,a a2)與點(diǎn)N( 2cos , 2sin )連線的斜率k ； a而，點(diǎn)M的軌跡方程為:點(diǎn)N的軌跡方程為:易知：過點(diǎn)(2.2,2.2)兩條切線的斜率分別為不妨設(shè)：過(2.22-一2)y 2：2 k(x22)，即 kx y 2 22 .2k 01 o、k21化簡得：k2 4k 1k1k24，即f (a,)的最大值與最小值之和為 4.最值問題的解法多種多樣,構(gòu)建模型是一種行之有效、事半