排列組合問題之捆綁法插空法和插板法

1、行測(cè)答題技巧：排列組合問題之捆綁法，插空法和插板法“相鄰問題”捆綁法，即在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問題時(shí)，先將其“捆綁”后整體考慮，也就是將相鄰元素視作“一個(gè)”大元素進(jìn)行排序，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間排列順序的解題策略。例1若有A、B、C、DE五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須站在相鄰位置，貝U有多少排隊(duì)方法？【解析】：題目要求A和B兩個(gè)人必須排在一起，首先將A和B兩個(gè)人“捆綁”，視其為“一個(gè)人”，也即對(duì)“A,B”、CDE“四個(gè)人”進(jìn)行排列，有種排法。又因?yàn)槔壴谝黄鸬腁、B兩人也要排序，有I種排法。根據(jù)分步乘法原理，總的排法有I-種例2.有8本不同的書，其中數(shù)學(xué)書3本，外語(yǔ)書2本，其它

2、學(xué)科書3本。若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語(yǔ)書也恰好排在一起的排法共有多少種？【解析】：把3本數(shù)學(xué)書“捆綁”在一起看成一本大書，2本外語(yǔ)書也“捆綁”在一起看成一本大書，與其它3本書一起看作5個(gè)元素，共有JL種排法；又3本數(shù)學(xué)書有_1種排法，2本外語(yǔ)書有雹種排法；根據(jù)分步乘法原理共有排法.'I一一一I種?！就跤篮闾崾尽浚哼\(yùn)用捆綁法解決排列組合問題時(shí)，一定要注意“捆綁”起來(lái)的大元素內(nèi)部的順序問題。解題過程是“先捆綁，再排列”?！安秽弳栴}”插空法，即在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求不相鄰的問題時(shí)，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置，從而將問題解

3、決的策略。例3.若有A、B、C、DE五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須不站在一起，則有多少排隊(duì)方法？【解析】：題目要求A和B兩個(gè)人必須隔開。首先將C、DE三個(gè)人排列,有r一種排法；若排成DCE,則DCE“中間”和“兩端”共有四個(gè)空位置，也即是：DCE，此時(shí)可將AB兩人插到四個(gè)空位置中的任意兩個(gè)位置，有q種插法。由乘法原理，共有排隊(duì)方法：匚二：-o例4.在一張節(jié)目單中原有6個(gè)節(jié)目，若保持這些節(jié)目相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去3個(gè)節(jié)目，則所有不同的添加方法共有多少種？【解析】：直接解答較為麻煩，可根據(jù)插空法去解題，故可先用一個(gè)節(jié)目去插7個(gè)空位（原來(lái)的6個(gè)節(jié)目排好后，中間和兩端共有7個(gè)空位），有一種方法；再

4、用另一個(gè)節(jié)目去插8個(gè)空位，有種方法；用最后一個(gè)節(jié)目去插9個(gè)空位，有：.方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為匚-.，=504種。例4.一條馬路上有編號(hào)為1、2、9的九盞路燈，為了節(jié)約用電，可以把其中的三盞關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種？【解析】：若直接解答須分類討論，情況較復(fù)雜。故可把六盞亮著的燈看作六個(gè)元素，然后用不亮的三盞燈去插7個(gè)空位，共有'種方法（請(qǐng)您想想為什么不是八），因此所有不同的關(guān)燈方法有'-種?！就跤篮闾崾尽浚哼\(yùn)用插空法解決排列組合問題時(shí)，一定要注意插空位置包括先排好元素“中間空位”和“兩端空位”。解題過程是“先排列，再插空

5、”。練習(xí)：一張節(jié)目表上原有3個(gè)節(jié)目，如果保持這3個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去2個(gè)新節(jié)目，有多少種安排方法？（國(guó)考2008-57）A.20B.12C.6D.4插板法是用于解決“相同元素”分組問題，且要求每組均“非空”，即要求每組至少一個(gè)元素；若對(duì)于“可空”問題，即每組可以是零個(gè)元素，又該如何解題呢？下面先給各位考生看一道題目:荀現(xiàn)有山人主全斫匡化全制分蛤？個(gè)班級(jí)每班至少1令ar門共有多少?zèng)_不同的分法?馨析】題目中球的分法共三婁：第一抵仃1入班每介取徐到2人球'瓦余個(gè)吸每班分到1代球.花分江郵歉為第二類：1九址廿到3人1個(gè)班分到2令其余裟個(gè)班每尿廿到1其莎法種數(shù)第三輾有I個(gè)班分到4牛球

6、，耳余的白個(gè)班每班分到1個(gè)球其分法祎款G所乩1（個(gè)球分第7個(gè)班.每班至少一個(gè)球的分法種腎盍曲+=S4：從上面解贏過程廉看對(duì)這董問題謹(jǐn)疔分類計(jì)算，比較重瑣.若是上題中球的數(shù)目幔密處理起來(lái)輅更加困難，IS此我怕需要尋求一種簫的摸式解決問題，我怕創(chuàng)設(shè)這樣一種翥般傅境妊楓，將皿個(gè)相同的球排成一fti。個(gè)球之闔出現(xiàn)了9個(gè)空矜現(xiàn)在疊丫用把i。牛球隔成有序刖了份，每牛班級(jí)依歡按班級(jí)序今分到然應(yīng)位蟹前個(gè)琢C可14*.2個(gè)、彳仁4個(gè)）-卞丈于這樣府盤金艮杯攔板”弁電物骷的方法秫之丸插般注白上述升桁可扛.分猱的方法實(shí)葫上為擋扳的把泄；圉起彳生9令空1妥2中捷人右個(gè)”攔礦G個(gè)攔版可耙球分為J繪人瓦方法種盥為時(shí)上述問

7、題的分折可看到，這種插板法解決起來(lái)非常簡(jiǎn)單.但同時(shí)也提醛各位考生，這類間題模型的適用前提相當(dāng)嚴(yán)榕.必績(jī)同時(shí)清足以卜*牛金口牛：闈i要分的元富2堿完全巴汀1;所要分的元素必須分完，決不允許有剩余參與分元素的每組至少分到1個(gè)，決不允許出現(xiàn)分不到元素的組下面再給各位看一道例題:例2.有8個(gè)相同的球放到三個(gè)不同的盒子里，共有（）種不同方法.A.35B.28C.21D.45【解析】這道題很多同學(xué)錯(cuò)選C,錯(cuò)誤的原因是直接套用上面所講的“插板法”，而忽略了“插板法”的適用條件。例2和例1的最大區(qū)別是：例1的每組元素都要求“非空”，而例2則無(wú)此要求，即可以出現(xiàn)空盒子。其實(shí)此題還是用“插板法”，只是要做一些小變

8、化，詳解如下:«4設(shè)損把這昌卒球一牛接一人排起耒即00000000,共形成9令空檔1比時(shí)的空檔包括中鹿7個(gè)空檔祁前堆2個(gè)空欄），然后用2個(gè)撈樁把這8r球分成3紅先攤第一今攔板,©于叮馭有空套.瘧以脊9個(gè)空檔町以捱；淳扭第二個(gè)扳.脊仝空料可以擢.但宙于兩個(gè)恢是劑/分的f也璃是說當(dāng)兩個(gè)擔(dān)極殂鄰時(shí).雖然是兩種掘注但9八10憲際上是L種分注人所以共譽(yù)拓種.«XCl）己知方K.r-_:-r=20.求這個(gè)方程時(shí)巫篡曾前牛簽.3）己拓方程“尸一妙求這個(gè)方程的乍玄勒蒙僭的個(gè)數(shù).【阿研】將20分成20個(gè)I*孔出來(lái)：MIMIIiI11I在這2U金數(shù)申間的沖金空中撫入2令板子”路如分成

9、3部分，每一部井對(duì)應(yīng)r”的傘范.按順序持成2*r=:7=s即是jE蟹數(shù)罐故正整數(shù)雕的個(gè)數(shù)為繪拳法非常簡(jiǎn)單.（2）比題羽毀2的莫法乏全寵|一謁齊位考生自己考,喙K從以上例題的分析來(lái)看,在利用鼻插楓法解決這種相同兀素排列粗合問題時(shí).一健要注恿空與HTSM的加匚防止菲人卑瞅仇3冏曲述唱比軟町以很明顯地看J笠與樣不空”的區(qū)另阮杯非空”冏題提皈達(dá)題/康瞿為：沒百刃個(gè)嗤礙淪真分成刖S）紅挫鯉至少一個(gè)元委的分境方法共柑V；桿可空口題正祝法忙題氐擔(dān)為，SH尸個(gè)巧門元衰.分戚處小緒WJfhffi方法甚有”I”=Qi種方法（對(duì)于“可（w-1）Ejn-2）I空”口題-只霎記住公式胡町.不蜚求李握嫉理）=練習(xí)：有10釵創(chuàng)九