圓的切線的證明

1、淺談圓的切線證明惠陽(yáng)第一中學(xué) 劉翠玲 在圓這章書中圓的切線的證明是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，突破該知識(shí)點(diǎn)就是突破本章書的考點(diǎn)。近幾年各省市的中考題中與圓的切線的證明的題目類型繁多，但萬(wàn)變不離其中，方法掌握了題型在變也不怕。 以下我就圓的切線的證明的方法做一下討論 證明圓的切線的方法有三種：1、 定義法：直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則這條直線和圓相切2、 距離法：直線到圓心的距離等于半徑時(shí)直線與圓相切3、 切線判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線式圓的切線。通常方法一和方法二學(xué)生都易于掌握，而方法三變化較多，學(xué)生布置從何下手。而利用切線判定定理證明圓的切線分兩種情況：一、 直線與圓有一個(gè)已知的公共點(diǎn)，

2、方法“連半徑，證垂直”當(dāng)直線與圓有一個(gè)已知的公共點(diǎn)時(shí)，下手點(diǎn)是把圓心與該公共點(diǎn)連接起來，再證明直線與該半徑垂直。而證明直線與該半徑垂直是關(guān)鍵，也可以分兩種情況進(jìn)行分析: 題目中有直角條件。如直徑所對(duì)的圓周角為90，已知另一條直線與該圓相切，兩條直線互相垂直等隱含直角的條件。則可以通過證明三角形全等、兩直線平行，同位角相等等方法，證明直線與該半徑的夾角為90。例1：（2013年廣東?。┤鐖D，O是RtABC的外接圓，ABC=90，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BEDC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）求證：BCA=BAD；（2）求DE的長(zhǎng)；（3）求證:BE是O的切線。其中（3）的證明：連接OB，O

3、D， 在ABO和DBO中，ABODBO（SSS）。DBO=ABO。ABO=OAB=BDC，DBO=BDC。OBED。BEED，EBBO。OBBE。OB是O的半徑，BE是O的切線。點(diǎn)評(píng)：本題已知直線與圓有一公共點(diǎn)，故連接OB，證明OBBE。而本題的突破口是利用結(jié)論逆推OBED，則DBO=BDC，再利用角的轉(zhuǎn)化證明相等。這種利用結(jié)論逆推條件是我們易以解決題目常用的方法。例2、如圖在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O交BC于D,交AC于E,以B為切點(diǎn)的切線交OD的延長(zhǎng)線于F求證:EF與O相切證明：連接OE、ADAB為O的直徑ADB=90 即 ADBC AB=ACBADCAD= BOD=DOEOB

4、=OE,OF=OFOBFOEFOBF=OEFBF切O于點(diǎn)BDM與O相切OBF=90OEF=90 即OEEFEF與O相切點(diǎn)評(píng)：本題已知直線與圓有一公共點(diǎn)，故連接OE,證明OEEF。因?yàn)楸绢}中已知另一條直線與該圓相切，則必有直角的條件。從結(jié)論逆推OBFOEF，故設(shè)法證這兩三角形全等是關(guān)鍵。 題目中不含有直角的條件，則利用特殊角或構(gòu)造直角證明。如兩角相等且兩角和為180，作直徑等例3：如圖，AD是BAC的平分線，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA=PD求證：PA與O相切證明：連接AO并延長(zhǎng)AO交O于點(diǎn)E，連接CE 則AE為O的直徑 CAE=90E+EAC =90 =B=EB+EAC =90AD是BAC的平分

5、線BAD=CADPA=PDPAD=PDAPAD=CAD+CAPPDA=B+BADB=CAPCAP+EAC =90 即OAPAPA與O相切點(diǎn)評(píng)：本題已知直線與圓有一公共點(diǎn)，故連接OA。題中沒有直角的條件，因有半徑的產(chǎn)生，可立馬聯(lián)想到直徑所對(duì)的圓周角為90，故延長(zhǎng)AO交圓于點(diǎn)E是本題的突破口。二、 不確定直線與圓是否有公共點(diǎn)，方法“作垂直，證半徑”當(dāng)直線與圓沒有已知的公共點(diǎn)時(shí)通常過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑，常用的方法是利用三角形全等或利用角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。例：如圖AB是O的直徑，AM和BN分別與O相切于點(diǎn)A、B，CD交AM,BN于點(diǎn)D、C，DO平分ADC.求證：CD是O的切線證明：過點(diǎn)O作OECD于E,則OED=900 AM與O相切，AMOA 即OAD=900OED=OAD=900DO平分ADC.ADO=EDOOD=ODAODEODOE=OACD是O的切線點(diǎn)評(píng)：本題不確定直線與圓是否有公共點(diǎn)，故作過圓心作CD 的垂線段OE,而此類題的突破口是證明該垂線段等于半徑