彈塑性力學(xué)彈塑性本構(gòu)關(guān)系PPT課件

1、附加應(yīng)力對附加應(yīng)變負(fù)做功，即附加應(yīng)力對附加應(yīng)變做功為非負(fù)，即有(1) 穩(wěn)定材料與非穩(wěn)定材料穩(wěn)定材料與非穩(wěn)定材料穩(wěn)定材料0非穩(wěn)定材料0（應(yīng)變硬化和理想塑性材料）（應(yīng)變軟化材料）德魯克公設(shè)和依留申公設(shè)是傳統(tǒng)塑性力學(xué)的基礎(chǔ)，它把塑性勢函數(shù)與屈服函數(shù)緊密聯(lián)系在一起。德魯克公設(shè)只適用于穩(wěn)定材料，而依留申既適用于穩(wěn)定材料，又適用于不穩(wěn)定材料。第1頁/共47頁(2) 德魯克塑性公設(shè)的表述 德魯克公設(shè)可陳述為：對于處在某一狀態(tài)下的穩(wěn)定材料的質(zhì)點(diǎn)(試件)，借助于一個(gè)外部作用在其原有應(yīng)力狀態(tài)之上，緩慢地施加并卸除一組附加壓力，在附加應(yīng)力的施加和卸除循環(huán)內(nèi)，外部作用所作之功是非負(fù)的。 設(shè)材料單元體經(jīng)歷任意應(yīng)力歷史后

2、，在應(yīng)力ij0下處于平衡，即開始應(yīng)力ij0在加載面內(nèi)，然后在單元體上緩慢地施加一個(gè)附加力，使ij0達(dá)到ij，剛好在屈服面上，再繼續(xù)加載到ij+dij，在這一階段，將產(chǎn)生塑性應(yīng)變dijp，最后應(yīng)力又卸回到ij0。若整個(gè)應(yīng)力循環(huán)過程中，附加應(yīng)力dij所作的塑性功不小于零，即附加應(yīng)力的塑性功不出現(xiàn)負(fù)值，則這種材料就是穩(wěn)定的，這就是德魯克公設(shè)。第2頁/共47頁在應(yīng)力循環(huán)中，外載所作的功為：00()0ijijeijijd 00()0ijijppDDijijWWd 0d0ijijijW 不論材料是不是穩(wěn)定，上述總功不可能是負(fù)的，不然，我們可通過應(yīng)力循環(huán)不斷從材料中吸取能量，這是不可能的。要判斷材料穩(wěn)定必須

3、依據(jù)德魯克公設(shè)，即附加應(yīng)力所作的塑性功不小零得出00d0ijijijijW 由于彈性應(yīng)變ije在應(yīng)力循環(huán)中是可逆的，因而于是有：第3頁/共47頁(3) 德魯克塑性公設(shè)的重要推論00 ()0ijijpijijijd當(dāng)時(shí),略去無窮小量0 0pijijijijdd，時(shí)當(dāng)屈服面的外凸性塑性應(yīng)變增量方向與加載曲面正交00()0ijijppDDijijWWd 1 12a0()0ijpDijijijWadd第4頁/共47頁1 屈服曲面的外凸性0cos|)( 00ppijijijdAAd0ijij此式限制了屈服面的形狀： 對于任意應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力增量方向與塑性應(yīng)變向量之間所成的夾角不應(yīng)該大于90穩(wěn)定材料的屈服面

4、必須是凸的.(a)滿足穩(wěn)定材料的屈服面(b) 不滿足穩(wěn)定材料的屈服面2/第5頁/共47頁2 塑性應(yīng)變增量向量與屈服面法向平行加載面切平面必與加載面的外法線重合，否則總可以找到A0使A0Adp0不成立(如右圖)。pdijpijdd標(biāo)量d，稱為塑性因子表明，塑性應(yīng)變分量ij之間的比例可由在加載面上的位置確定。00 ndddpijij加載準(zhǔn)則意義：只有當(dāng)應(yīng)力增量指向加載面的外部時(shí)才能產(chǎn)生塑性變形。第6頁/共47頁3德魯克塑性公設(shè)的評述德魯克公設(shè)的適用條件：（1）應(yīng)力循環(huán)中外載所作的真實(shí)功與ij0起點(diǎn)無關(guān)；0pijijijd 應(yīng)力循環(huán)中外載所作真實(shí)功與附加應(yīng)力功(2)附加應(yīng)力功不符合功的定義，并非真實(shí)

5、功000ijijijdij第7頁/共47頁（4）德魯克公設(shè)的適用條件： ij0在塑性勢面與屈服面之內(nèi)時(shí)，德魯克公設(shè)成立； ij0在塑性勢面與屈服面之間時(shí)，德魯克公設(shè)不成立；附加應(yīng)力功為非負(fù)的條件（3）非真實(shí)物理功不能引用熱力學(xué)定律；勢面線屈服面（5）金屬材料的塑性勢面與屈服面基本一致。第8頁/共47頁 依留申塑性公設(shè)的表述依留申塑性公設(shè)的表述 依留申塑性公設(shè)：在彈塑性材料的一個(gè)應(yīng)變循環(huán)內(nèi)，外部作用做功是非負(fù)的，如果做功是正的，表示有塑性變形，如果做功為零，只有彈性變形發(fā)生。 設(shè)材料單元體經(jīng)歷任意應(yīng)力歷史后，在應(yīng)力ij0下處于平衡，即初始的應(yīng)變ij0在加載面內(nèi)，然后在單元體上緩慢地施加荷載，使i

6、j達(dá)到屈服面，再繼續(xù)加載達(dá)到應(yīng)變點(diǎn)ij+dij，此時(shí)產(chǎn)生塑性應(yīng)變dijp 。然后卸載使應(yīng)變又回到原先的應(yīng)變狀態(tài)ij0，并產(chǎn)生了與塑性變量所對應(yīng)的殘余應(yīng)力增量dijp。第9頁/共47頁00ijIijijWd ppddijijD殘余應(yīng)力增量與塑性應(yīng)變增量存在關(guān)系：式中，D為彈性矩陣。根據(jù)依留申公設(shè)，在完成上述應(yīng)變循環(huán)中，外部功不為負(fù)，即只有在彈性應(yīng)變時(shí)，上述WI=0。根據(jù)Druker塑性公設(shè)00 ()0pijijijijijd當(dāng)時(shí)可將Druker塑性公設(shè)改寫成：0()0pDijijijWd第10頁/共47頁由圖(a)可知，對于彈性性質(zhì)不隨加載面改變的非耦合情況，外部作用在應(yīng)變循環(huán)內(nèi)做功WI和應(yīng)力循

7、環(huán)所作的外部功之間僅差一個(gè)正的附加項(xiàng)：pp1dd2011()022ijijppIDijijijijWWdddd因此可將應(yīng)變循環(huán)所作的外部功，寫成上式表明，如果德魯克塑性公設(shè)成立，WD0，則依留申塑性公設(shè)也一定成立，反之，依留申塑性公設(shè)成立，并不要求WD0，也就是說，德魯克塑性公設(shè)是依留申塑性公設(shè)的充分條件，而不是必要條件。d0d0d0d0ABCD當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)由A到B時(shí)，d0,塑性變形dp0，總變形d0pdd0pd d0第11頁/共47頁01212 () 0ijijpIijijijpDijDWddWddW0)( 000pijijijijijd，時(shí)應(yīng)變空間加載面外凸0 0pijijijijdd，時(shí)加載

8、準(zhǔn)則(取大于號表示有新的塑性變形發(fā)生)塑性勢面與屈服面相同pijijdd根據(jù) 關(guān)于 的正交法則，可得： pijd0ppddijijD由應(yīng)力空間中的屈服與應(yīng)變空間中屈服面的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得：ijijD結(jié)合可得：ijpijdddd第12頁/共47頁塑性位勢理論與流動(dòng)法則 與彈性位勢理論相類似，Mises于1928年提出塑性位勢理論。他假設(shè)經(jīng)過應(yīng)力空間的任何一點(diǎn)M，必有一塑性位勢等勢面存在，其數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為塑性位勢函數(shù)，記為：123,0g I JJH或,0ijgH式中，H為硬化參數(shù)。塑性應(yīng)變增量可以用塑性位勢函數(shù)對應(yīng)力微分的表達(dá)式來表示，即：pijijgdd第13頁/共47頁 上式就稱為塑性位勢理論。

9、它表明一點(diǎn)的塑性應(yīng)變增量與通過該點(diǎn)的塑性勢面存在著正交關(guān)系，這就確定了應(yīng)變增量的方向，也就確定了塑性應(yīng)變增量各分量的比值。 流動(dòng)規(guī)則也稱為正交定律，是確定塑性應(yīng)變增量各分量的比值，也即塑性增量方向的一條規(guī)定。上式是流動(dòng)規(guī)則的一種表示形式，另外還有另一種表示形式：pijijgddpijijdd 它表明塑性應(yīng)變增量與通過該點(diǎn)的屈服曲面成正交關(guān)系。第14頁/共47頁 與德魯克公設(shè)表達(dá)式比較，可以看出，服從于德魯克公設(shè)的材料，塑性勢函數(shù)g就是屈服函數(shù)。即g=，由此得到的塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系通常稱為與加載條件相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則。如果g ，即屈服面與塑性應(yīng)變增量不正交，則其相應(yīng)的塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法

10、則。 在應(yīng)變空間，流動(dòng)規(guī)則可用下式表示：pijijddd和d都為非負(fù)的比例系數(shù)。第15頁/共47頁3.2 硬化規(guī)律塑性模型三要素屈服條件流動(dòng)法則硬化規(guī)律判斷何時(shí)達(dá)到屈服屈服后塑性應(yīng)變增量的方向，也即各分量的比值決定給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變增量大小第16頁/共47頁 硬化規(guī)律：加載面在應(yīng)力空間中的位置、大小和形狀的變化規(guī)律。（確定加載面依據(jù)哪些具體的硬化參量而產(chǎn)生硬化的規(guī)律稱為硬化定律） 硬化模型：實(shí)際土體硬化規(guī)律+簡化假設(shè)（如采用等值面硬化理論，主應(yīng)力方向不旋轉(zhuǎn)，加載面形狀不變等）金屬材料：采用等向強(qiáng)化和隨動(dòng)強(qiáng)化；巖土材料：靜力問題采用等向強(qiáng)化；循環(huán)荷載 和動(dòng)力問題采用隨動(dòng)強(qiáng)化或混合強(qiáng)化常

11、用模型第17頁/共47頁等向強(qiáng)化模型這種模型無論在哪個(gè)方向加載拉伸和壓縮強(qiáng)化總是相等地產(chǎn)生和開展；在復(fù)雜加載條件下，即表示應(yīng)力空間中作形狀相似的擴(kuò)大，如圖中OABDDE代表等向強(qiáng)化，圖中B與D點(diǎn)所對應(yīng)的應(yīng)力值均為s(指絕對值)，在這種情況下，壓縮屈服應(yīng)力和彈性區(qū)間都隨著材料強(qiáng)化而增大。第18頁/共47頁123(,)( ,)0ijHF I JJK 初始屈服面 硬化系數(shù)()()ppKHdWHd或23pppppijijijijdWddde devon misesMCtresca、 、max:()()0:()()0ppsppsmises qHdWHdtrescaHdWHd或或第19頁/共47頁 在應(yīng)力

12、空間中，這種后繼屈服面的大小 只與最大的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而與中間的加載路徑無關(guān)。在右圖中，路徑1與路徑2的最終應(yīng)力 狀態(tài)都剛好對應(yīng)于加載過程中最大應(yīng)力狀態(tài)，因此兩者的最終后繼屈服是一樣的；而路徑3的最終后繼屈服面由加載路徑中最大應(yīng)力狀態(tài)來定。第20頁/共47頁隨動(dòng)強(qiáng)化模型 圖中OABCDE代表隨動(dòng)強(qiáng)化模型，彈性卸載區(qū)間是襯始屈服應(yīng)力s的兩倍。根據(jù)這種模型，材料的彈性區(qū)間保持不變，但是由于拉伸時(shí)的強(qiáng)化而使壓縮屈服應(yīng)力幅值減小。 與等向強(qiáng)化模型不同，隨動(dòng)強(qiáng)化模型是考慮包辛格效應(yīng)的。在單向拉壓情況下，隨動(dòng)強(qiáng)化模型可以用下式表示：2sss第21頁/共47頁包辛格逆效應(yīng)（Bauschinger）分直接包辛

13、格效應(yīng)及包辛格逆效應(yīng)。直接包辛格效應(yīng)指拉伸后鋼材縱向壓縮屈服強(qiáng)度小于縱向拉伸屈服強(qiáng)度，如圖1所示；包辛格逆效應(yīng)在相反的方向產(chǎn)生相反的結(jié)果，如圖2所示。 第22頁/共47頁(,)()0()0ijijijijHFF 為初始屈服面 移動(dòng)張量pijijc常用線形隨動(dòng)強(qiáng)化von misesMCtresca、 、3:()()()2ppijijijijsmisesScScc 可據(jù)簡單拉伸試驗(yàn)確定普拉格將隨動(dòng)強(qiáng)化模型推廣到復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)中，他假定在塑性變形過程中，屈服面形狀和大小都不改變，只是在應(yīng)力空間內(nèi)作剛體平移。第23頁/共47頁混合強(qiáng)化模型(,)()0pijijijHFcK 運(yùn)動(dòng)硬化和等向硬化的組合，可以

14、構(gòu)成更一般的硬化模型，稱為混合強(qiáng)化模型這時(shí)，后繼屈服面既有位置的改變，也產(chǎn)生均勻的膨脹。等向強(qiáng)化混合強(qiáng)化隨動(dòng)強(qiáng)化(運(yùn)動(dòng)強(qiáng)化)初始屈服面第24頁/共47頁加工硬化規(guī)律 加工硬化規(guī)律是決定一個(gè)給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變增量的一條規(guī)則，在流動(dòng)規(guī)律中，d這個(gè)因素可以假定為：式中，A為硬化參數(shù)H的函數(shù)。1ddijijA 不同的學(xué)者曾建議不同的硬化規(guī)律來計(jì)算A的數(shù)值，常用的硬化規(guī)律有下列幾種：第25頁/共47頁塑性功Wp硬化定律：()dpppijijHHWW1ddijijijpijgAW 矩陣形式：矩陣形式： TpgAW 1ddijijAdd0pijijijijijijijijpijpijgdddHdd

15、HWW由由得：得：第26頁/共47頁塑性應(yīng)變ijp硬化定律：()pijHHddddpijijppijijijijHHgAHH 進(jìn)一步有：進(jìn)一步有：1ddijijAd0pijijijpijijijHdddHdHH由由得：得：dpijpijijHgAH 第27頁/共47頁 塑性體應(yīng)變vp 硬化定律 QApvT()ppvvHH設(shè)設(shè)廣義塑性力學(xué)中，如果取廣義塑性力學(xué)中，如果取pQpv,于是：于是：矩陣形式：矩陣形式：pvHA0pijvpijvddd由由則有：則有：1ddijijAdddpijvppijvvgAdp pvgAp 第28頁/共47頁3.3 彈塑性本構(gòu)關(guān)系彈塑性本構(gòu)關(guān)系屈服條件流動(dòng)法則硬化規(guī)

16、律判斷何時(shí)達(dá)到屈服屈服后塑性應(yīng)變增量的方向，也即各分量的比值決定給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變增量大小本節(jié)內(nèi)容塑性本構(gòu)關(guān)系彈性本構(gòu)關(guān)系彈塑性本構(gòu)關(guān)系第29頁/共47頁 塑性增量理論又稱為塑性流動(dòng)理論，它把塑性變形看成非線性流動(dòng)。塑性增量理論把應(yīng)變增量分為彈性應(yīng)變增量和塑性應(yīng)變增量兩部分，即式中，彈性應(yīng)變增量應(yīng)用廣義虎克定律 計(jì)算，塑性應(yīng)變增量根據(jù)塑性增量理論計(jì)算。塑性增量理論主包括三個(gè)部分：關(guān)于屈服面理論，關(guān)于流動(dòng)規(guī)則理論，關(guān)于加工硬化(或軟化)理論。應(yīng)用彈塑性增量理論計(jì)算塑性應(yīng)變：首先，要確定材料的屈服條件，對加工硬化材料，需要確定材料是否服從 相關(guān)聯(lián)流動(dòng)規(guī)則。若材料服從不相聯(lián)流動(dòng)規(guī)則，沿需確

17、定材料的塑性勢函數(shù)。然后，還需要確定材料的硬化或軟化規(guī)律。最后可運(yùn)用流動(dòng)規(guī)則理論確定塑性應(yīng)變增量的方向，根據(jù)硬化規(guī)律計(jì)算塑性應(yīng)變增量的大小。dddepijijij塑性增量理論第30頁/共47頁一個(gè)普遍的彈塑性模量張量表達(dá)式 加工硬化規(guī)律是決定一個(gè)給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變增量的一條規(guī)則，在流動(dòng)規(guī)律中，d這個(gè)因素可以假定為：廣義虎克定律用增量形式表示：1ddijijAddddddepijijklklijklklklijklklijklklgDDDD根據(jù)塑性勢函數(shù)：dddepijijijpijijgdd以及進(jìn)一步有：dd0ijijA(b)(a)第31頁/共47頁將(b)代入(a)得：dddijk

18、lklrsklijrsklijklmnuvijklmnuvDDggADADddddijpqrsklpqrsijijklklijklijklklijmnuvmnuvgDDgDDDgAD再代入(b)得：epijklD彈塑性模量張量第32頁/共47頁的物理意義peepDDDdDdeppepeppppeeppepeeeEEEDddEEDEDdDdDDddDdDd,)()(對于一維壓縮情況：第33頁/共47頁彈性狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)彈性應(yīng)變塑性狀態(tài)當(dāng)前應(yīng)力狀態(tài)、加卸載狀態(tài)、加載歷史、加載路徑、微觀結(jié)構(gòu)塑性應(yīng)變沿加載路徑積分應(yīng)力應(yīng)變?nèi)筷P(guān)系應(yīng)力應(yīng)變增量關(guān)系彈塑性本構(gòu)關(guān)系的建立第34頁/共47頁廣義虎克定律2222

19、2232)(132)(132)(1zxzxzxyzyzyzxyxyxymzxyzzmyzxyymxzyxxGGGEGEEGEEGE)21)(1 (222232323EGGGGGGGGGzxzxzxyzyzyzxyxyxyzmzymyxmx基本方程第35頁/共47頁33()()222131 2()222ijijmmmijijmijmijmijijijmijijijSeGEGGESSSGeGEEEG ijijmmGdedSKdd232323111 21 2, = 3, 393 1 2ijijkkijkkkkkkkkmkkkkkkkkmmGEEEGEKKKK 由22221 21311321 2222

20、131 22223ijijijijkkijijkkijkkijijijmijmijijmijmijijijijmmijmijijGGGGGKGEGGESSSGEEGEGK 增量表達(dá)式第36頁/共47頁)21)(1 ()1 (EMMxx0()00()0yyxzyzxzzyxyzx 于是：2211111yxxxz于是221212111xxxEE代入引入側(cè)限變形模量M第37頁/共47頁彈性常數(shù)關(guān)系表第38頁/共47頁無靜水壓力影響的理想彈塑性材料本構(gòu)關(guān)系理想塑性材料，適用于金屬材料。采用相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則 pjjjgFFgddd0, 000, 000jjjjdFFdFFFd當(dāng)或當(dāng) 由于某屈服單元周圍材料

21、仍處于彈性狀態(tài)，限制了 其塑性應(yīng)變的發(fā)展，其d值不會(huì)任意發(fā)展，而將依靠問題的整體來定。第39頁/共47頁屈服函數(shù)記為：0ijF 塑性應(yīng)變增量：pijijFdd可改寫為：ijpkkijijkkijijijkkijdSdFFFFddddS dS于是有：3ppkkijkkijFFdddedS；在塑性變形階段，加載時(shí)d0dd=3d2d=0eeijkkijmmijkkijkkijFFFFF SKGeSSijijmmGdedSKdd233311 111212111313212122222323313132323333ijijijijijkkijijmijS 第40頁/共47頁根據(jù)3ppkkijkkijFF

22、dddedS；于是pp32=0mmmmijijkkijFFKddGdedeS23292mmijkkijkkijijFFFFFKGedKGSSS23292mmijkkijkkijijFFKGeSdFFFKGSS第41頁/共47頁理想彈塑性材料的本構(gòu)方程可表示為又可寫成：23ijmijijijkkijSFFdGKS23ijmijijSGKijijmijS 22232eeijijmijkkijijppkkkkijijijkkijijijkkijSKG eKGeeFFKG edKGS ijijmmGdedSKdd233pkkkkpijijFddFdedS第42頁/共47頁(1) Prandtl Reuss 模型Prandtl Reuss 模型是最簡單的理想彈塑性模型。材料屈服函數(shù)采用Mises屈服函數(shù)，其表達(dá)式為：20ijF Jk23232ijijijmmijijijijkkijS