第五章 聯(lián)立方程組模型的估計(jì)

1、第五章 聯(lián)立方程組模型的估計(jì)第一節(jié) 概述一、聯(lián)立方程的概念在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，變量之間不僅僅是存在單項(xiàng)的因果關(guān)系。還會(huì)存在如下的情況：第一，由于兩個(gè)變量之間存在雙向因果關(guān)系，用單一方程模型就不能完整的描述這兩個(gè)變量之間的關(guān)系。第二，為全面描述一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)只用單一方程模型是不夠的。這時(shí)應(yīng)該用多個(gè)方程的組合來(lái)描述整個(gè)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)。這樣的例子比如市場(chǎng)均衡模型（具體內(nèi)容是什么？）宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的國(guó)民收入模型（具體內(nèi)容是什么？）。這類問題涉及的就是聯(lián)立方程模型的問題。簡(jiǎn)單來(lái)講， 聯(lián)立方程模型就是描述變量間聯(lián)立依存性的方程體系。比如如下的簡(jiǎn)單的宏觀經(jīng)濟(jì)模型：在這個(gè)模型中，有三個(gè)方程，一個(gè)消費(fèi)方程，一個(gè)投資方程和一

2、個(gè)均衡方程。比較這個(gè)由三個(gè)方程組成的一個(gè)經(jīng)濟(jì)模型和前邊我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的由一個(gè)方程組成的經(jīng)濟(jì)模型。我們能夠發(fā)現(xiàn)什么呢？（1、從變量所處的位置上來(lái)看；2、從變量的分類上看；3、從變量之間的經(jīng)濟(jì)含義上看）二、模型中變量的分類1、內(nèi)生變量：（由模型內(nèi)變量所決定的變量）其數(shù)值是在所考慮的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)模型本身內(nèi)所決定的，它一般是被解釋變量（在其他的方程中也可以作為解釋變量出現(xiàn)），且是模型求解的結(jié)果。內(nèi)生變量的性質(zhì)：第一、內(nèi)生變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)是相關(guān)的；第二，它的值是在參數(shù)估計(jì)之后，由方程組所解出來(lái)的值第三，它的值可以是預(yù)測(cè)結(jié)果，也可以是政策后果。2、外生變量：（由模型外變量所決定的變量）它是由系統(tǒng)外部因素所影響而

3、不由所考慮的模型系統(tǒng)所決定的變量，但他影響模型系統(tǒng)內(nèi)生變量的值。外生變量的性質(zhì)：第一，外生變量必須事先給定；第二，外生變量可以分為政策性外生變量（經(jīng)濟(jì)調(diào)控的手段）和非政策性外生變量（時(shí)間趨勢(shì)、自然條件）3、前定變量：外生變量和滯后變量（滯后內(nèi)生變量和滯后外生變量）的統(tǒng)稱。前定變量的性質(zhì)：第一，前定變量與模型的隨機(jī)誤差性不相關(guān)；第二，在模型中作為解釋變量出現(xiàn)。注意：1、聯(lián)立方程模型和單一方程的變量的分類有什么差異？（聯(lián)立方程模型的分類、單一方程中的分類） 2、內(nèi)生變量與外生變量的劃分不是絕對(duì)的，隨著新的行為方程的加入，外生變量可以轉(zhuǎn)化為內(nèi)生變量；隨著行為方程的減少，內(nèi)生變量也可以轉(zhuǎn)化為外生變量。

4、三、模型中方程的分類1、行為方程：描述居民、企業(yè)和政府的經(jīng)濟(jì)行為。這類方程建立在相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)理論基礎(chǔ)之上。也稱之為隨機(jī)方程（為什么？），帶有隨機(jī)誤差項(xiàng)。2、技術(shù)方程：表示生產(chǎn)的技術(shù)關(guān)系。它也是隨機(jī)方程（為什么？），帶有隨機(jī)誤差項(xiàng)。3、定義方程：定義某一經(jīng)濟(jì)變量與其他經(jīng)濟(jì)變量之間之間的恒等關(guān)系。此類方程中沒有參數(shù)和隨機(jī)誤差項(xiàng)。4、平衡方程：表示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)均衡或平衡狀態(tài)的恒等關(guān)系式。此類方程中沒有參數(shù)和隨機(jī)誤差項(xiàng)。定義方程和平衡方程可合稱為恒等式方程。四、聯(lián)立方程組模型中變量和方程分類的例子：1、yt =a0+a1yt-1+b0 xt+b1xt-1 +ut指出內(nèi)生變量、外生變量、前定變量。yt為內(nèi)生變

5、量；x t為外生變量；yt-1, xt , xt-1為前定變量2、凱恩斯模型（為簡(jiǎn)化問題，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行中心化處理，從而不出現(xiàn)截距項(xiàng)）ct=a1yt+ut1 （1）It=b1yt+b2yt-1+ut2 （2） yt=ct+It+Gt （3）其中，ct 消費(fèi)；yt 國(guó)民收入；It 投資；Gt 政府支出。a1, b1, b2稱為結(jié)構(gòu)參數(shù)。試指出內(nèi)生變量、外生變量、前定變量以及方程的類別。模型中內(nèi)生變量有三個(gè)ct，yt，It。外生變量有一個(gè) Gt。內(nèi)生滯后變量有一個(gè) yt-1。Gt , yt-1 又稱為前定變量。方程（1）和（2）為行為方程，方程（3）為定義方程。五、用普通最小二乘法來(lái)估計(jì)聯(lián)立方程模型可

6、行嗎？關(guān)鍵在于聯(lián)立方程模型是否滿足經(jīng)典模型的假定條件。事實(shí)上，從邏輯關(guān)系上，我們可以分析得出：內(nèi)生變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)是相關(guān)的（為什么？）。而在內(nèi)生變量作為解釋變量的方程中，這意味著解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)是相關(guān)的，從而這違反了一元和多元線性回歸模型中的解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)的假設(shè)，因此，不能用普通最小二乘法來(lái)對(duì)聯(lián)立方程組模型進(jìn)行估計(jì)。進(jìn)一步，可以證明：1、內(nèi)生解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)之間相關(guān)。2、用最小二乘法對(duì)聯(lián)立方程組模型進(jìn)行估計(jì)得出的參數(shù)估計(jì)值是有偏的。3、用最小二乘法對(duì)聯(lián)立方程組模型進(jìn)行估計(jì)得出的參數(shù)估計(jì)值是非一致的。以此，我們可以得到：適用于單方程模型參數(shù)估計(jì)的普通最小二乘法不適合于聯(lián)立方程

7、組模型的參數(shù)估計(jì)。為了討論聯(lián)立方程組模型的參數(shù)估計(jì)方法，我們有必要對(duì)聯(lián)立方程組模型進(jìn)行進(jìn)一步的討論，這包括：1、模型的結(jié)構(gòu)式、簡(jiǎn)化式及其二者之間的關(guān)系；2、如何來(lái)識(shí)別模型。第二節(jié) 模型的結(jié)構(gòu)式與簡(jiǎn)化式一、模型的結(jié)構(gòu)式1、概念模型的結(jié)構(gòu)式：依據(jù)經(jīng)濟(jì)理論直接設(shè)立的聯(lián)立方程組形式，其中的每一個(gè)方程都直接表述這某種經(jīng)濟(jì)行為或經(jīng)濟(jì)關(guān)系。2、形式模型的結(jié)構(gòu)式：把內(nèi)生變量表述為其他內(nèi)生變量、前定變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)的方程體系，方程中所含的參數(shù)為結(jié)構(gòu)式參數(shù)。例如上邊提到的凱恩斯模型ct=a1yt+ut1 （1）It=b1yt+b2yt-1+ut2 （2） yt=ct+It+Gt （3）這就是一個(gè)結(jié)構(gòu)模型。不能用最

8、小二乘法對(duì)聯(lián)立方程結(jié)構(gòu)式模型進(jìn)行估計(jì)。原因：用最小二乘法對(duì)聯(lián)立方程組模型進(jìn)行估計(jì)得出的參數(shù)估計(jì)值是有偏的、非一致的。二、模型的簡(jiǎn)化式模型的簡(jiǎn)化式：把內(nèi)生變量只表示為前定變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)函數(shù)的聯(lián)立模型。簡(jiǎn)化式方程中所含的參數(shù)為簡(jiǎn)化式參數(shù)。簡(jiǎn)化型模型可用最小二乘法估計(jì)參數(shù)。原因：由于簡(jiǎn)化型模型一般是由結(jié)構(gòu)模型對(duì)應(yīng)而來(lái)，每個(gè)方程只含有一個(gè)內(nèi)生變量且為被解釋變量。它是前定變量和隨機(jī)項(xiàng)的唯一函數(shù)。方程中解釋變量都是前定變量，自然與隨機(jī)項(xiàng)無(wú)關(guān)。所以用最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)量為一致估計(jì)量。現(xiàn)在的問題：是否可以通過(guò)將結(jié)構(gòu)式模型轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)化式模型求得簡(jiǎn)化式參數(shù)，進(jìn)而求得結(jié)構(gòu)式參數(shù)呢？這需要討論簡(jiǎn)化式參數(shù)和結(jié)構(gòu)式參數(shù)之間的關(guān)系，參數(shù)之間關(guān)系的討論建立在簡(jiǎn)化式和結(jié)構(gòu)式的一般形式的討論上。因此，必須對(duì)簡(jiǎn)化式和結(jié)構(gòu)式的一般形式先進(jìn)行討論。三、線性模型結(jié)構(gòu)式的一般形式設(shè)線性聯(lián)立方程組模型包含有m個(gè)內(nèi)生變量，含有k個(gè)前定變量，其形式為：這里有則完備的線性模型的一般形式為：在這個(gè)線性方程組模型當(dāng)中，和為結(jié)構(gòu)參數(shù)。注意：1、此方程的特點(diǎn)有哪些，對(duì)照前面的例子 2、樣本數(shù)據(jù)問題令：則上述完備的線性模型的一般形式可以用矩陣表示為：注意此矩陣表示的變量、參數(shù)的含義四、線性模型簡(jiǎn)化式的一般形式如果矩陣B是滿秩，則其逆矩陣存在，從而對(duì)兩端左乘矩陣得到：可記為：其中：分析此式子，我們可以發(fā)現(xiàn)其即為由線性模型結(jié)構(gòu)式推導(dǎo)出的