數(shù)學必修4_第二章_平面向量知識點.docx

1、數(shù)學必修4第二章平面向量知識點2.1平面向量的實際背景及基本概念1. 向量：既有大小又有方向的量。2. 向量的模：向量的大小即向量的模（長度），女口AB，a的模分別記作|盂|和|a|。注：向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小。3. 幾類特殊向量II（1 ）零向量：長度為0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行，零向量a = 0 : = | a |= 0。由于0的方向是任意的，且規(guī)定0平行于任何向量， 故 在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有非零向量"這個條件。（注意與0的區(qū)別）T單位向量：模為1個單位長度的向量，向量a0為單位向量=|a0八1。將一個ea=咅|

2、a|向量除以它的模即得到單位向量，女口a的單位向量為:平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量 ,稱為平行向量.記作a / b4規(guī)定：0與任何向量平等， 任意一組平行向量都可以移到同一直線上，由于向量可以進行任意的平移（即自由向量），平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意、的含義,選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線” 要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。4（4）相反向量：上亍a長度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向量。記作-a。關于相反向量有： 零向量的相反

3、向量仍是零向量，-（-a）=a ;a? （-a）=0 ；若a、b是互為相反向量，則a ='b, b=Aa, a + b =0 。（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量。記為 a二b。相等向量經(jīng)過平移后總可以重合2.2平面向量的線性運算1. 向量加法(1)定義:求兩個向量和的運算叫做向量的加法設AB =a, BC =b，貝q a + b =ABBC =AC 。規(guī)定： 0 a = a 0 =；aAB BC Jl| PQ-AR，但這時必須“首尾相連”(2)向量加法的法則一 “三角形法則”與“平行四邊形法則” 用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那

4、條對角線。 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向 最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和。注：當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向 量 是首尾連接時，用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：向量加法的運算律 交換律：a Ab a結(jié)合律：(a b)(a c)求兩個向量占八、2. 法向量的減斗彳扌* *(1) 定向量減法的法則一 “三角形法則”與“平行四邊形法則” 三角形法則：當a,b有共同起點時，a-b表示為從減向量b的終 指向被減向量a的終點的向量。平行四邊形法則：個已知向量是要共始點的，一差雪是如圖所示的對角線。設 AB 二 a,AC 二

5、 b 貝 U a- b =AB - AC 二 CB.3. 實數(shù)與向量的積義：若a， x=b則向量x叫做a與b的差，記為b-a差的運算，叫 做向量的減法。(2)(1)定義：實數(shù)入與向量a的積是一個向量，記作-a，它的長度與方向規(guī)定如下： !a ；4呻 當 0時，? a的方向與a的方向相同；當？ ： 0時，a的方向與a的方斗斗，彳科斗彳向相反；當0時，a=0 ,方向是任意的 數(shù)乘向量的運算律( La)二('；L)a :('HL)a = A.-a :(a b)二a b2.3平面向量的基本定理及坐標表示1.平面向量基本定理： 如果ei, e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平

6、面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)入i，入2使a=A i ei +入2e2.注意：(1)我們把不共線向量e i、e 2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底(2)基底不惟一，關鍵是不共線；2.向量的夾角：已知兩個非零向量 a、b，作OA =a , OB = b，則/AOB=，叫向量a、b的夾角，當0 =0 ° a、b同向，當日=180 ° a、b反向，當日=90 ° a與b垂直， 記作a 丄b。3.平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與 x軸、y軸方向相同的兩個 單 位向量r, j作為基底，由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量a可表 示成a ?yj ,由

7、于a與數(shù)對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量a的 坐標，記作a =(x,y)， 其中x叫作a的橫坐標，y叫做作縱坐標。規(guī)定：呻 i=(1,0)，j =(0,1) 相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量； 向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關4. 平面向量的坐標運算：呻+J 若八(X1,y1),八(X2,y2)，貝Iab =:必屜， y2 ; 若 A X1, y1 , B X2, y2,貝U AB 二沁、2-小； 若 a =(x,y)，貝 u a=( x, y);it H4T TT * 若 a= (%, yj,b =(x 2, y2

8、)，貝 u a/b= x 1yAx2yA 0 ; a _ b = NX2 若 a 二(xyj,b =(X2, y?),貝U a = b =捲二沁,% 二 y?附：向量的表示方法：1 ?幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB ,注意起點在前，終點在后；4.2.符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如a, b, c等；53坐標表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標系，以與x軸、y軸方向相同的兩個+-444單位向量i, j為基底，則平面內(nèi)的任一向量 a可表示為a = xi yj = x, y ,稱x, y為 向量a的坐標，a = x, y叫做向量a的坐標表示。如果 向量的起點 在原點，那么 向量的坐標與

9、向量的終點坐標相同。運算向量形式坐標形式：a =（捲，力）；b 二化，y2）加法V 1 平行四邊形法則：起點相同， 對角線為和向量。V 2 三角形加法法則：首尾相連。記：AB + BC = ACa+b = （N+x 2,y!+y2 ）減法起點相同的兩個向量的差，（箭頭指 向被減向量）記：OA OB=BAT T T AB-AC =CBa 13=（為一X2,% y2 ）數(shù)乘卜 a是一個向量，”冋=|扎l|a|方向：人0時，與a同向；人V0 時，與a反向；人=0時，入a = 0AAa = （ AJX _，需 y）數(shù)量積a b =|a |b |cos8a b = Ax 2 + %y2運算性質(zhì)交換律：a

10、+b=b+a ;結(jié)合律：（a+b） +c=+ （b+c）; a+0=0+a 鳥。加法:J+f=AB+BC = ACa+6 = AB+a5= ACC呻彳T Ta b “ 刁 B =EC減法：2.4平面向量的數(shù)量積(1) 平面向量的數(shù)量積的定義 向量a,b ,的夾角：已知兩個非零向量a,b，過0點作,0§=b,則/ AOB=0 (0v 9 < 1800)叫做向量a,b，的夾角。當且僅當兩個非零向量rifca,b同方向時，9 =0 ,當且僅當a,b反方向時9 =180，同時0與其它任何 非零向量 之間不談夾角這一問題。a與b垂直；如果a,b的夾角為090則稱a與b垂直，記作a_ba

11、b =0ob在a方向上的投影：OPcosA (=普)? r(注意OP是射影)所以，a ba a與b的數(shù)量積：兩個非零向量a,b，它們的夾角 為9,則的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a b，即a b = a b cosA，規(guī)定0 a =0非零向0量a與b當且僅當ab時，9 =90，這時的幾何意a b等于a的長度與b在a方向上的投影的乘e， a = ae=acosT :(2) 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設a,b是兩個非零向量，e是單位向量，于是有：a_b= a b = 0當a與b同向時，a $ = a 冃；當a與b反向時，a $ = -a b，特別地,2a =a2COS)(3)平面向量數(shù)量積的運算律交換律成立：

12、a b =.b a對實數(shù)的結(jié)合律成立:-a b - - a b 二 a Bb i - R分配律成a 士 b c=ac_bc=ca ±d立：特別注意:(1)結(jié)合律不成立：a b a b c ； ( 2)消去律不成立a b = a c不能得至U但是乘法公式成立:b =(3) a b=0 不能得至 U a =0 或 b =0r 2 r 2a b a b =a -ba b22f 2a ±a b +b = <*2 - ” a ±a b +.2b(3) 平面向量數(shù)量積的坐標表示F-f若 a =(x i,y i), b =(X2,y 2)貝 u a b=XiX2+yiy2

13、若 a =(x,y),貝U | a | 2 =a . a =x2+y2,冋=.x2yy? - y i 2 若 a=(xi,y 1), b=(X2,y 2)貝a_b :=XX ? y2 = 0 (注意與a/b時條件區(qū)別,若 A(Xi,yi),B(x 2,y0,則 AB| rX2 7 222X1X2 yi y2.Xi2yi2, X22y22a b = xi y2 -X2y<i = 0)若 a=(xi,y 1), b =(X2,y 2)則 COST2.5平面向量應用列舉1、線段的定比分點(1)定義：設Pi,P2是直線L 的兩點，點P是L 不同于Pi,P2的任意一點,則存在一個實數(shù)，使5 p = ' PP2 ,'叫做點P分有向線段PiP2所成的比。當點P在線段PiP2上時，,? 0 ；當點P在線段R P2或R P2的延長線上時，九V0(2) 定比分點的坐標形式Xi + 窓 2x 二其中 Pi(xi,yi),巨(X2,y2), P (x,y)向量形式呢?yi扌L y2y =/ i(3) 中點坐標公式X =當入=1時，分點P為線段RF2的中點，